فيديو الدرس: التصادم وحفظ كمية الحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق قانون حفظ كمية الحركة لدراسة التصادمات في بعد واحد، والتمييز بين التصادم المرن وغير المرن.

سنبدأ بتذكر العلاقة بين الدفع الناتج عن قوة ما والتغير في كمية الحركة. دعونا نفكر تحديدًا في جسم ذي كتلة ثابتة. متجه الدفع ﺩ الناتج عن تأثير متجه القوة ﻕ خلال فترة زمنية من ﻥ واحد إلى ﻥ اثنين يساوي التغير في كمية حركة الجسم. دعونا نوضح كيف يبدو ذلك تحديدًا.

لنفترض أن الجسيمين واحدًا واثنين لهما كميتا الحركة: المتجه ﻣ واحد الابتدائية والمتجه ﻣ اثنان الابتدائية، على الترتيب. أثناء لحظة تصادمهما، يؤثر الجسيم واحد بالقوة المتجهة ﻕ واحد اثنين على الجسيم اثنين، ويؤثر الجسيم اثنان بالقوة المتجهة ﻕ اثنين واحد على الجسيم واحد. تنتج هاتان القوتان من التأثير المتبادل بين الجسيمين فقط. على وجه التحديد، يخبرنا قانون نيوتن الثالث للحركة أن هاتين القوتين متساويتان في المقدار ولكنهما متضادتان في الاتجاه. إذن، يمكننا القول إن المتجه ﻕ واحدًا اثنين يساوي المتجه سالب المتجه ﻕ اثنين واحد.

نتيجة للقوة التي يؤثر بها الجسيم اثنان على الجسيم واحد أثناء التصادم، يتعرض الجسيم واحد لتغير في كمية الحركة. هذا التغير في كمية الحركة، أي التغير في المتجه ﻣ واحد، يساوي الفرق بين المتجه ﻣ واحد النهائية، وهو كمية الحركة النهائية، والمتجه ﻣ واحد الابتدائية، وهو كمية الحركة الابتدائية. وهذا يساوي متجه الدفع ﺩ واحد، الذي يمكن اعتباره بدوره التكامل المحدد بين ﻥ واحد وﻥ اثنين. وهو زمن التصادم للمتجه ﻕ اثنين واحد بالنسبة إلى ﻥ.

بطريقة مشابهة، يمكننا حساب التغير في كمية حركة الجسيم الثاني. وهو يساوي الفرق بين المتجه ﻣ اثنين النهائية، أي كمية الحركة النهائية لهذا الجسيم، والمتجه ﻣ اثنين الابتدائية، أي كمية الحركة الابتدائية لهذا الجسيم. لكن تذكر أننا قلنا إن المتجه ﻕ واحدًا اثنين يساوي سالب المتجه ﻕ اثنين واحد. ومن ثم، يمكننا القول إن الدفع ﺩ واحدًا يساوي سالب الدفع ﺩ اثنين. هذا يتيح لنا بعد ذلك تحديد أن التغير في كمية حركة الجسيم الأول يساوي سالب التغير في كمية حركة الجسيم الثاني. بعد ذلك، يمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة لتوضيح حقيقة مهمة للغاية. بإضافة التغير في كمية حركة الجسيم الثاني إلى كلا الطرفين، نجد أن التغير في كمية حركة الجسيم واحد زائد التغير في كمية حركة الجسيم اثنين يساوي صفرًا.

ما الذي تخبرنا به إذن هذه العبارة الأخيرة؟ تخبرنا هذه العبارة بأن كمية الحركة الكلية للجسيمين لا تتغير خلال التصادم. بعبارة أخرى، كمية الحركة الكلية ثابتة. وهذا يتيح لنا القول إن كمية الحركة كمية محفوظة.

