فيديو: النهايات والسلوك التقاربي

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام النهايات لفهم السلوك التقاربي للدوال.

١١:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم النهايات لمساعدتنا على فهم السلوك التقاربي للدوال. وسوف نسترجع ما يعنيه حقًا أن تكون للدالة خطوط تقارب رأسية أو أفقية، وسوف نستخدم قوانين النهايات كي تساعدنا على إيجاد موضع أي من خطوط التقارب.

نبدأ باسترجاع تعريف خط التقارب الأفقي أو الرأسي. وهما الخط الأفقي أو الرأسي حيث تقترب المسافة بين المنحنى والخط من صفر عند اقتراب الإحداثي ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏ من ‪∞‬‏ على الترتيب. على سبيل المثال، المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ تربيع له خط تقارب أفقي يعطى بالمعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا وخط تقارب رأسي يعطى بالمعادلة ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا.

من المهم معرفة أنه من الممكن ألا يكون للدالة خطوط تقارب أفقية أو رأسية على الإطلاق. على سبيل المثال، ‪𝑦‬‏ يساوي ‪sin 𝑥‬‏ وبالتأكيد ‪𝑦‬‏ يساوي ‪cos 𝑥‬‏ ليس لهما خطوط تقارب عند أي نقطة. وبالمثل، فإن منحنيات الدوال الكثيرات الحدود ملساء ومتصلة، إذ ليس بها خطوط تقارب من أي نوع. ما نريده هو صياغة هذا التعريف باستخدام النهايات. إذا افترضنا أن الدالة ‪𝑓‬‏ معرفة على الفترة المفتوحة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪∞‬‏، فإنه إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ للدالة تساوي قيمة ثابت ما ‪𝐿‬‏، فإن هذا يعني أنه يمكن جعل قيمة الدالة تقترب جدًا من ‪𝐿‬‏ بأن نجعل قيمة ‪𝑥‬‏ كبيرة جدًا. عند تمثيل ذلك بيانيًا، قد يبدو بهذا الشكل.

بعبارة أخرى، يمكننا القول إنه، للدالة المطلوب إيجاد قيمتها على فترة مفتوحة ما من سالب ‪∞‬‏ إلى ‪𝑎‬‏، فإنه إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏ للدالة تساوي ثابتًا ما ‪𝐿‬‏. فإنه من الممكن جعل قيم الدالة قريبة جدًا من ‪𝐿‬‏، لكن هذه المرة يتطلب ذلك أن يزداد ‪𝑥‬‏ في الاتجاه السالب. مرة أخرى، لدينا تمثيل بياني لهذا السيناريو. لاحظ أنه في كل مرة، يقترب المنحنى من الخط الأفقي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ عندما يزداد ‪𝑥‬‏ في الاتجاه الموجب أو السالب. وهذا سيساعدنا على صياغة التعريف الاصطلاحي لخط التقارب الأفقي. إذ نقول إن الخط المعطى بالمعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ هو خط تقارب أفقي للمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏ أو كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏.

ماذا عن خط التقارب الرأسي؟ في هذه الحالة، نقول إن الخط ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ هو خط تقارب رأسي للمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا تحققت إحدى الحالات الآتية على الأقل. يمكننا أن نلقي نظرة على النهايات من جهة واحدة. إذا كانت النهاية، عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ من اليسار لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي موجب أو سالب ‪∞‬‏. أو إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ من اليمين للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي موجب أو سالب ‪∞‬‏. أو إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ نفسه للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي موجب أو سالب ‪∞‬‏. وذلك يكون لدالة ما معرفة على فترة مفتوحة تتضمن العدد ‪𝑎‬‏ ولكنها غير معرفة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏. في الدوال الكسرية بصفة خاصة، التي تكتب على صورة خارج قسمة دالتين، تكون خطوط التقارب الرأسية عبارة عن خطوط رأسية تناظر أصفار مقام الدالة الكسرية. سنرى الآن كيفية تطبيق هذه التعريفات.

أوجد خطي التقارب الأفقي والرأسي لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد اثنين على ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد.

لنبدأ باسترجاع تعريف خط التقارب الأفقي والرأسي. نقول إن الخط ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ يسمى خط تقارب أفقيًا للمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏، أو إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏. كما نقول إن الخط الرأسي ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ يسمى بخط تقارب رأسي للمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا تحققت إحدى هذه الحالات على الأقل. وبشكل أكثر تعميمًا، في الدوال الكسرية، التي تكتب على صورة خارج قسمة دالتين، تكون خطوط التقارب الرأسية عبارة عن خطوط رأسية تناظر أصفار مقام الدالة.

