فيديو السؤال: إيجاد معادلة دائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة الدائرة التي يمثلها الشكل الآتي.

أمامنا دائرة في المستوى الإحداثي والمطلوب إيجاد معادلتها. لنبدأ بتذكر الصيغة العامة لمعادلة الدائرة. إذا كان للدائرة مركز بالإحداثيين ﻫ وﻙ ونصف قطر نق من الوحدات، فتكون معادلتها ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﻙ الكل تربيع يساوي نق تربيع.

إذن، للإجابة عن هذه المسألة، علينا تحديد قيم ﻫ وﻙ ونق في الدائرة والشكل. لنبدأ بالتفكير في مركز الدائرة. الإحداثيان ﺱ وﺹ الخاصان بها موضحان في الشكل. الإحداثي ﺱ هو أربعة، والإحداثي ﺹ هو سالب سبعة. بالتالي، يمكننا استنتاج قيمة كل من ﻫ وﻙ مباشرة. ﻫ يساوي أربعة وﻙ يساوي سالب سبعة.

ثم، لنفكر في قيمة نق، أي، نصف قطر الدائرة. المعلومة الأخرى المعطاة في المسألة هي أن الخط الأفقي ﺹ زائد ١٦ يساوي صفرًا هو مماس للدائرة.

بالتالي، إذا رسمنا خطًا رأسيًا من مركز الدائرة ﻡ نزولًا إلى هذا الخط، ﺹ زائد ١٦ يساوي صفرًا، سنجد أنه نصف قطر الدائرة. ولإيجاد قيمة نق، علينا فقط النظر إلى الفرق بين إحداثيي ﺹ لأن الخط رأسي. المعادلة ﺹ زائد ١٦ يساوي صفرًا تكافئ المعادلة ﺹ يساوي سالب ١٦، والتي يمكن أن نحصل عليها عن طريق طرح ١٦ من كلا الطرفين.

بالتالي، إحداثيا النقطة، حيث يتقابل نصف قطر الدائرة هذا مع الخط ﺹ زائد ١٦ يساوي صفرًا، هما أربعة وسالب ١٦. تذكر أن طول هذا الخط هو الفرق بين إحداثيي ﺹ. إذن، هذا هو الفرق بين سالب سبعة وسالب ١٦. بالتالي، نق يساوي سالب سبعة ناقص سالب ١٦، ما يساوي تسعة.

الآن، نعرف قيم ﻫ وﻙ ونق، وما علينا فقط هو التعويض في الصيغة العامة لمعادلة الدائرة. لدينا إذن ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص سالب سبعة الكل تربيع يساوي تسعة تربيع. لن نفك الأقواس في هذه الحالة. لكن يمكننا تبسيط المعادلة قليلًا.

ﺹ ناقص سالب سبعة يساوي ﺹ زائد سبعة. إذن، يمكن أن نستبدل بزوج الأقواس الثاني في المعادلة ﺹ زائد سبعة الكل تربيع. ويمكننا كذلك أن نستبدل بتسعة تربيع ٨١.

إذن، معادلة الدائرة في الشكل المعطى بمعلومية مركز الدائرة ونصف القطر هي ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع زائد ﺹ زائد سبعة الكل تربيع يساوي ٨١.