فيديو الدرس: الاحتمال التجريبي الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفسر مجموعة بيانات بإيجاد وحساب قيمة الاحتمال التجريبي.

١٢:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفسر مجموعة بيانات بإيجاد وحساب قيمة الاحتمال التجريبي.

عند حساب الاحتمال، فإننا نحدد بالفعل احتمالية وقوع حدث ما. هناك طريقتان رئيسيتان يمكننا من خلالهما حساب قيمة احتمال وقوع حدث ما. دعونا نتناول هاتين الطريقتين أولًا. إحدى الطريقتين التي يمكننا بها حساب قيمة الاحتمال هي النظر إلى السمات أو الخواص الفيزيائية للحدث في السؤال. على سبيل المثال، إذا أردنا حساب احتمال ظهور العدد خمسة على أحد أوجه حجر نرد منتظم، فسنضع في اعتبارنا عدد أوجه حجر النرد. سيكون الاحتمال سدس هو الاحتمال النظري لظهور العدد خمسة.

لكن في بعض الأحيان لا يمكننا استخدام الاحتمال النظري، على سبيل المثال، إذا علمنا أن حجر النرد هذا غير منتظم. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الاحتمال التجريبي. هذا يحدث عند إجراء تجربة ما؛ على سبيل المثال، إلقاء حجر نرد. ويمكننا القول إننا نجري تجارب متكررة ونسجل ناتج أو نتيجة كل محاولة. إذن، يمكننا حساب الاحتمال التجريبي باستخدام الصيغة التي تفيد بأن هذا الاحتمال يساوي عدد التجارب التي يحدث فيها الناتج على إجمالي عدد التجارب. لنر الآن كيف يمكننا تطبيق ذلك على مثال عملي.

يوضح الجدول الآتي نتائج استطلاع رأي أجري لمعرفة وجبة الإفطار المفضلة لدى ٢٠ ﻃﺎﻟﺒﺎ. إذا اختير طالب عشوائيًّا، فما احتمال أن يكون ممن يفضلون البيض؟

يمكننا أن نبدأ حل هذا السؤال بإلقاء نظرة على الجدول. يمكننا أن نلاحظ أنه من بين ٢٠ طالبًا قال ١٠ طلاب إن البيض هو وجبة الإفطار المفضلة لديهم، وقال طالبان إن حبوب الإفطار هي وجبة الإفطار المفضلة لديهم، وقال ثمانية طلاب إن الشطائر هي وجبة الإفطار المفضلة لديهم. عندما يتعلق الأمر بحساب احتمال أن يكون أحد الطلاب ممن يفضلون البيض، فإننا نفكر في ذلك باعتباره احتمالًا تجريبيًّا. على الرغم من أنها لا تبدو تجربة تقليدية، فقد أجريت تجربة متكررة لسؤال طلاب مختلفين عن وجبة الإفطار المفضلة لديهم، ثم تسجيل النواتج. هذه النواتج هي الإجابات التي قدمها الطلاب. إذن، الصيغة القياسية التي يمكننا استخدامها لحساب الاحتمال التجريبي هي أن الاحتمال التجريبي يساوي عدد التجارب التي يحدث فيها الناتج على إجمالي عدد التجارب.

لكن يمكننا إعادة كتابة ذلك وفقًا للسياق. إننا نريد حساب احتمال أن يكون أحد الطلاب ممن يفضلون البيض. إذن، يمكننا حساب ذلك هكذا: عدد الطلاب الذين يفضلون البيض على إجمالي عدد الطلاب الذين أجري عليهم الاستطلاع. نلاحظ من الجدول أن إجمالي عدد الطلاب الذين يفضلون البيض يساوي ١٠. وعلمنا من السؤال أن إجمالي عدد الطلاب الذين أجري عليهم الاستطلاع يساوي ٢٠. لكن، نلاحظ أنه حتى إذا لم يعطنا السؤال العدد الإجمالي ٢٠، فيمكننا حساب ذلك من مجموع التكرارات؛ أي عدد الطلاب، وهو ١٠ زائد اثنين زائد ثمانية. إذن، لدينا الآن احتمال أن يكون أحد الطلاب ممن يفضلون البيض هو ١٠ على ٢٠. لكننا نعلم بالطبع أنه يمكن تبسيط هذا الكسر ليصبح نصفًا. ومن ثم، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بأن احتمال أن يكون طالب مختارًا عشوائيًّا ممن يفضلون البيض هو نصف.

في المثال التالي، سنرى كيف نحسب الاحتمال بمعلومية نواتج تجربة ما على صورة مجموعة.