دعونا نعرف ذلك بطريقة أكثر منهجية. ينص قانون حفظ كمية الحركة على أنه إذا أخذنا جسمين أو أكثر في نظام معزول، أي نظام لا توجد به قوى خارجية تؤثر عليه، وكان كلا هذين الجسمين يؤثر على الآخر، فإن كمية حركتهما الكلية تظل ثابتة. على وجه التحديد، المجموع الاتجاهي لكمية الحركة يساوي صفرًا. إذن نعلم أنه فيما يخص أي تصادم بين جسيمين، تكون كمية الحركة الكلية محفوظة إذا افترضنا عدم وجود تأثيرات أخرى متبادلة سوى التأثير المتبادل بين الجسيمين المتصادمين. لاحظ أنه على الرغم من أننا قدمنا هذه التعريفات باستخدام كميات متجهة، فإننا عمليًّا نتعامل في العادة مع قيم قياسية. ويتيح لنا قانون حفظ كمية الحركة فعل ذلك دون قلق يذكر.

بوضع ذلك في الاعتبار، دعونا نتناول حل سؤال يتضمن إيجاد الدفع خلال التصادم بين جسمين يتحرك كل منهما في اتجاه الآخر.

قذفت كرتان ﺃ وﺏ متساويتان في الكتلة إحداهما في اتجاه الأخرى على طول خط مستقيم أفقي بسرعة ١٩ سنتيمترًا لكل ثانية و٢٩ سنتيمترًا لكل ثانية على الترتيب. نتيجة التصادم، ارتدت الكرة ﺏ بسرعة ١٠ سنتيمترات لكل ثانية. أوجد سرعة الكرة ﺃ بعد التصادم إذا كان اتجاهها الابتدائي موجبًا.

نلاحظ أولًا أننا علمنا من المعطيات أن الاتجاه الابتدائي للكرة ﺃ موجب. لذا دعونا نبدأ برسم مخطط للموقف. لدينا الكرتان ﺃ وﺏ تتحركان إحداهما في اتجاه الأخرى بسرعة ١٩ سنتيمترًا لكل ثانية و٢٩ سنتيمترًا لكل ثانية على الترتيب. تتحرك الكرة ﺃ في الاتجاه الموجب، ما يعني أن الكرة ﺏ تتحرك في الاتجاه السالب. علمنا من المعطيات أيضًا أن الكرتين متساويتان في الكتلة. إذن، سنعرف كتلة كل من الكرتين بأنها ﻙ جرام.

من الناحية العملية، نستخدم عادة وحدتي الكيلوجرام والمتر لكل ثانية. لكننا نتعامل في هذا السؤال بوحدة السنتيمتر لكل ثانية. ومن المعتاد الحفاظ على الاتساق عن طريق استخدام وحدة الجرام. سنبدأ بحساب كمية الحركة الابتدائية لهذا النظام. نعلم أن كمية الحركة محفوظة. وهذا سيسمح لنا بمقارنة كمية الحركة الابتدائية بكمية الحركة النهائية، ما سيتيح لنا بعد ذلك حساب السرعة النهائية للكرة ﺃ. نعلم أيضًا أننا نحسب عادة كمية الحركة باستخدام كميات متجهة لكل من كمية الحركة والسرعة. وبما أنه يمكن اعتبار كمية الحركة القياسية والسرعة القياسية متجهين لهما الاتجاه نفسه، فهذا يعني أنه يمكننا تعميم ذلك على الكميات القياسية أيضًا.

إذن نعلم أن بإمكاننا تعريف كمية الحركة الابتدائية للكرة ﺃ بأنها ﻣﺃ، الابتدائية. وهي تساوي كتلتها مضروبة في سرعتها. هذا يساوي ﻙ في ١٩ أو ١٩ﻙ. بطريقة مشابهة، يمكننا حساب كمية الحركة الابتدائية للكرة ﺏ. ‏ﻣﺏ، الابتدائية، وهي كمية الحركة الابتدائية، تساوي الكتلة مضروبة في السرعة. وهذا يساوي ﻙ في سالب ٢٩ أو سالب ٢٩ﻙ. بعد ذلك، يمكننا حساب كمية الحركة الكلية في النظام، ولنسمها ﻣ الكلية الابتدائية، أي كمية الحركة الابتدائية الكلية، من خلال إيجاد مجموع كمية الحركة الابتدائية لكل من ﺃ وﺏ. هذا يساوي ١٩ﻙ زائد سالب ٢٩ﻙ، وهو ما يساوي سالب ١٠ﻙ.

