فيديو السؤال: إيجاد نهاية خارج قسمة دالتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ تربيع زائد واحد، والنهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تساوي اثنين، فأوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺭﺱ مقسومًا على ﺩﺱ.

يذكر السؤال أن ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ تربيع زائد واحد، والنهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تساوي اثنين. وعلينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لخارج قسمة الدالتين ﺭﺱ وﺩﺱ. وبما أن الدالتين ﺭﺱ وﺩﺱ غير معرفتين، فلا يمكننا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لخارج القسمة هذا مباشرة. لذا، علينا إعادة كتابة هذه النهاية.

وبما أننا نريد إعادة كتابة نهاية خارج قسمة، فإننا سنتذكر قاعدة خارج القسمة للنهايات. وتنص على أنه سنفترض أن لدينا ثابتًا حقيقيًّا ﺃ والدالتين ﻫﺱ وﻕﺱ، وكانت النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﻕﺱ لا تساوي صفرًا. في هذه الحالة، تكون نهاية خارج قسمة ﻫﺱ وﻕﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي خارج قسمة نهايتي الدالتين ﻫﺱ وﻕﺱ. وبما أننا نريد إعادة كتابة النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لخارج قسمة ﺭﺱ وﺩﺱ، فسنجعل قيمة ﺃ تساوي سبعة. وسنجعل الدالة ﻫﺱ تساوي ﺭﺱ، والدالة ﻕﺱ تساوي ﺩﺱ.

ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة نهاية خارج القسمة على صورة خارج قسمة النهايتين بشرط أن تكون النهاية في المقام لا تساوي صفرًا. وقد علمنا من السؤال أن نهاية المقام تساوي اثنين. وهذا يعني بالطبع أنها لا تساوي صفرًا. لذا، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة خارج قسمة النهايتين.

علينا الآن إيجاد النهاية عند اقتراب ﺱ من سبعة لـ ﺭﺱ مقسومًا على النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ. ويمكننا أن نبدأ بإيجاد قيمة النهاية في المقام. وعرفنا من السؤال أنها تساوي اثنين. ونريد إيجاد قيمة النهاية في البسط. وهذه هي النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺭﺱ. وعلمنا من السؤال أن ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ تربيع زائد واحد.

لذلك، بدلًا من إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺭﺱ، سنوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تربيع زائد واحد. ولا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بشكل مباشر. لذا، علينا إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ لأننا نعلم أنها تساوي اثنين. وبما أنه مطلوب منا حساب قيمة النهاية لمجموع، فسنكتب ذلك على صورة مجموع النهايتين. ويمكننا فعل ذلك لأننا نعرف أننا سنفترض أن لدينا أي قيمة حقيقية ﺃ والدالتين ﻫﺱ وﻕﺱ. في هذه الحالة، تكون نهاية ﻫﺱ زائد ﻕﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي نهاية ﻫﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ زائد النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﻕﺱ.

بعبارة أخرى، نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتي هاتين الدالتين. بتطبيق هذا على البسط، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تربيع زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لواحد الكل مقسوم على اثنين. ونعرف أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة للثابت واحد تساوي العدد واحدًا نفسه. وهكذا، لم يتبق لدينا سوى نهاية واحدة لإيجاد قيمتها. وهي النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

نعلم أنه لأي قيمة حقيقية ﺃ، وأي عدد صحيح موجب ﻥ، وأي دالة ﻫﺱ، تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﻫﺱ أس ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﻫﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ. بعبارة أخرى، نهاية دالة القوة تساوي قوة نهاية الدالة. باستخدام ذلك، بدلًا من إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تربيع، يمكننا فقط إيجاد مربع النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ. والنهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة للدالة ﺩﺱ في السؤال معطاة في السؤال. فقد علمنا أن قيمة النهاية تساوي اثنين. وعليه، بالتعويض باثنين عن هذه النهاية، نحصل على اثنين تربيع زائد واحد الكل مقسوم على اثنين، وهو ما يمكننا تبسيطه إلى خمسة على اثنين.

إذن، أثبتنا أننا سنفترض أن ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ تربيع زائد واحد، والنهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ تساوي اثنين. في هذه الحالة، تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لخارج قسمة ﺭﺱ وﺩﺱ تساوي خمسة مقسومًا على اثنين.