فيديو السؤال: إيجاد عزم ازدواج مكافئ لنظام مكون من ثلاث قوى مؤثرة على مثلث الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث، فيه ﺏﺟ يساوي ٤٨ سنتيمترًا، وهناك ثلاث قوى مقاديرها ١٣ و١٣ و٢٤ نيوتن تؤثر في الاتجاهات ﺟﺃ وﺃﺏ وﺏﺟ على الترتيب. إذا كان نظام القوى يكافئ ازدواجًا، فأوجد معيار عزمه.

دعونا نبدأ برسم المثلث. لدينا المثلث ﺃﺏﺟ حيث طول الضلع ﺏﺟ يساوي ٤٨ سنتيمترًا. وسنكتب القوى التي مقاديرها ١٣ و١٣ و٢٤ نيوتن على الشكل. تؤثر قوة مقدارها ١٣ نيوتن في الاتجاه ﺟﺃ، كما هو موضح. وهناك قوة أخرى مقدارها ١٣ نيوتن تؤثر في الاتجاه ﺃﺏ. ولدينا بعد ذلك قوة مقدارها ٢٤ نيوتن تؤثر في الاتجاه من ﺏ إلى ﺟ.

في الحقيقة، يمكننا استخدام العلاقة بين طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ والقوة التي تؤثر في هذا الاتجاه لحساب طولي الضلعين ﺃﺏ وﺃﺟ. يمكننا ملاحظة أن النسبة بين ٤٨ و٢٤ هي نصف. وعليه، يجب أن يكون طولا كل من القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺃﺟ يساوي ٢٦ سنتيمترًا لكي تكون النسبتان بين الطول والقوة لهذين الضلعين متساويتين.

سيكون هذا مفيدًا جدًّا بالنسبة إلينا لأننا نعلم أن نظام القوى يكافئ ازدواجًا. ومن ثم، إذا حسبنا مجموع العزوم حول أي نقطة في هذا المثلث، فسنحصل على القيمة نفسها. لذا، سنوجد معيار العزم بحساب محصلة العزوم حول نقطة محددة. يمكننا اختيار أي نقطة على المثلث لدينا. لذا، دعونا نختر النقطة ﺃ، ونفترض أن اتجاه دوران عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب.

حسنًا، العزم بالطبع هو حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من محور العزم. والقوة الوحيدة التي ينطبق عليها هذا هي القوة المؤثرة من ﺏ إلى ﺟ. نلاحظ أن هذه القوة تؤثر عند نقطة تبعد ٢٦ سنتيمترًا عن ﺃ، لكن القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن لا تؤثر بالضرورة بزاوية قياسها ٩٠ درجة. إذن، علينا حساب مركبة القوة العمودية على القطعة المستقيمة ﺃﺏ.

لفعل ذلك، سنبدأ باستخدام قانون جيوب التمام لإيجاد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ التي أسميناها 𝜃. ينص قانون جيوب التمام على أن جتا ﺏ يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺏ شرطة تربيع على اثنين ﺃ شرطةﺟ شرطة. ومن ثم، في هذا المثال، جتا 𝜃 يساوي ٤٨ تربيع زائد ٢٦ تربيع ناقص ٢٦ تربيع على اثنين في ٤٨ مضروبًا في ٢٦. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لـ جتا 𝜃. ‏٢٦ تربيع ناقص ٢٦ تربيع يساوي صفرًا. ويمكننا التبسيط بقسمة كل من البسط والمقام على ٤٨.

لدينا الآن ٤٨ على اثنين في ٢٦. ومن ثم، يمكننا قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على أربعة. وبهذا، تبسط جتا 𝜃 إلى ١٢ على ١٣. وعلى الرغم من أننا نستطيع حساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي هذه المعادلة من أجل إيجاد قيمة 𝜃، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد القيم الدقيقة لـ جا 𝜃 أيضًا. بما أن نسبة جيب التمام تربط بين طول الضلع المجاور وطول الوتر في المثلث القائم الزاوية، وبما أن خمسة تربيع زائد ١٢ تربيع يساوي ١٣ تربيع، فإننا نعرف أن طول الضلع الثالث في هذا المثلث، أي طول الضلع المقابل، لا بد أن يساوي خمس وحدات. وبهذا، نجد أنه في هذا المثلث جا 𝜃 يساوي خمسة على ١٣.

سيتضح لنا لاحقًا لماذا يعد هذا الأمر مفيدًا. لكن علينا الآن إيجاد مركبة القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن والعمودية على القطعة المستقيمة ﺃﺏ. بما أن كلًّا منهما عمودي على الآخر، فإن هذا يعني أنهما يكونان معًا زاوية قياسها ٩٠ درجة. وعليه، يمكننا تسمية الزاوية الموجودة خارج المثلث ٩٠ ناقص 𝜃. يمكننا إذن إيجاد مركبة القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن والعمودية على ﺃﺏ باستخدام الضلع المجاور في هذا المثلث القائم الزاوية. وبفعل ذلك، نجد أنها تساوي ٢٤ في جتا ٩٠ ناقص 𝜃. هذا يعني أن العزم يساوي حاصل ضرب ٢٤ جتا ٩٠ ناقص 𝜃 في المسافة من محور العزم التي تساوي ٢٦.

والآن، نلاحظ أنه يمكننا إيجاد قيمة جتا ٩٠ ناقص 𝜃 باستخدام المتطابقة جا 𝜃. لقد أوجدنا قيمة جا 𝜃 بالفعل وعرفنا أنها تساوي خمسة على ١٣. وبهذا، يكون العزم يساوي ٢٤ في خمسة على ١٣ في ٢٦. دعونا نبسط هذا المقدار بقسمة كل من مقام الحد الثاني وبسط الحد الثالث على ١٣. وهذا يعطينا ٢٤ في خمسة على واحد في اثنين. خمسة على واحد في اثنين يساوي ١٠، وبذلك يصبح لدينا ٢٤ في ١٠؛ وهو ما يساوي ٢٤٠. هذا هو معيار العزم لدينا. وبما أن الوحدتين المستخدمتين هنا هما النيوتن والسنتيمتر، فستكون وحدة العزم هي النيوتن سنتيمتر. إذن، بناء على معطيات السؤال لدينا حول نظام القوى، يمكننا قول إن مقدار عزم النظام يساوي ٢٤٠ نيوتن سنتيمتر.