وبالتالي، في هذه المسألة، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد اثنين على ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد. لذا، سنبدأ بإيجاد النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لاثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد اثنين على ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد. عادة ما نتحقق في البداية من إمكانية إيجاد ذلك باستخدام التعويض المباشر. لكن، إذا استخدمنا التعويض المباشر، فسوف نحصل في النهاية على ‪∞‬‏ على ‪∞‬‏، وهي صيغة غير معينة. ولذا، سنحاول بدلًا من ذلك تعديل التعبير بعض الشيء. سنقسم كلًا من بسط ومقام خارج القسمة على أعلى قوة لـ ‪𝑥‬‏ في المقام. وهي ‪𝑥‬‏ تكعيب. ويعطينا ذلك اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب على ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد اثنين على ‪𝑥‬‏ تكعيب الكل مقسوم على ‪𝑥‬‏ تكعيب على ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب.

بالطبع، اثنان ‪𝑥‬‏ تكعيب على اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي اثنين. و‪𝑥‬‏ تكعيب على ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي واحدًا. ومن ثم، نلاحظ أننا إذا افترضنا أن ‪𝑥‬‏ يقترب من ‪∞‬‏، فإن كلًا من اثنين على ‪𝑥‬‏ تكعيب وواحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب يقتربان من صفر. وبذلك، فإن النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ للدالة تساوي اثنين على واحد، وهذا يساوي اثنين ببساطة. وفي الحقيقة، يتضح أنه عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏، نحصل على النتيجة نفسها. إذن، الخط الذي معادلته ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين هو خط تقارب أفقي للدالة.

الآن سنتابع لإيجاد خط التقارب الرأسي. نريد إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ حيث تكون النهاية، عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من هذه القيمة للدالة، إما موجب أو سالب ‪∞‬‏. وبالطبع، لتحقيق ذلك في الدوال الكسرية، نبحث عن أصفار المقام. حسنًا، مقام الدالة هنا هو ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد. ولذا، علينا إيجاد قيمة الدالة عندما يكون ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد يساوي صفرًا. دعونا نضف واحدًا إلى طرفي المعادلة، وبذلك فإن ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي واحدًا. وبعدها، سنوجد الجذر التكعيبي لكلا الطرفين. وبذلك، نجد أن الحل الحقيقي للمعادلة ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص واحد يساوي صفرًا هو ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا. وهكذا نكون أوجدنا خط التقارب الرأسي للدالة. وهو ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا.

في المثال التالي، سنرى دالة تتطلب قليلًا من التعديل.

أوجد خطي التقارب الأفقي والرأسي لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد ناقص اثنين.

في البداية، يمكننا استرجاع تعريف خط التقارب الأفقي والرأسي. نقول إن الخط ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ هو خط تقارب أفقي للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من موجب أو سالب ‪∞‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏. وبالمثل، ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ هو خط تقارب رأسي للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في حالة تحقق أي من الحالات الست الآتية. إذا كانت قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ من جهة اليسار للدالة موجب أو سالب ‪∞‬‏. أو إذا كانت قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ من جهة اليمين للدالة موجب أو سالب ‪∞‬‏. أو إذا كانت قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ للدالة موجب أو سالب ‪∞‬‏.

في هذا المثال، الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد ناقص اثنين. ولذا، سنبدأ بإيجاد قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد ناقص اثنين. في الواقع، يتطلب الأمر هنا إجراء بعض التعديل في الصيغة. كلما زادت قيمة ‪𝑥‬‏ جدًا، اقترب واحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد من صفر. وبالتالي، فإن قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد ناقص اثنين، هي صفر ناقص اثنين، وهو ما يساوي ببساطة سالب اثنين. في الواقع، عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏، يظل واحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد يقترب أيضًا من صفر. وعليه، فإن النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، تساوي سالب اثنين. وبذلك، نجد أن المعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي سالب اثنين هي خط التقارب الأفقي للدالة.

سننتقل بعد ذلك إلى إيجاد خطوط التقارب الرأسية. في الدوال الكسرية، التي تكتب على صورة خارج قسمة دالتين، خطوط التقارب الرأسية هي الخطوط التي تناظر أصفار مقام الدالة. ولذا، سنبدأ بطرح اثنين من واحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد من خلال إيجاد مقام مشترك. نضرب اثنين على واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد. بعد ذلك، يمكننا طرح حدود البسط. إذن، لدينا واحد ناقص اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد. نبسط المقدار. وبذلك، نجد أنه يمكن كتابة الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على الصورة: ثلاثة ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد.

ما يعنينا هنا هو إيجاد قيم ‪𝑥‬‏ بحيث يكون المقام لدينا ‪𝑥‬‏ ناقص واحد يساوي صفرًا. حسنًا، إذا حللنا هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ بإضافة واحد إلى كلا الطرفين، فسنجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا. وبذلك، نكون أوجدنا خطي التقارب الأفقي والرأسي لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد ناقص اثنين. خط التقارب الأفقي هو ‪𝑦‬‏ يساوي سالب اثنين. وخط التقارب الرأسي هو ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا.

