فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى صور النهاية باستخدام العدد ﻫ الرياضيات

أوجد lim_(ﺱ→∞) (١ − (٦‏/‏ﺱ))^(ﺱ − ٩).

٠٨:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد ناقص ستة على ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺱ ناقص تسعة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة نهاية، وأول ما يجب علينا فعله دائمًا هو محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بطريقة مباشرة. لدينا هنا النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، ويمكننا أن نرى داخل القوس أنه عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، يقترب سالب ستة على ﺱ من صفر؛ لأن البسط يظل ثابتًا. لكن قيمة المقام تزداد بلا حدود. إذن، عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية داخل القوس، يكون لدينا واحد ناقص صفر، وهو ما يساوي واحدًا. لكن تذكر أنه لا يزال لدينا الأس ﺱ ناقص تسعة. عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، يقترب هذا من ما لا نهاية. لذا، عندما نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة، نحصل على واحد أس ما لا نهاية، وهي صيغة غير معينة. وبهذا لا يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد قيمة النهاية. لذا سيكون علينا أن نجرب طريقة أخرى لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية.

لفعل ذلك، نلاحظ أن النهاية المعطاة في هذا السؤال تشبه إلى حد كبير نهايات نعرف بالفعل كيفية إيجاد قيمها. إنها تشبه جدًا النهاية باستخدام عدد أويلر ﻫ. في الواقع، لإيجاد قيمة هذه النهاية، يمكننا استخدام أي من النهايتين اللتين نحصل منهما على عدد أويلر ﻫ. في هذا الفيديو، سنستخدم النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ يساوي ﻫ.

لكن تذكر أنه عند حل مسائل من هذا النوع، عادة ما نجد أن إحدى النهايتين الناتجتين لعدد أويلر ﻫ تجعل حل السؤال أسهل. ولكن من الصعب معرفة أيهما أفضل بمجرد النظر إلى النهاية التي علينا إيجاد قيمتها. لذا، إذا تعثرت أثناء استخدام إحدى النهايتين، فجرب استخدام النهاية الأخرى. لاستخدام هذه النهاية الناتجة، علينا إعادة كتابة النهاية على هذه الصورة. وللقيام بذلك، نحتاج إلى أن نضع واحد زائد ﻥ داخل القوس. إذن، أول ما علينا فعله هو التعويض عن سالب ستة على ﺱ بـ ﻥ. باستخدام هذا التعويض، يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة ﺱ ناقص تسعة.

لكن عند هذه النقطة، لا يمكننا أيضًا إيجاد قيمة هذه النهاية بطريقة مباشرة. لفعل ذلك، علينا إعادة كتابة النهاية لتصبح بدلالة ﻥ بالكامل. ولفعل ذلك، دعونا نبدأ بإيجاد تعبير لـ ﺱ بدلالة ﻥ. لفعل ذلك، علينا إعادة ترتيب التعبير الذي عوضنا عنه بـ ﻥ. نضرب طرفي هذه المعادلة في ﺱ ثم نقسم الطرفين على ﻥ. وهو ما يعطينا ﺱ يساوي سالب ستة على ﻥ. والآن يمكننا التعويض عن ﺱ بهذا التعبير في النهاية. وهو ما يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ستة على ﻥ ناقص تسعة.

آخر ما علينا فعله هو ملاحظة ما يحدث لقيمة ﻥ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وأسهل طريقة لمعرفة ذلك هي النظر إلى التعبير الذي عوضنا عنه بـ ﻥ. كلما اقتربت قيم ﺱ من ما لا نهاية، اقترب سالب ستة على ﺱ من الصفر. إذن، ﻥ يقترب من الصفر، وبهذا يمكننا إعادة كتابة النهاية عندما ﻥ يقترب من الصفر. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ستة على ﻥ ناقص تسعة. والآن يمكننا ملاحظة أن هذه النهاية أصبحت على نفس صورة النهاية الناتجة تقريبًا. الفرق الوحيد هنا هو الأس. فبدلًا من أس واحد على ﻥ، لدينا سالب ستة على ﻥ ناقص تسعة. سنحاول إذن إعادة كتابة هذه النهاية ليصبح الأس واحدًا على ﻥ.

ولفعل ذلك، علينا استخدام قوانين الأسس. أولًا، نلاحظ أن الأس عبارة عن فرق بين قيمتين. لذا سنستخدم قانون الأسس التالي: ﺃ أس ﺏ ناقص ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ مضروبًا في ﺃ أس سالب ﺟ. باستخدام هذا القانون، يمكننا إعادة كتابة النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ستة على ﻥ مضروبًا في واحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب تسعة. والآن نلاحظ أن لدينا نهاية حاصل ضرب. ونعرف أن حاصل ضرب النهاية يساوي نهاية حاصل الضرب على أن تكون نهاية كل من حاصلي الضرب موجودة. وسنرى أن هذا ينطبق هنا. كلتا هاتين النهايتين موجودة.

هيا نبدأ بالنهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب تسعة. يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر لأنها دالة متصلة عند ﻥ يساوي صفرًا. فنحصل على واحد زائد صفر الكل أس سالب تسعة، وهو ما يساوي واحدًا. ومن ثم، نجد أن هذه النهاية تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ستة على ﻥ، بشرط وجود هذه النهاية. والآن أصبحت هذه النهاية على صورة يمكننا إيجاد قيمتها باستخدام قانون النهايات. علينا فقط كتابة الأس على الصورة واحد على ﻥ.

ومرة أخرى، سنفعل ذلك باستخدام أحد قوانين الأسس. هذه المرة، سنستخدم حقيقة أن ﺃ أس ﺏ على ﻥ يساوي ﺃ أس واحد على ﻥ الكل أس ﺏ. في هذه الحالة، قيمة ﺏ ستساوي سالب ستة. ومن ثم، باستخدام هذا القانون، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻥ من صفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ستة. الآن يمكننا أن نلاحظ أننا نأخذ نهاية دالة مرفوعة لقوة صحيحة، لذا يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة القوى للنهايات.

نتذكر هنا واحدة من صيغ قاعدة القوى للنهايات، والتي تنص على أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ مرفوعًا للقوة ﻡ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ الكل مرفوع للقوة ﻡ. ويمكننا تأكيد صحة هذا هنا بشرط أن يكون ﻡ عددًا صحيحًا والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ موجودة. وهذان الشرطان متوفران هنا. فقيمة ﻡ هي سالب ستة، وهو عدد صحيح. وللتحقق من وجود النهاية، علينا معرفة قيمة النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ. في الواقع، هذه هي النهاية الناتجة. ونحن نعرف بالفعل أن هذا يساوي ﻫ. ومن ثم، يمكننا تبسيط هذه النهاية الناتجة باستخدام قاعدة القوى للنهايات.

بدلًا من رفع الدالة الموجودة داخل النهاية إلى سالب ستة، يمكننا رفع هذه النهاية بالكامل إلى سالب ستة. ونحن نعرف بالفعل كيف نوجد قيمة النهاية الموجودة داخل القوس. فهي تساوي ﻫ. إذن هذا كله يساوي ﻫ أس سالب ستة. وسأعيد كتابة ذلك باستخدام قوانين الأسس على الصورة واحد على ﻫ أس ستة، وهي الإجابة النهائية. وهكذا، استطعنا توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد ناقص ستة على ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺱ ناقص تسعة تساوي واحدًا على ﻫ أس ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.