نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تكعيب ناقص سبعة، وﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا.
حسنًا، بما أنه موضح لنا في المعطيات أن كلًّا من ﺹ وﻉ دالة في المتغير ﺱ، فقد يميل البعض إلى كتابة ﻉ على صورة دالة في المتغير ﺹ. لكن هناك طريقة أبسط؛ وهي استخدام قاعدة السلسلة.
دعونا نسترجع في البداية أن المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ تساوي مشتقة ﺩﻉ على ﺩﺹ بالنسبة إلى ﺹ. وبما أن كلًّا من ﺹ وﻉ معطى لنا بوصفه دالة في المتغير ﺱ، يمكننا حساب مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺹ باستخدام قاعدة السلسلة. وبهذا، يصبح لدينا مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ مضروبة في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺹ. وبما أن ﺹ معطى لنا بوصفه دالة في المتغير ﺱ، فبدلًا من الضرب في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺹ، يمكننا القسمة على مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.
يمكننا الآن حساب ذلك. لدينا مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة سالب خمسة ﺱ تكعيب ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. ولاشتقاق سالب خمسة ﺱ تكعيب، نضرب أولًا في الأس لنحصل بذلك على سالب خمسة مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ١٥. وبعد ذلك، نطرح واحدًا من الأس. نحن نعلم أن مشتقة الثابت سالب سبعة تساوي صفرًا. وبذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي سالب ١٥ﺱ تربيع.
وبالمثل، مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦ بالنسبة إلى ﺱ. ولاشتقاق ثلاثة ﺱ تربيع، نضرب أولًا في الأس. وهذا يعطينا ثلاثة مضروبًا في اثنين؛ ما يساوي ستة. وبطرح واحد من الأس بعد ذلك، نحصل على ﺱ أس واحد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ﺱ فقط. ومشتقة الثابت ١٦ تساوي صفرًا. وعليه، نجد أن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ستة ﺱ.
يمكننا الآن استخدام صيغة قاعدة السلسلة. ﺩﻉ على ﺩﺹ يساوي ﺩﻉ على ﺩﺱ مقسومًا على ﺩﺹ على ﺩﺱ. بالتعويض عن ﺩﻉ على ﺩﺱ بستة ﺱ، وعن ﺩﺹ على ﺩﺱ بسالب ١٥ﺱ تربيع، نحصل على ستة ﺱ مقسومًا على سالب ١٥ﺱ تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك بإلغاء العامل المشترك ﺱ وكذلك العامل المشترك ثلاثة من كل من البسط والمقام. وبهذا، نجد أن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺹ تساوي سالب اثنين مقسومًا على خمسة ﺱ.
نلاحظ أن دالة المشتقة ﺩﻉ على ﺩﺹ هي دالة في المتغير ﺱ. لذا، دعونا نسم هذه الدالة ﺩﺱ. إننا نعلم أن السؤال يطلب منا حساب المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ. وهذا يكافئ حساب مشتقة الدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺹ. نحن نعلم بالفعل كيف نحسب مشتقة دالة في المتغير ﺱ بالنسبة إلى ﺹ باستخدام قاعدة السلسلة. عند القيام بذلك، نجد أن مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺹ تساوي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ مضروبة في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺹ.
بنفس الطريقة إذن، بدلًا من الضرب في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺹ، يمكننا القسمة على مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وبهذا يكون لدينا المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ تساوي مشتقة ﺩﻉ على ﺩﺹ بالنسبة إلى ﺹ، والتي عرفناها بأنها تساوي ﺩﺱ. وباستخدام قاعدة السلسلة بعد ذلك، نجد أن هذا يساوي ﺩﺩ على ﺩﺱ مقسومًا على ﺩﺹ على ﺩﺱ.
مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة سالب اثنين مقسومًا على خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا قسمة ذلك على مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، والتي أوضحنا أنها تساوي سالب ١٥ﺱ تربيع. يمكننا هنا إعادة كتابة سالب اثنين مقسومًا على خمسة ﺱ ليصبح على الصورة سالب خمسين مضروبًا في ﺱ أس سالب واحد. ويمكننا اشتقاق ذلك كما فعلنا من قبل. نضرب في أس سالب واحد لنحصل بذلك على خمسين. ونطرح واحدًا من الأس بعد ذلك، فنحصل على ﺱ أس سالب اثنين.
يمكننا تبسيط ﺱ أس سالب اثنين بالقسمة على ﺱ تربيع، وهذا يعطينا اثنين مقسومًا على خمسة ﺱ تربيع. يمكننا أيضًا تبسيط القسمة على سالب ١٥ﺱ تربيع ونضرب بدلًا من ذلك في سالب واحد مقسومًا على ١٥ﺱ تربيع. وبهذا، نكون قد أوضحنا أن المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ تساوي سالب اثنين مقسومًا على ٧٥ﺱ أس أربعة. ويمكننا التفكير فيها بوصفها دالة في المتغير ﺱ.
بالعودة إلى السؤال، نجد أنه مطلوب منا إيجاد المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا. ولفعل ذلك، علينا التعويض عن ﺱ بواحد في معادلة المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ. وعليه، نجد أن المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا تساوي سالب اثنين مقسومًا على ٧٥ في واحد أس أربعة. وهذا يساوي سالب اثنين مقسومًا على ٧٥.
لقد علمنا أن ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تكعيب ناقص سبعة وﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦. واستطعنا بذلك توضيح أن المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا تساوي سالب اثنين مقسومًا على ٧٥.
