فيديو السؤال: إيجاد مقدار عزم قوة أفقية تؤثر عند طرف قضيب على شكل حدوة حصان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الآتي، أوجد العزم حول النقطة ﻭ، إذا كانت القوة ١١ مقيسة بالنيوتن.

تذكر أن العزم هو التأثير الدوراني لقوة ما. يمكن حساب مقدار العزم باستخدام المعادلة: عزم القوة يساوي القوة في المسافة. لكن علينا أن نتذكر أن المسافة هي المسافة العمودية من مركز العزم إلى خط عمل القوة. ومن ثم، علينا إيجاد المسافة من مركز العزم؛ أي صفر، إلى خط عمل القوة، ومقدار القوة المؤثرة عموديًّا على هذا الخط الذي رسمناه.

لحساب قيمة ﻑ، دعونا نرسم مثلثًا قائم الزاوية. يمكننا ملاحظة أن قياس هذا المستقيم الأفقي في هذا المثلث يساوي أربعة سنتيمترات. وبما أن طول هذا الضلع يساوي ثمانية سنتيمترات وطول هذا الضلع يساوي ثلاثة سنتيمترات، فإن طول الضلع الأيسر في المثلث يساوي ثمانية ناقص ثلاثة؛ أي خمسة سنتيمترات. إذن، دعونا نبدأ باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة ﻑ.

تنص هذه النظرية على أن مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين في المثلث القائم الزاوية يساوي مربع طول الوتر. الوتر هو الضلع الأطول. فهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. إذن، سيكون هو هذا الضلع الذي أسميناه ﻑ من السنتيمترات. وبذلك، نجد أن ﻑ تربيع يساوي خمسة تربيع زائد أربعة تربيع، أي إن ﻑ تربيع يساوي ٤١. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين وتذكر أننا نوجد الجذر التربيعي الموجب لـ ٤١ فقط؛ لأنه يمثل الطول، نجد أن ﻑ يساوي جذر ٤١.

وبذلك نكون قد أوجدنا المسافة. لكن ماذا عن القوة؟ حسنًا، سنرسم مثلثًا آخر قائم الزاوية. لكن هذه المرة سنضيف زاوية محصورة وهي 𝜃. توجد الزاوية 𝜃 أيضًا في المثلث القائم الزاوية السابق. وهذا مفيد جدًّا؛ لأننا نعرف أن طول الوتر في هذا المثلث يساوي ١١ نيوتن. نريد إيجاد مركبة القوة المؤثرة عموديًّا على المسافة التي حسبناها. في هذا المثلث، دعونا نسم ذلك ﻕ أو ﻕ نيوتن. وبما أن طول وتر المثلث يساوي ١١ نيوتن، ونريد إيجاد طول الضلع المجاور، فسنستخدم نسبة جيب تمام الزاوية للتعبير عن العلاقة التي تربط بينهما. وهي: جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، أي إن جتا 𝜃 يساوي ﻕ على ١١.

إذا عدنا إلى المثلث السابق، فسنجد أن طول الوتر يساوي جذر ٤١. وحسبنا طول الضلع المجاور، وهو يساوي خمسة سنتيمترات. في هذه الحالة، جتا 𝜃 يساوي خمسة على جذر ٤١. تذكر أن جيب تمام الزاوية هو نسبة، لذلك نعلم أن هذه النسبة تنطبق على المثلث القائم الزاوية الآخر، وهو ما يعني أن خمسة على جذر ٤١ يساوي ﻕ على ١١. بعد ذلك، نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻕ بضرب كلا الطرفين في ١١. وبالطبع، هذا يماثل الضرب في ١١ على واحد. إذن، نجد أن ﻕ يساوي ٥٥ على الجذر التربيعي لـ ٤١.

بالرجوع إلى المعادلة السابقة لعزم القوة، نعرف أنه علينا الآن ضرب قيمة ﻕ في قيمة ﻑ. أي نضرب ٥٥ على جذر ٤١ في جذر ٤١ ، وهو ما يعني حذف جذر ٤١ من كل من البسط والمقام. فيتبقى لدينا ٥٥. بما أن القوة بالنيوتن والمسافة بالسنتيمتر، نجد أن العزم حول النقطة ﻭ يساوي ٥٥ نيوتن سنتيمتر. لاحظ أنه بما أن الاتجاه المعطى عكس اتجاه عقارب الساعة، وهذا هو الاتجاه الذي تعاملنا معه، فإن القيمة تكون موجبة. إنها تساوي ٥٥ نيوتن سنتيمتر.