فيديو السؤال: حساب نصف قطر بور الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

نصف قطر بور هو ثابت فيزيائي يساوي المسافة بين النواة والإلكترون في ذرة الهيدروجين في الحالة الأرضية. نحصل على قيمة نصف قطر بور من المعادلة ‪𝑎‬‏ صفر يساوي أربعة ‪𝜋𝜀‬‏ صفر ‪ℎ‬‏ بار تربيع مقسومًا على ‪𝑚e𝑞e‬‏ تربيع. احسب قيمة نصف قطر بور. استخدم القيمة 8.85 في 10 أس سالب 12 فاراد لكل متر للتعبير عن سماحية الفراغ، والقيمة 1.05 في 10 أس سالب 34 جول ثانية للتعبير عن ثابت بلانك المخفض، والقيمة 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام للتعبير عن كتلة سكون الإلكترون، والقيمة 1.60 في 10 أس سالب 19 كولوم للتعبير عن شحنة الإلكترون. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

لدينا هنا هذه المعادلة لنصف قطر بور ‪𝑎‬‏ صفر. ومطلوب منا استخدام هذه المعادلة لحساب قيمة نصف قطر بور هذا. يمكننا ملاحظة أن لدينا في النصف الثاني من السؤال قيم جميع الكميات المختلفة الموجودة في الطرف الأيمن من المعادلة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نفرغ بعض المساحة على الشاشة. لكن أثناء فعل ذلك، دعونا ندون جميع هذه القيم المعطاة في السؤال. هذه هي المعادلة التي لدينا في السؤال. في هذه المعادلة، نعلم أن سماحية الفراغ، وهي الكمية ‪𝜀‬‏ صفر، تساوي 8.85 في 10 أس سالب 12 فاراد لكل متر. ونعلم أيضًا أن ثابت بلانك المخفض؛ أي ‪ℎ‬‏ بار، يساوي 1.05 في 10 أس سالب 34 جول ثانية. لعلنا نتذكر أن ثابت بلانك المخفض ‪ℎ‬‏ بار يساوي ببساطة ثابت بلانك العادي ‪ℎ‬‏ على اثنين ‪𝜋‬‏.

بالنسبة إلى كتلة سكون الإلكترون ‪𝑚e‬‏، لدينا القيمة 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام. وبالنسبة إلى شحنة الإلكترون ‪𝑞e‬‏، لدينا القيمة 1.60 في 10 أس سالب 19 كولوم. يجدر بنا الإشارة إلى أن هذه القيمة هنا هي في الحقيقة مقدار شحنة الإلكترون. فالإلكترون جسيم سالب الشحنة، وهو ما يعني أن شحنته الفعلية ستكون قيمتها سالبة. في هذه المعادلة لنصف قطر بور، ما يعنينا ببساطة هو مقدار هذه الشحنة. وفي الواقع، بما أن ‪𝑞e‬‏ يظهر مرفوعًا لأس اثنين في هذه المعادلة، فحتى إذا عوضنا عن شحنة الإلكترون بقيمة سالبة، فسنحصل على سالب في سالب عند تربيعها. ومن ثم، ستلغي كل من الإشارتين السالبتين الأخرى.

نحن نعلم أن الكمية ‪𝑎‬‏ صفر التي نحسبها هي هذا الثابت المعروف باسم نصف قطر بور. يخبرنا السؤال بأن نصف قطر بور هذا يساوي المسافة بين النواة والإلكترون في الحالة الأرضية لذرة هيدروجين. علينا أن نتذكر أن ذرة الهيدروجين هي ذرة لها بروتون واحد فقط يمثل نواتها وإلكترون واحد يدور حول هذه النواة. دعونا نتذكر أيضًا أنه في نموذج بور للذرة، توجد نواة موجبة الشحنة في المركز، التي نمثلها بالدائرة الحمراء هنا. تدور هذه الإلكترونات السالبة الشحنة حول هذه النواة في مدارات دائرية لها أنصاف أقطار محددة، وقد رسمنا بعضها على صورة دوائر سوداء في الشكل.

تعتمد الدائرة المحددة من تلك الدوائر التي يدور فيها إلكترون معين على مستوى طاقة الإلكترون. فالإلكترون ذو مستوى الطاقة الأول، وهو أقل مستوى طاقة ممكن، يكون في المدار الأقرب للنواة. يناظر المدار الدائري التالي مستوى الطاقة الثاني. ويناظر المدار الذي يليه مستوى الطاقة الثالث، وهكذا للقيم الأكبر لمستوى الطاقة.

نحن نتناول هنا ذرة هيدروجين، التي نعرف أن لها إلكترونًا واحدًا فقط. ونعرف أن نصف قطر بور هو المسافة بين النواة والإلكترون عندما تكون ذرة الهيدروجين في حالتها الأرضية. وتكون الذرة في حالتها الأرضية عندما تكون جميع إلكتروناتها في أدنى مستويات الطاقة الممكنة التي يمكن أن تكون فيها. وبالنسبة إلى ذرة الهيدروجين التي لها إلكترون واحد فقط، يجب أن يكون مستوى طاقة هذا الإلكترون هو المستوى الأول في الحالة الأرضية. وهكذا، سيكون في المدار الدائري الأقرب إلى النواة. وقد بينا ذلك في الشكل باستخدام هذه الدائرة الزرقاء هنا لتمثيل الإلكترون.

إذن، لدينا الآن رسم لذرة الهيدروجين في حالتها الأرضية وفقًا لنموذج بور للذرة. نعرف أن نصف قطر بور هو المسافة بين النواة والإلكترون في هذه الحالة الأرضية لذرة الهيدروجين. إذن، في الرسم لدينا، هذه هي المسافة من هذه النواة أو هذا البروتون إلى أقرب مدار دائري، الذي نعلم أنه المدار الذي سيكون فيه الإلكترون في الحالة الأرضية.