والآن، سنرى كيف يمكننا إيجاد خطي التقارب لدالة غير كسرية.

أوجد خطي التقارب الأفقي والرأسي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪sin 𝑥‬‏.

نذكر أن الخط الأفقي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ هو خط تقارب للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ لأي من موجب أو سالب ‪∞‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏. ومن ثم، فإنه في حالة خط التقارب الرأسي، نقول إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ هو خط تقارب إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ من اليسار للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، تساوي موجب أو سالب ‪∞‬‏. أو إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ من اليمين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب أو موجب ‪∞‬‏. أو إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي موجب أو سالب ‪∞‬‏.

في هذه المسألة، الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪sin 𝑥‬‏. لذا، دعونا نبدأ بإيجاد النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪sin 𝑥‬‏. ونذكر بعد ذلك أن نهاية مجموع دالتين أو الفرق بينهما تساوي مجموع نهايتي هاتين الدالتين أو الفرق بينهما على الترتيب. ويمكننا كتابة هذا على صورة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪sin 𝑥‬‏. عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏، فإن قيمة ثلاثة ‪𝑥‬‏ نفسها تقترب أيضًا من ‪∞‬‏، في حين أن ‪sin 𝑥‬‏ لا يأخذ سوى قيم في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. ولذا، فإن النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪sin 𝑥‬‏ تساوي ‪∞‬‏. هذه ليست عددًا ثابتًا كما ينبغي أن يكون ‪𝐿‬‏. وبالتالي، لا يوجد خط تقارب أفقي لهذه الدالة.

علينا التحقق من النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏. مرة أخرى، نقسم النهاية إلى نهاية ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص نهاية ‪sin 𝑥‬‏. عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏، فإن قيمة ثلاثة ‪𝑥‬‏ نفسها تقترب أيضًا من سالب ‪∞‬‏. لكن، مرة أخرى، تتذبذب قيمة ‪sin 𝑥‬‏ بين سالب واحد وواحد. وتأثير ذلك طفيف جدًا على قيمة كبيرة مثل سالب ‪∞‬‏. لذا، فإن النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪sin 𝑥‬‏ تساوي سالب ‪∞‬‏. ويمكننا القول إنه لا توجد خطوط تقارب أفقية لهذه الدالة.

والآن، سننتقل إلى خطوط التقارب الرأسية. سنقسم النهاية لدينا. وسنوجد قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ لـ ‪sin 𝑥‬‏. نريد إيجاد الحالة حيث يساوي ذلك موجب أو سالب ‪∞‬‏. وقد لاحظنا أن نهاية ثلاثة ‪𝑥‬‏ لا يمكن أن تساوي ‪∞‬‏ إلا إذا كانت قيمة ‪𝑥‬‏ نفسها تقترب من ‪∞‬‏. وبالمثل، لكي تقترب قيمة ثلاثة ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏، يجب أن تقترب قيمة ‪𝑥‬‏ نفسها من سالب ‪∞‬‏، في حين أن مدى ‪sin 𝑥‬‏ هو الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. لذا، فإن الحالة الوحيدة كي تقترب نهاية الدالة من موجب أو سالب ‪∞‬‏ هي إذا اقتربت قيمة ‪𝑥‬‏ نفسها من موجب أو سالب ‪∞‬‏. إذن، لا توجد أيضًا خطوط تقارب رأسية. وبالتالي، فإن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪sin 𝑥‬‏ ليس لها خطوط تقارب أفقية أو رأسية.

إذا فكرت في الأمثلة الثلاثة التي تناولناها في هذا الفيديو، فقد تعتقد أن أي دالة غير كسرية ليس لها خطوط تقارب أفقية أو رأسية. ولكن، هذا غير صحيح في واقع الأمر. ويمكننا أن نذكر اثنتين من هذه القواعد. نعلم أن النهاية، عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من صفر من اليمين، لدالة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪∞‬‏. وبذلك، فإن ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا هو خط تقارب رأسي للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. وفي الواقع، ينطبق الأمر نفسه على ‪𝑦‬‏ يساوي لوغاريتم الأساس ‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بشرط أن تكون قيمة ‪𝑏‬‏ أكبر من واحد.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن الخط ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ يسمى خط تقارب أفقيًا للمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪∞‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏، أو إذا كانت النهاية عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من سالب ‪∞‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝐿‬‏. وبالمثل، عرفنا أن الخط الرأسي ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ هو خط تقارب رأسي للمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ إذا تحققت أي من الحالات الست الموضحة. ورأينا أنه في الدوال الكسرية، تناظر خطوط التقارب الرأسية أصفار مقام هذه الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.