تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الأعداد التخيلية البحتة

أحمد لطفي

يوضح الفيديو تعريف الأعداد التخيُّلية البحتة، وطريقة ضرب الأعداد التخيُّلية البحتة، وكيفية إيجاد حلول المعادلات التي تكون حلولها أعدادًا تخيُّلية بحتة.

١٠:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن الأعداد التخيُّلية البحتة، وهنِعرف إيه هي الأعداد التخيُّلية البحتة، وإزاي نقدر نضرب أعداد تخيُّلية بحتة، وإزاي نِقدر نحل معادلات حلولها أعداد تخيُّلية بحتة.

في البداية لو عندنا معادلة بالشكل ده، ص بتساوي س تربيع زائد اتنين س زائد أربعة، والتمثيل البياني للمعادلة هيكون بالشكل ده، هنلاحظ إن المنحنى لا يقطع محور السينات. وبالنسبة لحلول أي معادلة، فالحلول بتكون هي نقاط تقاطُع المنحنى مع محور السينات. طب هل المعادلة دي ص بتساوي س تربيع زائد اتنين س زائد أربعة مالهاش أي حلول؟ المعادلة ليها حلول بس عشان نقدر نِوجد حلول المعادلة محتاجين نعرّف الأعداد التخيُّلية.

أول حاجة هنعرّفها في الأعداد التخيُّلية هي الوحدة التخيُّلية، وبنرمز لها بالرمز ت. وتعريف الوحدة التخيُّلية ت هي الجذر التربيعي الموجب للعدد سالب واحد؛ يعني نقدر نقول: ت بتساوي الجذر التربيعي الموجب للعدد سالب واحد؛ يعني ت بتساوي الجذر التربيعي لسالب واحد، أو ممكن نكتبها في صورة إن ت تربيع بتساوي سالب واحد.

لو عندنا أعداد على الصورة الجذر التربيعي لتلاتة ت، وسالب اتنين ت، وستة ت، هنسمي الأعداد دي أعداد تخيُّلية بحتة، وهم عبارة عن جذور تربيعية لأعداد حقيقية سالبة. يبقى بصورة عامة نِقدر نقول لأي عدد موجب مثلًا أ، الجذر التربيعي لسالب أ تربيع هيساوي الجذر التربيعي لـ أ تربيع مضروب في الجذر التربيعي لسالب واحد؛ الجذر التربيعي لـ أ تربيع بيساوي أ، والجذر التربيعي لسالب واحد هيساوي ت، اللي هي الوحدة التخلية؛ وبالتالي الجذر التربيعي لسالب أ تربيع هيساوي أ ت. و يبقى أ ت هو عدد تخيلي بحت، اللي هو عبارة عن جذر تربيعي لعدد حقيقي سالب.

في صفحة جديدة هناخد مثال، لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب إيجاد قيمة الجذر التربيعي لسالب سبعة وعشرين، يبقى هنكتب الجذر التربيعي لسالب سبعة وعشرين على صورة الجذر التربيعي لسالب واحد مضروبة في تلاتة تربيع مضروبة في تلاتة، يعني هيساوي الجذر التربيعي لسالب واحد في الجذر التربيعي لتلاتة تربيع في الجذر التربيعي لتلاتة؛ الجذر التربيعي لسالب واحد هيساوي الوحدة التخيُّلية اللي هي ت، والجذر التربيعي لتلاتة تربيع هيساوي تلاتة، والجذر التربيعي لتلاتة هيتكتب زي ما هو؛ وبالتالي هيساوي تلاتة في الجذر التربيعي لتلاتة ت؛ يعني قيمة الجذر التربيعي لسالب سبعة وعشرين هتساوي تلاتة في الجذر التربيعي لتلاتة ت.

لو عندنا مثال آخر بالشكل ده، مطلوب إيجاد قيمة الجذر التربيعي لسالب ميتين وستاشر، فهنكتب الجذر التربيعي لسالب ميتين وستاشر في صورة الجذر التربيعي لسالب واحد مضروبة في ستة تربيع مضروبة في ستة، يعني هيساوي الجذر التربيعي لسالب واحد مضروبة في الجذر التربيعي لستة تربيع مضروبة في الجذر التربيعي لستة، يعني هيساوي الجذر التربيعي لسالب واحد هي الوحدة التخيُّلية ت، والجذر التربيعي لستة تربيع هيساوي ستة، والجذر التربيعي لستة هتتكتب زي ما هي، وبالتالي هيساوي ستة في الجذر التربيعي لستة ت؛ ويبقى قيمة الجذر التربيعي لسالب ميتين وستاشر بتساوي ستة في الجذر التربيعي لستة ت.

من خلال المثالين هنلاحظ إن الأعداد التخيُّلية البحتة بتحقق كلًّا من الخاصيتين التجميعية والتبديلية على الضرب.

