فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى صور النهاية باستخدام العدد هـ الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ → ∞) ((٧ﺱ + ٥)‏/‏(٧ﺱ + ٢))^(−٦ﺱ − ٥).

١٦:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لسبعة ﺱ زائد خمسة الكل على سبعة ﺱ زائد اثنين الكل أس سالب ستة ﺱ ناقص خمسة.

المطلوب منا في هذا السؤال هو إيجاد قيمة نهاية. وأول ما علينا فعله دائمًا عندما يكون المطلوب إيجاد قيمة نهاية، هو محاولة إيجادها مباشرة. في هذه النهاية، نرى أن ﺱ يقترب من ∞. وداخل القوسين، لدينا خارج قسمة كثيرتي حدود. يقترب كل من البسط والمقام في هذا التعبير من ∞ عندما يقترب ﺱ من ∞. وهذا لن يفيدنا. بدلًا من ذلك، علينا ملاحظة أن كلًّا من البسط والمقام هما دالتان خطيتان. ومن ثم، تتساوى تحديدًا درجة كثيرتي الحدود. بعد ذلك، ننظر إلى خارج قسمة الحدين الرئيسيين، وهو في هذه المسألة سبعة على سبعة، وهو ما يساوي واحدًا. وبذلك، عندما يقترب ﺱ من ∞، فإن ذلك يساوي واحدًا. بعبارة أخرى، يزداد البسط والمقام بالمعدل نفسه. وإيجاد قيمة الأس لهذا التعبير أسهل كثيرًا. لدينا سالب ستة ﺱ ناقص خمسة. وعندما يقترب ﺱ من ∞، يقترب سالب ستة ﺱ من سالب ∞.

لذا، بمحاولة إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة، فإننا نحصل على واحد أس سالب ∞، وهو صيغة غير معينة. ومن ثم، علينا محاولة استخدام طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية. لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا البدء بتبسيط التعبير داخل القوسين. وتوجد بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام قسمة كثيرتي الحدود. لكن أسهل طريقة هي إعادة كتابة بسط هذا التعبير على صورة سبعة ﺱ زائد اثنين زائد ثلاثة. وبذلك، نجد أن قسمة سبعة ﺱ زائد اثنين على المقام سبعة ﺱ زائد اثنين تساوي واحدًا. فنحصل على ثلاثة على سبعة ﺱ زائد اثنين. ومن ثم، يمكننا إحلال واحد زائد ثلاثة على سبعة ﺱ زائد اثنين محل الدالة الكسرية داخل القوسين. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لواحد زائد ثلاثة على سبعة ﺱ زائد اثنين الكل مرفوع للقوة سالب ستة ﺱ ناقص خمسة.

والآن، توجد بضع طرق مختلفة لإيجاد قيمة هذه النهاية. وأسهل طريقة هي استخدام إحدى النهايتين المستنتجتين اللتين تتضمنان ثابت أويلر ﻫ. في هذا الفيديو، سنستخدم النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ تساوي ﻫ. ومع ذلك، جدير بالذكر أنه يمكننا استخدام النهاية المستنتجة الأخرى التي تتضمن ثابت أويلر ﻫ للإجابة عن هذا السؤال. لكن عادة ما تكون إحدى النهايتين المستنتجتين أسهل من النهاية الأخرى. لكنه من الصعب تحديد أي منهما سنستخدمه بمجرد النظر إلى النهاية المطلوب إيجاد قيمتها. إذا واجهنا صعوبة، فعلينا أن نحاول استخدام النهاية المستنتجة الأخرى. لاستخدام هذه النهاية المستنتجة لإيجاد قيمة النهاية، نريد أن يكون لدينا داخل القوسين واحد زائد ﻥ.