الآن، وبعد أن حددنا ما يحدث قبل التصادم، دعونا نفكر فيما يحدث بعد التصادم مباشرة. علمنا من المعطيات أن الكرتين ترتدان. هذا يعني أنهما تتحركان بعد التصادم مباشرة في الاتجاهين المتضادين. علمنا من المعطيات أن الكرة ﺏ ترتد بسرعة ١٠ سنتيمترات لكل ثانية، ومن ثم فإنها تتحرك في الاتجاه المضاد بهذه السرعة. نحاول إيجاد سرعة الكرة ﺃ. لذا، دعونا نحددها بأنها ﻉ سنتيمتر لكل ثانية. ونفترض أنها تتحرك في الاتجاه السالب.

بعد ذلك، نحسب كمية الحركة الكلية من خلال تناول كمية الحركة النهائية لكل كرة. كمية الحركة النهائية للكرة ﺃ ستكون سالب ﻙﻉ، وكمية الحركة النهائية للكرة ﺏ، ولنسمها ﻣﺏ, النهائية، تساوي الكتلة مضروبة في السرعة، أي ١٠ﻙ. بعد ذلك، نوجد مجموعهما لإيجاد كمية الحركة الكلية النهائية. وهذا يساوي سالب ﻙﻉ زائد ١٠ﻙ.

وفقًا لمبدأ حفظ كمية الحركة، كمية الحركة الكلية قبل التصادم يجب أن تساوي كمية الحركة الكلية بعد التصادم. بعبارة أخرى، سالب ١٠ﻙ يجب أن يساوي سالب ﻙﻉ زائد ١٠ﻙ. دعونا نفرغ بعض المساحة ونحل هذه المعادلة. لفعل ذلك، قد نبدأ أولًا بملاحظة أن كل تعبير في هذه المعادلة يحتوي على العامل ﻙ. وقد عرفنا ﻙ بأنها كتلة كل جسم، ومن ثم لا يمكن أن تساوي صفرًا، ما يعني أنه يمكننا قسمة المعادلة بأكملها على ﻙ. عندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ١٠ يساوي سالب ﻉ زائد ١٠. بطرح ١٠ من كلا الطرفين، تصبح المعادلة سالب ٢٠ يساوي سالب ﻉ.

ومن ثم، فسرعة الكرة بعد التصادم تساوي ٢٠ سنتيمترًا لكل ثانية. لكننا نحدد هذه الحركة بأنها ستكون في اتجاه اليسار. وبما أن السرعة اتجاهية، ونعرف الاتجاه إلى اليمين بأنه موجب، علينا القول إن السرعة النهائية للكرة ﺃ تساوي سالب ٢٠ سنتيمترًا لكل ثانية.

في هذه المرحلة، تجدر الإشارة إلى أنه كان بإمكاننا تمثيل الحركة بعد التصادم بطريقة مختلفة قليلًا. بعبارة أخرى، كان بإمكاننا تحديد أن السهم ﻉ سنتيمتر لكل ثانية يتجه إلى اليمين. لو فعلنا ذلك في هذه المرحلة، كنا سنحصل على ﻉ تساوي سالب ٢٠ سنتيمترًا لكل ثانية، وهو ما سيشير أيضًا إلى أن الجسم يتحرك إلى اليسار. في كلتا الحالتين، السرعة تساوي سالب ٢٠ سنتيمترًا لكل ثانية.

سنوضح الآن كيف يمكن أن تحدد هذه العملية دفع قوة تصادم جسمين يتحركان في اتجاهين متضادين، وكذلك سرعة الجسم بعد التصادم.