الآن بعد أن راجعنا ما يمثله نصف قطر بور هذا الذي نحسبه، دعونا نمض قدمًا ونحسب قيمته. لفعل ذلك، كل ما علينا فعله هو أخذ هذه القيم التي لدينا في المعطيات والتعويض بها في هذه المعادلة ثم إيجاد قيمة الطرف الأيمن من المعادلة. دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة لكي نبدأ في ذلك.

بالتعويض بهذه القيم في هذه المعادلة، نحصل على هذا التعبير هنا لنصف قطر بور ‪𝑎‬‏ صفر. إذن، في البسط، لدينا أربعة ‪𝜋‬‏ مضروبًا في قيمة ‪𝜀‬‏ صفر؛ أي سماحية الفراغ، مضروبة في مربع ثابت بلانك المخفض ‪ℎ‬‏ بار. هذا كله مقسومًا على كتلة سكون الإلكترون ‪𝑚e‬‏ ومربع شحنة الإلكترون ‪𝑞e‬‏. علينا ملاحظة أن جميع الوحدات الموجودة في الطرف الأيمن من المعادلة إما بالوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، أو يمكن التعبير عنها ببساطة بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، كالفاراد والجول والكولوم. وهذا يعني أنه عندما نستخدم هذه القيم لحساب نصف قطر بور ‪𝑎‬‏ صفر، فسنحصل على قيمته بوحدة الطول في النظام الدولي للوحدات، وهي المتر.

بوضع ذلك في الاعتبار، دعونا ننظم هذا التعبير. في هذا التعبير الثاني، بدلًا من كتابة كل الوحدات المختلفة في الطرف الأيمن، كتبنا ببساطة وحدة المتر التي نعرف أن ناتج ‪𝑎‬‏ صفر سيكون بها. كما فصلنا كل هذه القيم عن جميع قوى العدد 10. هذا يعني أن بإمكاننا حساب هذين الجزأين من التعبير كل على حدة قبل ضربهما معًا.

دعونا نبدأ بتناول قوى العدد 10. بالنسبة لهذا الجزء، توجد متطابقتان سنجدهما مفيدتين. تنص المتطابقة الأولى على أنه إذا كانت لدينا القيمة ‪𝑐‬‏ أس ‪𝑥‬‏ مضروبة في نفس القيمة ‪𝑐‬‏ أس ‪𝑦‬‏، فهذا يساوي ‪𝑐‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏. وتنص المتطابقة الثانية على أن ‪𝑐‬‏ أس ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ‪𝑐‬‏ أس ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑐‬‏ أس ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏.

الآن في هذا الحد من التعبير، لدينا في البسط 10 أس سالب 12 مضروبًا في 10 أس سالب 34 تربيع. يمكننا كتابة 10 أس سالب 34 تربيع على صورة 10 أس سالب 34 في 10 أس سالب 34. بمقارنة ذلك بهذه المتطابقة هنا، نلاحظ أن بإمكاننا إعادة كتابة البسط على صورة 10 أس سالب 12 ناقص 34 ناقص 34، وهو ما يساوي 10 أس سالب 80.

يمكننا الآن فعل الأمر نفسه في المقام. لدينا هنا 10 أس سالب 31 مضروبًا في 10 أس سالب 19 تربيع. يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة 10 أس سالب 31 ناقص 19 ناقص 19، وهو ما يساوي 10 أس سالب 69. إذن، لدينا الآن 10 أس سالب 80 مقسومًا على 10 أس سالب 69. بمقارنة ذلك بالمتطابقة الثانية، نلاحظ أن بإمكاننا إعادة كتابة هذا الكسر على صورة 10 أس سالب 80 ناقص سالب 69. ينتهي الأمر بهاتين الإشارتين السالبتين هنا بإلغاء كل منهما للأخرى، مما يعطينا 10 أس سالب 80 زائد 69، وهو ما يساوي 10 أس سالب 11.

والآن بعد أن بسطنا الحد الثاني، دعونا نوجه انتباهنا إلى الحد الأول في التعبير. في البسط، لدينا أربعة ‪𝜋‬‏ في 8.85 في 1.05 تربيع. يمكننا كتابة ذلك على الآلة الحاسبة؛ فنحصل على ناتج يساوي 122.6116 إلى آخره. وفي المقام، لدينا 9.11 في 1.60 تربيع. وهذا يساوي 23.3216 بالضبط. بقسمة هذا البسط على هذا المقام، نحصل على ناتج يساوي 5.2574 إلى آخره.

بالنظر إلى هذين الجزأين اللذين أوجدناهما، يمكننا أن نلاحظ أننا حصلنا على قيمة نصف قطر بور ‪𝑎‬‏ صفر. وهي تساوي 5.2574 إلى آخره في 10 أس سالب 11 متر.

آخر ما علينا تذكره هو أن السؤال طلب منا كتابة الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين. القيمة التي أوجدناها لنصف قطر بور هي بالفعل بالصيغة العلمية، إذن، علينا فقط أن نقربها لأقرب منزلتين عشريتين. ولفعل ذلك، علينا التحقق من المنزلة العشرية الثالثة، التي نلاحظ أنها تساوي سبعة. وبما أنها أكبر من أو تساوي خمسة، فهذا يعني أن القيمة في المنزلة العشرية الثانية ستقرب لأعلى.

إذن، قيمة نصف قطر بور بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين تساوي 5.26 في 10 أس سالب 11 متر.