ومن ثم، علينا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض. سنستخدم التعويض ﻥ يساوي ثلاثة مقسومًا على سبعة ﺱ زائد اثنين. لكن هذه ليست المرة الوحيدة التي يظهر فيها ﺱ في هذه النهاية. فالنهاية هي عندما يقترب ﺱ من ∞، كما أن ﺱ يظهر أيضًا في الأس. لذا، علينا إعادة كتابة ﺱ في كل مرة بدلالة ﻥ. دعونا نبدأ بـ ﺱ يقترب من ∞. نلاحظ أنه عندما يقترب ﺱ من ∞، يكون لدينا في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، ثلاثة مقسومًا على سبعة ﺱ زائد اثنين. يظل البسط ثابتًا، بينما يتزايد المقام بلا حد. وبما أن ﺱ يقترب من ∞، فلا بد أن ﻥ يقترب من الصفر. ونحن نعلم أيضًا أن ﻥ يقترب من الصفر من ناحية اليمين. ولكن ليس من الضروري استخدام هذه المعلومة.

بعد ذلك، علينا إيجاد تعبير عن ﺱ بدلالة ﻥ. ولنفعل ذلك، علينا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد ﻥ. سنبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في سبعة ﺱ زائد اثنين، ثم قسمة كل منهما على ﻥ. وهذا يعطينا سبعة ﺱ زائد اثنين يساوي ثلاثة مقسومًا على ﻥ. تذكر أننا نريد تعبيرًا عن ﺱ. لذا، علينا طرح اثنين من كلا طرفي هذه المعادلة، ثم قسمة الطرفين على سبعة. فنحصل على ﺱ يساوي سبعًا مضروبًا في ثلاثة على ﻥ ناقص اثنين. سنعوض بهذا التعبير في النهاية، وهكذا يمكننا استخدامه لإعادة كتابة النهاية. أولًا، تذكر أنه عندما يقترب ﺱ من ∞، فإن ﻥ يقترب من الصفر. ومن ثم، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ستة مضروبًا في واحد على سبعة في ثلاثة على ﻥ ناقص اثنين مطروحًا منه خمسة.

تذكر أننا نحاول كتابة هذه النهاية على صورة النهاية المستنتجة. لدينا الآن في النهاية ﻥ يقترب من الصفر، ولدينا داخل القوسين واحد زائد ﻥ. لكننا نريد أن يكون الأس على صورة واحد على ﻥ. لذا، كل ما سنفعله هو تبسيط الأس. ولنفعل ذلك، كل ما علينا فعله هو توزيع سبع على القوسين، وتوزيع سالب ستة على القوسين. وبذلك، يصبح الأس سالب ١٨ على سبعة ﻥ زائد ١٢ على سبعة ناقص خمسة. وعلى الرغم من عدم ضرورة التبسيط، فيمكننا تبسيط هذا التعبير. ‏١٢ على سبعة ناقص خمسة يساوي سالب ٢٣ على سبعة.

وبذلك، نكون قد أعدنا كتابة هذه النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس سالب ١٨ على سبعة ﻥ ناقص ٢٣ على سبعة. وبهذا، فإننا نقترب جدًّا من تطبيق النهاية المستنتجة مباشرة. تذكر أننا نريد أن يكون الأس واحدًا على ﻥ. لذا، علينا كتابة النهاية بالأس واحد على ﻥ فقط. ولفعل ذلك، سنبدأ بتقسيم النهاية باستخدام قوانين الأسس. وهناك بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. سنستخدم قانون الأسس الذي يخبرنا أن ﺃ أس ﺏ ناقص ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ مضروبًا في ﺃ أس سالب ﺟ. وكما سنرى، يمكننا أيضًا فعل هذا بكتابة التعبير على صورة ﺃ أس ﺏ مقسومًا على ﺃ أس ﺟ.

لقد اخترنا استخدام هذه الصورة لتوفير المساحة فحسب. ومن ثم، فإننا نحصل على النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ١٨ على سبعة ﻥ مضروبًا في واحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٢٣ على سبعة. ونلاحظ الآن أننا نحسب نهاية حاصل ضرب. لذا، علينا تبسيط هذه النهاية باستخدام قاعدة الضرب للنهايات. إننا نتذكر أن قاعدة الضرب للنهايات تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ في ﻕﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ مضروبة في النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﻕﻥ بشرط وجود كل من النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ والنهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﻕﻥ.