كرتان كتلتاهما ٢٠٠ جرام و٣٥٠ جرامًا، تحركت كل منهما نحو الأخرى على نفس الخط المستقيم أفقيًّا. تحركت الأولى بسرعة ١٤ مترًا لكل ثانية، وتحركت الثانية بسرعة ثلاثة أمتار لكل ثانية. واصطدمت كل منهما بالأخرى. نتيجة لذلك، ارتدت الكرة الأولى بسرعة سبعة أمتار لكل ثانية في الاتجاه المضاد. إذا كان الاتجاه الموجب هو الاتجاه الأول لحركة الكرة الأولى قبل الاصطدام، فأوجد دفع الكرة الثانية للكرة الأولى ﺩ، وسرعة الكرة الثانية بعد الاصطدام ﻉ.

قبل البدء في الإجابة، نلاحظ أننا نتعامل مع السرعات بوحدة المتر لكل ثانية، ونتعامل مع الكتل بوحدة الجرام. ومن ثم، فسنحول كتلتي الكرتين إلى وحدة الكتلة الأساسية في النظام الدولي للوحدات، وهي الكيلوجرام. لفعل ذلك، نقسم كلتا الكتلتين على ١٠٠٠. فنحصل على ٠٫٢ كيلوجرام و٠٫٣٥ كيلوجرام على الترتيب.

حسنًا، كيف نحسب الدفع ﺩ الذي أثرت به الكرة الثانية على الكرة الأولى؟ أولًا، نعلم أن مقدار الدفع على الكرتين متساو. لدينا أيضًا معلومات عن سرعة الكرة الأولى قبل التصادم وبعده. هذا يعني أنه يمكننا حساب التغير في سرعة الكرة الأولى نتيجة التصادم. إذا أسمينا ذلك التغير في ﻉﺃ، حيث ﺃ هو اسم الكرة الأولى، فيمكننا القول إن هذا يساوي سرعتها النهائية ناقص سرعتها الابتدائية.

وبما أنها كانت تتحرك في البداية في الاتجاه الموجب، فسترتد وتتحرك في الاتجاه السالب. هذا يعني أنها إذا كانت تتحرك بسرعة سبعة أمتار لكل ثانية، فإن سرعتها تساوي سالب سبعة. ومن ثم، فالتغير في السرعة يساوي سالب سبعة ناقص ١٤. وهذا يساوي سالب ٢١ مترًا لكل ثانية. بعد ذلك، يمكننا حساب الدفع على الكرة الأولى بإيجاد التغير في كمية حركتها. كمية الحركة تساوي الكتلة مضروبة في السرعة. إذن، كان بإمكاننا حساب قيمتي كمية الحركة قبل التصادم وبعده ثم طرح إحداهما من الأخرى. يمكننا أيضًا، بدلًا من ذلك، ضرب كمية الحركة في التغير في السرعة. في حالة الكرة الأولى، يمكننا القول إن كتلتها تساوي ٠٫٢، والتغير في سرعتها يساوي سالب ٢١. إذن، فالدفع المؤثر على هذه الكرة يساوي ٠٫٢ في سالب ٢١، وهذا يساوي سالب ٤٫٢. والوحدة التي نستخدمها هي نيوتن ثانية.

بعد ذلك، نعلم أنه يوجد دفع مساو في المقدار، ولكنه مختلف في الإشارة، يؤثر على الكرة الثانية. بعبارة أخرى، يجب أن يساوي الدفع المؤثر على الكرة الثانية ٤٫٢ نيوتن ثانية. لكن يمكننا بالطبع ربط ذلك بالتغير في كمية الحركة. هذا يعني أنه يساوي كتلتها مضروبة في التغير في سرعتها. وبما أن الكرة كانت تتحرك في البداية في الاتجاه السالب بسرعة ثلاثة أمتار لكل ثانية، فإن التغير في سرعتها يساوي ﻉ ناقص سالب ثلاثة. إذن، فالتغير في كمية الحركة يساوي ٠٫٣٥ في ﻉ ناقص سالب ثلاثة. هذا الطرف الأيسر يكافئ ٠٫٣٥ في ﻉ زائد ثلاثة. وقد حسبنا مقدار الدفع المؤثر على الكرة الثانية بأنه يساوي ٤٫٢. إذن، يمكننا القول إن ٤٫٢ يساوي ٠٫٣٥ في ﻉ زائد ثلاثة.