تصنع سالي لعبة دوارة ذات ثلاثة جوانب باستخدام الألوان: الأحمر والأخضر والأزرق. أدارت سالي اللعبة الدوارة، وسجلت النواتج الآتية: أحمر، أزرق، أحمر، أخضر، أخضر، أخضر، أحمر، أحمر، أحمر، أخضر. احسب الاحتمال التجريبي لاستقرار اللعبة الدوارة على اللون الأخضر.

علمنا من السؤال أن سالي لديها لعبة دوارة ذات ثلاثة جوانب بثلاثة ألوان، وهي: الأحمر والأخضر والأزرق. وقد سجلت نواتج تجربة تدوير اللعبة الدوارة. وعلينا حساب الاحتمال التجريبي لاستقرار اللعبة الدوارة على اللون الأخضر. الاحتمال التجريبي لحدث ما هو نسبة عدد نواتج وقوع هذا الحدث إلى إجمالي عدد المحاولات في التجربة. سنحسب هنا الاحتمال التجريبي لاستقرار اللعبة الدوارة على اللون الأخضر. هذا يساوي عدد مرات الاستقرار على اللون الأخضر على إجمالي عدد الدورات.

باستخدام مجموعة النواتج، يمكننا ملاحظة أن اللعبة الدوارة استقرت على اللون الأخضر أربع مرات. وبعد النواتج، يمكننا إيجاد أن عدد الدورات يجب أن يكون ١٠. يمكن تبسيط الكسر أربعة أعشار إلى خمسين. ومن ثم، يمكننا الإجابة عن السؤال بأن الاحتمال التجريبي لاستقرار اللعبة الدوارة على اللون الأخضر يساوي خمسين. ولكن، بما أن الاحتمالات يمكن أن تعطى على صورة كسور أو أعداد عشرية أو نسب مئوية، فإن ٠٫٤ أو ٤٠ بالمائة قد يمثلان أيضًا إجابتين صحيحتين.

لقد رأينا الآن كيف يمكننا إيجاد الاحتمال التجريبي عندما تعطى البيانات على صورة جدول وعلى صورة مجموعة من النواتج. في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا استخدام تمثيل بياني بالأعمدة لحساب الاحتمال التجريبي.

يوضح التمثيل البياني نواتج تجربة؛ حيث رمي حجر نرد ٢٦ مرة. أوجد الاحتمال التجريبي لظهور العدد اثنين. اكتب إجابتك في صورة كسر في أبسط صورة.

نلاحظ هنا أن لدينا تمثيلًا بيانيًّا بالأعمدة يمثل عدد مرات ظهور القيم من واحد إلى ستة على حجر نرد. على سبيل المثال، ظهر العدد واحد أربع مرات. وظهر العدد اثنان ثماني مرات. يمكننا حساب الاحتمال التجريبي لظهور العدد اثنين على صورة عدد مرات ظهور العدد اثنين على إجمالي عدد الرميات. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني بالأعمدة، حتى وإن لم يكن لدينا العدد ثمانية، فيمكننا أن نرى أن أعلى عمود العدد اثنين يصل إلى القيمة ثمانية. بعبارة أخرى، ظهر العدد اثنان ثماني مرات. بعد ذلك، علمنا من السؤال أن حجر النرد قد رمي ٢٦ مرة. لكن حتى إذا لم يكن لدينا إجمالي عدد الرميات هذا، فيمكننا حسابه بجمع أربعة وثمانية وثمانية وثلاثة وواحد واثنين. وهذا سيعطينا القيمة ٢٦. ومن ثم، احتمال ظهور العدد اثنين يساوي ثمانية على ٢٦. لكن بما أن هذين العددين زوجيان، فإننا نعلم أن هذا الكسر سيبسط إلى أربعة على ١٣. إذن، هذا هو الاحتمال التجريبي لظهور العدد اثنين على صورة كسر في أبسط صورة.

دعونا نتناول الآن مثالًا آخر.