لكن في هذه المسألة، نحن لا نعرف تمامًا إذا ما كانت هاتان النهايتان موجودتين هنا أو لا. نعلم في هذه المرحلة أن نهاية العامل الثاني موجودة. عندما يقترب ﻥ من صفر، فإن ﻥ يقترب من صفر أيضًا داخل القوسين. وبذلك، يقترب هذا التعبير من واحد أس سالب ٢٣ على سبعة، وهو ما يساوي واحدًا. ومن ثم، إذا كانت نهاية العامل الأول موجودة بالفعل، فباستخدام قاعدة الضرب للنهايات، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ١٨ على سبعة ﻥ مضروبًا في واحد. وبالطبع، لن يغير الضرب في واحد قيمة النهاية. إذن، لنبرر استخدامنا لقاعدة الضرب للنهايات، علينا التأكد من وجود هذه النهاية. لكن يمكننا التأكد من ذلك عن طريق الاستمرار في الحل، ثم الرجوع إذا اتضح أن هذه النهاية غير موجودة.

يكاد أن يمكننا الآن استخدام النهاية المستنتجة. علينا فقط كتابة الأس على صورة واحد على ﻥ. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة لبقية الحل. نريد إعادة كتابة هذا التعبير ليصبح الأس واحدًا على ﻥ. ولفعل ذلك، علينا استخدام أحد قوانين الأسس. ‏ﺃ أس ﺏ في ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ الكل مرفوع للقوة ﺟ. وبتطبيق ذلك بحيث يكون ﺃ واحدًا زائد ﻥ، وﺏ واحدًا على ﻥ، وﺟ سالب ١٨ على سبعة، فإننا نحصل على النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ١٨ على سبعة.

وفي هذه المرحلة، سيكون من المغري تطبيق النهاية المستنتجة مباشرة. لكن لا يمكننا أن نفعل هذا لأن الأس سالب ١٨ على سبعة لا يزال داخل النهاية. ومن ثم، لا تتطابق النهايتان تمامًا. بدلًا من ذلك، علينا استخدام قاعدة القوة للنهايات. نتذكر أن قاعدة القوة للنهايات تنص على أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ مرفوعًا للقوة ﻙ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ الكل مرفوع للقوة ﻙ، بشرط وجود النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ. وعند رفع النهاية إلى القوة ﻙ، فيجب أن يكون الناتج موجودًا أيضًا. وفي هذه المسألة، يمكننا توضيح تحقق هذين الأمرين.

وأسهل طريقة لتوضيح تحقق كل من هذين الشرطين الأساسيين هي عرض السطر التالي من الحل. إذا أردنا تطبيق قاعدة القوى للنهايات، فسيكون لدينا الآن النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ أس واحد على ﻥ الكل أس سالب ١٨ على سبعة. ولإثبات صحة ذلك، علينا توضيح تحقق أمرين. أولًا، علينا إثبات وجود النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس واحد على ﻥ. وهذه هي النهاية المستنتجة. نحن نعلم بالفعل أنها تساوي ثابت أويلر ﻫ. لكن هذا ليس كل شيء. نريد أيضًا أن يكون بإمكاننا رفع ذلك للقوة سالب ١٨ على سبعة، وهو ما نعلم أنه يمكننا فعله لأن ﻫ هو عدد موجب.

وبما أن هذا صحيح، فقد بررنا استخدامنا لقاعدة القوة للنهايات. وهذا يعني أن تلك النهاية يجب أن تساوي ﻫ أس سالب ١٨ على سبعة. وتجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أنه بما أننا قد أوضحنا وجود هذه النهاية، فقد بررنا أيضًا استخدامنا لقاعدة الضرب للنهايات التي استخدمناها من قبل. لأننا، تذكر، لم نكن قد أثبتنا بعد وجود النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس سالب ١٨ على سبعة ﻥ. لكننا قد أوضحنا للتو أن النهاية موجودة، وأنها تساوي ﻫ أس سالب ١٨ على سبعة. ويمكننا أن نترك إجابتنا بهذا الشكل. لكننا سنستخدم قوانين الأسس لإعادة كتابة الإجابة على صورة واحد على ﻫ أس ١٨ على سبعة، وهذه هي إجابتنا النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لسبعة ﺱ زائد خمسة الكل على سبعة ﺱ زائد اثنين الكل أس سالب ستة ﺱ ناقص خمسة تساوي واحدًا مقسومًا على ﻫ أس ١٨ على سبعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.