فيديو: نظام معادلات له عدد لا نهائي من الحلول

أحمد مدحت

يتناول الفيديو مثالًا يوضِّح نظام المعادلات الذي له عدد لا نهائي من الحلول.

٠٧:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن نظام معادلات له عدد لا نهائي من الحلول. تعالوا نبدأ من خلال مثال، نشوف إزّاي نظام معادلات ممكن يكون ليه عدد لا نهائي من الحلول. فلو عندنا المعادلة: ص تساوي اتنين س زائد واحد. ومعادلة تانية وهي: ص ناقص تلاتة يساوي اتنين س ناقص اتنين. والمطلوب إن إحنا نحل نظام المعادلات اللي عندنا.

علشان نحل نظام المعادلات اللي عندنا. فإحنا أول حاجة هنعملها إن إحنا هنمثّل المعادلتين اللي عندنا بيانيًّا، في نفس المستوى الإحداثي المتعامد. وعلشان كده، في الأول هنرسم الجدولين اللي هيظهروا لنا كده.

في الجدول الأول، والخاص بالمعادلة الأولى، هنكتب في العمود الأول قيم س، واللي هنعوّض بيها في المعادلة الأولى. أمّا في العمود التاني، فهنكتب قيم ص اللي هتنتج من المعادلة اللي عندنا، بعد ما نعوّض فيها بقيم س. هنفرض قيم لِـ س. ولْيكُن سالب واحد، صفر، وواحد. هنبدأ نعوّض في المعادلة الأولى عن س، بسالب واحد. هنلاقي إن ص تساوي سالب واحد. ولمّا نعوّض عن س بصفر في المعادلة الأولى، هنلاقي إن ص تساوي واحد. وأمّا نعوّض عن س بواحد، هنلاقي إن ص تساوي تلاتة.

بالنسبة للجدول التاني، والخاص بالمعادلة التانية، فهنكتب في العمود الأول فيه قيم س، اللي هنعوّض بيها في المعادلة التانية. أمّا في العمود التاني، فهنكتب قيم ص، واللي هتنتج بعد ما نعوّض في المعادلة التانية بقيم س. هنفرض قيم لِـ س. ولْيكُن سالب واحد، وصفر، وواحد. هنبدأ نعوّض بقيم س في المعادلة التانية. لمّا نعوّض عن س بسالب واحد، هنلاقي إن قيمة ص تساوي سالب واحد. وأمّا نعوّض عن س بصفر في العلاقة اللي عندنا، هنلاقي إن ص تساوي واحد. وأمّا نعوّض عن س بواحد، هنلاقي إن ص بتساوي تلاتة.

لو لاحظنا بعنينا، هنلاقي إن حلول المعادلة الأولى، هي نفسها حلول المعادلة التانية. ده معناه إن إحنا من قبل ما نرسم، هنلاقي إن الخط اللي بيمثّل المعادلة الأولى، هو هوّاه نفسه الخط اللي بيمثّل المعادلة التانية. يعني الخطين هيبقوا منطبقين على بعض. يعني بيتقاطعوا في عدد لا نهائي من النقاط. فده معناه إن نظام المعادلات اللي عندنا، هيكون ليه عدد لا نهائي من الحلول.

تعالوا نمثّل نظام المعادلات اللي عندنا بيانيًّا، ونشوف. هيظهر لنا المستوى الإحداثي المتعامد. هنبدأ نمثّل المعادلة الأولى بيانيًّا. عندنا الحل الأول عبارة عن الزوج المرتب سالب واحد وسالب واحد، واللي بيتمثّل بالنقطة دي. والحل التاني عبارة عن الزوج المرتب صفر وواحد، اللي هو عبارة عن النقطة دي. أمّا الحل التالت، فهو عبارة عن الزوج المرتب واحد وتلاتة، اللي هو عبارة عن النقطة دي. هنوصّل النقط ببعض. هنلاقي عندنا خط مستقيم؛ لأن المعادلة اللي عندنا معادلة خطية.

الخط المستقيم ده بيمثّل المعادلة الأولى، واللي هي: ص تساوي اتنين س زائد واحد. هنبدأ نمثّل المعادلة التانية عَ المستوى الإحداثي المتعامد. فعندنا الحل الأول، وهو عبارة عن الزوج المرتب سالب واحد وسالب واحد، يعني النقطة دي. والزوج المرتب التاني هو صفر وواحد، يعني النقطة دي. والزوج المرتب التالت هو واحد وتلاتة، يعني النقطة دي.

ملاحظين إن الحلول منطبقة على بعض. وكمان لمّا هنرسم الخط اللي بيمُرّ بالتلات نقط دول، هنلاقيه منطبق تمامًا على الخط المستقيم الأول. واللي بيمثّل المعادلة: ص تساوي اتنين س زائد واحد. هنرسم الخط المستقيم، اللي بيوصّل بين التلات نقط اللي عندنا. الخط فعلًا منطبق تمامًا على الخط المستقيم الأول. واللي بيمثّل العلاقة: ص تساوي اتنين س زائد واحد. وبالنسبة للخط المستقيم الأخضر، فهو بيمثّل العلاقة: ص ناقص تلاتة تساوي اتنين س ناقص اتنين.

وبكده هنلاحظ إن الخطين المستقيمين، اللي بيمثلوا المعادلتين اللي موجودين في نظام المعادلات اللي عندنا، منطبقين على بعض. ده معناه إن هم بيتقاطعوا في عدد لا نهائي من النقاط. يعني نقدر نقول إن نظام المعادلات اللي عندنا، عدد حلوله هو عدد لا نهائي من الحلول.

السؤال بقى: إيه بقى هي الحلول؟ الحلول هتكون عبارة عن جميع الأزواج المرتبة، اللي بتمثّل جميع النقط اللي موجودة عَ الخط المستقيم اللي عندنا. واللي بيمثّل كلًّا من العلاقتين. تعالوا نكتب المعادلتين اللي عندنا، في شكل صيغة الميل والمقطع.

صيغة المقطع على الشكل: ص يساوي م س زائد ج. حيث إن م بتمثّل ميل المستقيم، اللي بيمثّل المعادلة اللي عندنا. أمّا ج، فهو عبارة عن الإحداثي الصادي لنقطة، اللي بيتقاطع فيها الخط المستقيم اللي بيمثّل العلاقة، مع محور الصادات. واللي بنسميه مقطع المستقيم مع محور الصادات.

عندنا المعادلة الأولى هي: ص يساوي اتنين س زائد واحد. وهي على شكل صيغة الميل والمقطع. أمّا المعادلة التانية وهي: ص ناقص تلاتة يساوي اتنين س ناقص اتنين. بالنسبة للمعادلة التانية، فإحنا عايزين نعدّل من شكلها؛ عشان نوصّلها لصيغة الميل والمقطع. فهنضيف على طرفَي المعادلة تلاتة. وبكده يبقى عندنا إن ص تساوي اتنين س زائد واحد. وبكده بقت على شكل صيغة الميل والمقطع.

هنقارن بين المعادلة الأولى والمعادلة التانية، هنلاقي إن ميل كلا المستقيمين، اللي بيمثلوا المعادلة الأولى والتانية، متساوي .وكمان مقطعهم مع محور الصادات، بيساوي واحد. يعني كمان متساوي. معنى كده نقدر نستنتج إن باستخدام صيغة الميل والمقطع، بيكون نظام المعادلات عدد لا نهائي من الحلول. لو تَساوى ميل كلا المستقيمين، وكمان تَساوى مقطعهما مع محور الصادات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.