لعبة في مهرجان ما تقوم على التحدي بين الأشخاص في رمي كرة عبر إطار دائري. من بين أول ٦٨ مشاركًا، فاز ثلاثة أشخاص بالجائزة الذهبية، وفاز ١٢ بالجائزة الفضية، وفاز ١٥ بالجائزة البرونزية. ما الاحتمال التجريبي لعدم الفوز بأي جائزة من الثلاث؟

على الرغم من أنه قد يبدو للوهلة الأولى أن هناك ثلاثة نواتج فقط مختلفة لهذه اللعبة، ففي الواقع هناك أربعة نواتج. من الممكن الفوز بجائزة ذهبية أو فضية أو برونزية أو عدم الفوز بأي جائزة. وبمعلومية أن ثلاثة أشخاص فازوا بالجائزة الذهبية، و١٢ فازوا بالجائزة الفضية، و١٥ فازوا بالجائزة البرونزية من إجمالي ٦٨ مشاركًا، يمكننا حساب عدد المشاركين الذين لم يفوزوا بأي جائزة. هذا سيساوي ٦٨ ناقص ثلاثة زائد ١٢ زائد ١٥. بعبارة أخرى، هذا يساوي ٣٨ شخصًا. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه القيمة لإيجاد الاحتمال التجريبي لعدم الفوز بأي جائزة؛ حيث إن هذا يساوي عدد المشاركين الذين لم يفوزوا بأي جائزة على إجمالي عدد المشاركين. لم يفز ٣٨ شخصًا بأي جائزة، وكان هناك إجمالي ٦٨ مشاركًا. يمكن تبسيط ذلك لتصبح الإجابة أن الاحتمال التجريبي لعدم الفوز بأي جائزة من الجوائز الثلاث يساوي ١٩ على ٣٤.

في السؤال الأخير، سنستخدم احتمالًا تجريبيًّا معطى وقيمة عدد النواتج لحساب إجمالي عدد المحاولات في التجربة.

الاحتمال التجريبي لظهور الكتابة على عملة معدنية هو ثلاثة أسباع. إذا ظهرت الكتابة على العملة المعدنية ٣٠ مرة، فكم مرة ألقيت العملة المعدنية في التجربة؟

في هذا السؤال، لدينا الاحتمال التجريبي لظهور الكتابة على عملة معدنية. حسب هذا الاحتمال باستخدام بيانات من تجربة تتضمن محاولات متكررة لرمي العملة المعدنية. ولدينا أيضًا عدد نواتج ظهور الكتابة على العملة المعدنية؛ أي عدد المرات التي استقرت فيها العملة المعدنية على الكتابة، وهو ٣٠. يمكننا أن نتذكر أنه، بوجه عام، يمكن حساب الاحتمال التجريبي على صورة عدد المحاولات، أو التجارب، التي يحدث فيها الناتج على إجمالي عدد المحاولات. في سياق هذه المسألة، يمكننا القول إن الاحتمال التجريبي لظهور الكتابة على عملة معدنية يساوي عدد مرات ظهور الكتابة على العملة المعدنية على إجمالي عدد مرات إلقاء العملة المعدنية.

عادة، عند استخدام هذه الصيغة، فإننا نستخدمها لحساب الاحتمال التجريبي عندما يكون لدينا القيمتان في الطرف الأيسر. لكننا نعلم هنا قيمة الاحتمال التجريبي، ونعلم عدد مرات ظهور الكتابة على العملة المعدنية، ونريد حساب إجمالي عدد مرات إلقاء العملة المعدنية. إذن، يمكننا التعويض بالقيمتين ثلاثة أسباع عن الاحتمال التجريبي، و٣٠ عن عدد مرات ظهور الكتابة على العملة المعدنية. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة عن طريق الضرب التبادلي. ثلاثة في إجمالي عدد مرات إلقاء العملة المعدنية يساوي ٣٠ في سبعة، و٣٠ في سبعة يساوي ٢١٠. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على ثلاثة. ‏٢١٠ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٧٠. إذن، الإجابة هي أن العملة المعدنية ألقيت ٧٠ مرة في هذه التجربة.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا: رأينا أنه يمكننا استخدام التجارب لحساب قيمة احتمال وقوع حدث ما. لتجميع البيانات لحساب الاحتمال التجريبي، فإننا نجري تجارب متكررة ونسجل ناتج كل تجربة. من الجدير بالذكر أنه كلما زاد عدد التجارب التي نجريها، زادت دقة تقدير النواتج التي سنحصل عليها. الاحتمال التجريبي لحدث ما هو نسبة عدد نواتج وقوع حدث معين إلى إجمالي عدد المحاولات في التجربة. يمكننا تذكر ذلك في الصيغة العامة التي تفيد بأن الاحتمال التجريبي لحدث ما يساوي عدد المحاولات، أو التجارب، التي يحدث فيها الناتج على إجمالي عدد المحاولات. وأخيرًا، كما رأينا في نطاق الأمثلة السابقة، يمكننا حساب الاحتمال التجريبي من البيانات الممثلة في صورة كلامية أو مجموعة من النواتج أو جدول أو تمثيل بياني.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.