بعد ذلك، نقسم الطرفين على ٠٫٣٥. ‏٤٫٢ مقسومًا على ٠٫٣٥ يساوي ١٢. بعد ذلك، نطرح ثلاثة من كلا الطرفين. ‏١٢ ناقص ثلاثة يساوي تسعة. وبذلك نكون قد حسبنا أن ﻉ تساوي تسعة أمتار لكل ثانية. ومن ثم، نكون قد أجبنا عن السؤال. دفع الكرة الثانية للكرة الأولى، الذي عرفناه سابقًا بأنه ﺩﺃ، هو في الحقيقة ﺩ يساوي سالب ٤٫٢ نيوتن ثانية. وبالمثل، فإن سرعة الكرة الثانية ﻉ تساوي مقدار تسعة أمتار لكل ثانية، وهو ما يساوي تسعة أمتار لكل ثانية.

في المثالين اللذين رأيناهما حتى الآن، أوضحنا كيفية استخدام حفظ كمية الحركة لحساب الكميات المختلفة بعد التصادم. ولكن من الجدير بالذكر في هذه المرحلة أنه على الرغم من أن كمية الحركة محفوظة، فهذا لا يعني بالضرورة أن طاقة الحركة محفوظة. في الواقع، توجد ثلاثة حالات. الحالة الأولى تسمى التصادم المرن. وهو تصادم تحفظ خلاله طاقة الحركة. أما التصادم غير المرن، فيتبدد فيه جزء من طاقة الحركة نتيجة الاحتكاك بين الجسيمين. وأخيرًا، يوجد ما يسمى التصادم غير المرن تمامًا. في هذا التصادم، تتبدد طاقة الحركة نتيجة الاحتكاك كما ورد في التعريف السابق. لكن الجسيمين يرتبطان معًا أيضًا، ما يؤدي إلى تحركهما بالسرعة نفسها بعد التصادم. قد يسمى هذا أحيانًا الالتحام.

في المثال الأخير، سنتناول حركة جسيمين بعد تصادم غير مرن.

تتحرك كرتان في خط مستقيم. كتلة إحداهما ﻙ وتتحرك بسرعة ﻉ، وكتلة الأخرى ١٠ جرامات وتتحرك بسرعة ٣٦ سنتيمترًا لكل ثانية. إذا كانت الكرتان تتحركان في الاتجاه نفسه عند تصادمهما، فستلتحمان في صورة جسم واحد يتحرك بسرعة ٣٠ سنتيمترًا لكل ثانية في الاتجاه نفسه. وإذا كانت الكرتان تتحركان في اتجاهين متعاكسين، واصطدمت إحداهما بالأخرى، فستلتحمان في صورة جسم واحد يتحرك بسرعة ستة سنتيمترات لكل ثانية في الاتجاه الذي كانت تتحرك فيه الكرة الأولى. أوجد ﻙ وﻉ.

باستخدام المعلومات المعطاة، سنكون معادلتين آنيتين بدلالة ﻙ وﻉ باستخدام حفظ كمية الحركة. على وجه التحديد، سنستخدم الصيغة التي تنص على أن كمية الحركة تساوي الكتلة في السرعة.

لنبدأ بتحديد الاتجاه إلى اليمين ليكون الاتجاه الموجب. إذن، يمكننا القول إن كمية حركة الكرة الأولى تساوي ﻙ في ﻉ. وكمية حركة الكرة الثانية تساوي ١٠ في ٣٦. وهذا يساوي ٣٦٠، وهو ما يعطينا كمية حركة كلية قبل التصادم تساوي ﻙﻉ زائد ٣٦٠. من خلال حفظ كمية الحركة، نعلم أن هذا المقدار يجب أن يساوي كمية الحركة الكلية بعد التصادم. كتلة الجسم الجديدة تساوي ١٠ زائد ﻙ، وسرعته تساوي ٣٠. وبما أنها في الاتجاه نفسه، فتظل موجبة، ما يعني أن كمية الحركة بعد التصادم تساوي ٣٠ في ١٠ زائد ﻙ. بفك الأقواس وإعادة ترتيب المعادلة، يمكننا تكوين المعادلة ٦٠ يساوي ٣٠ﻙ ناقص ﻙﻉ.

والآن بعد أن توصلنا إلى هذه المعادلة، لنكمل عمليات الحالة الثانية. في هذه الحالة، تتحرك هاتان الكرتان في اتجاهين متضادين. هذا يعني أن سرعة الكرة الثانية يجب أن تكون سالب ٣٦. إذن، فكمية الحركة الكلية تساوي ﻙﻉ ناقص ٣٦٠ قبل التصادم. بعد التصادم، تلتحم الكرتان، وهو ما يعطينا كتلة كلية تساوي ١٠ زائد ﻙ. ثم تتحركان بسرعة ستة سنتيمترات لكل ثانية، في الاتجاه الموجب أيضًا. هذه المرة، إذا فككنا الأقواس وأعدنا ترتيب المعادلة، فسنحصل على المعادلة سالب ٤٢٠ يساوي ستة ﻙ ناقص ﻙﻉ.

لعلنا نلاحظ أنه يمكننا حساب قيمة ﻙ هنا بسرعة. فلدينا نظام معادلات يتضمن الحد المتشابه سالب ﻙﻉ. دعونا نحدد هاتين المعادلتين بأنهما المعادلة واحد والمعادلة اثنان على الترتيب. بعد ذلك، إذا طرحنا معادلة من الأخرى، ولا يهم بأي معادلة نبدأ، فإن الحد سالب ﻙﻉ سيختفي. ‏٦٠ ناقص سالب ٤٢٠ يساوي ٤٨٠. وبعد ذلك، ٣٠ﻙ ناقص ستة ﻙ يساوي ٢٤ﻙ، وسالب ﻙﻉ ناقص سالب ﻙﻉ يساوي صفرًا. إذا قسمنا الطرفين بعد ذلك على ٢٤، فسنجد أن ﻙ تساوي ٢٠ أو ٢٠ جرامًا.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة ﻉ بالتعويض بقيمة ﻙ في أي من المعادلتين السابقتين. عندما نفعل ذلك، نحصل على ٦٠ يساوي ٣٠ في ٢٠ ناقص ٢٠ﻉ، وهو ما يعطينا سالب ٥٤٠ يساوي سالب ٢٠ﻉ. وأخيرًا، نقسم الطرفين على سالب ٢٠، ونجد أن ﻉ تساوي ٢٧ سنتيمترًا لكل ثانية. ‏ﻙ تساوي ٢٠ جرامًا، وﻉ تساوي ٢٧ سنتيمترًا لكل ثانية.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الدرس. في هذا الدرس، عرفنا أن كمية حركة الجسم، المتجه ﻣ، تساوي ﻙ في متجه السرعة ﻉ، لكننا نتعامل بشكل عام مع الصورة القياسية ﻣ تساوي ﻙﻉ. رأينا أيضًا أنه إذا كنا نتعامل مع نظام مغلق، فستكون كمية الحركة الكلية محفوظة. بعبارة أخرى، كمية الحركة الكلية قبل التصادم تساوي كمية الحركة الكلية بعده. ورأينا أن الدفع يساوي التغير في كمية الحركة. وتعلمنا معنى أن يكون التصادم مرنًا، وغير مرن، وغير مرن تمامًا.