لو عايزين نشوف جدول بيوضّح قوى الوحدة التخيُّلية ت، فهيكون بالشكل ده. هنلاحظ إن ت أُس واحد هتساوي ت، و ت أُس اتنين هتساوي سالب واحد، و ت أُس تلاتة هتساوي سالب ت، و ت أُس أربعة هتساوي واحد، ت أُس خمسة هتساوي ت، و ت أُس ستة هتساوي سالب واحد، و ت أُس سبعة هتساوي سالب ت، و ت أُس تمنية هتساوي واحد.

هنلاحظ أيضًا إن قيمة ت أُس واحد بتساوي قيمة ت أُس خمسة، يعني بيساوي ت؛ وإن قيمة ت أُس اتنين بتساوي قيمة ت أُس ستة بيساوي سالب واحد؛ وقيمة ت أُس تلاتة بتساوي قيمة ت أُس سبعة بيساوي سالب ت؛ وقيمة ت أُس أربعة بتساوي قيمة ت أُس تمنية بيساوي واحد.

وبكده نكون عرفنا القوى المختلفة للوحدة التخيُّلية ت. في صفحة جديدة هناخد مثال على ضرب الأعداد التخيُّلية البحتة، وهنستخدم جدول قوى الوحدة التخيُّلية عشان نقدر نِوجد ناتج ضرب الأعداد التخيُّلية البحتة. لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب إيجاد قيمة سالب خمسة ت مضروبة في تلاتة ت.

في البداية هنضرب العدد في العدد والوحدة التخيُّلية في الوحدة التخيُّلية؛ يعني هيساوي سالب خمسة مضروبة في تلاتة يساوي سالب خمستاشر، و ت مضروبة في ت هتساوي ت تربيع، يعني هيساوي سالب خمستاشر مضروبة في ت تربيع بتساوي سالب واحد، يعنى هتساوي سالب خمستاشر مضروبة في سالب واحد بخمستاشر، ويبقى سالب خمسة ت مضروبة في تلاتة ت هتساوي خمستاشر.

لو عندنا مثال آخر بالشكل ده، مطلوب إيجاد قيمة الجذر التربيعي لسالب خمستاشر مضروبة في الجذر التربيعي لسالب ستة، يعني هيساوي الجذر التربيعي لسالب خمستاشر ممكن أكتبها في صورة الجذر التربيعي لخمستاشر ت في … الجذر التربيعي لسالب ستة ممكن أكتبها في صورة الجذر التربيعي لستة في ت؛ وبالتالي هنضرب العدد في العدد، والوحدة التخيُّلية في الوحدة التخيُّلية، يعني هيساوي الجذر التربيعي لخمستاشر في الجذر التربيعي لستة هيساوي الجذر التربيعي لتسعين مضروبة في ت تربيع يعني هيساوي الجذر التربيعي لتسعين، هنكتبه في صورة الجذر التربيعي لتسعة في الجذر التربيعي لعشرة في ت تربيع بتساوي سالب واحد، يعني هيساوي الجذر التربيعي لتسعة بتساوي تلاتة، والجذر التربيعي لعشرة، هكتبها زي ما هي، وبالتالي هيساوي سالب تلاتة في الجذر التربيعي لعشرة؛ يعني الجذر التربيعي لسالب خمستاشر في الجذر التربيعي لسالب ستة هيساوي سالب تلاتة في الجذر التربيعي لعشرة.

وبكده نكون عِرفنا إزاي نقدر نضرب أعداد تخيُّلية بحتة.

يمكن حل بعض المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي، يعني لو هناخد مثال على معادلة حلولها بتكون أعداد تخيُّلية بحتة، فعندنا مثلًا معادلة بالشكل ده، مطلوب حل المعادلة س تربيع زائد أربعة وستين بتساوي صفر. هنشوف إزاي نقدر نحل المعادلة باستخدام طريقتين؛ الطريقة الأولى هي خاصية الجذر التربيعي.

المعادلة عبارة عن س تربيع زائد أربعة وستين بتساوي صفر، هنطرح أربعة وستين من الطرفين فهيكون عندنا س تربيع بتساوي سالب أربعة وستين، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين هيكون عندنا س بتساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب أربعة وستين؛ يعني س بتساوي موجب أو سالب … الجذر التربيعي لسالب أربعة وستين ممكن نكتبها في صورة الجذر التربيعي لأربعة وستين في الجذر التربيعي لسالب واحد. وبما إن الجذر التربيعي لأربعة وستين بتساوي تمنية، والجذر التربيعي لسالب واحد بتساوي ت؛ يبقى نِقدر نقول س بتساوي موجب أو سالب تمنية ت.

ويبقي كده قِدرنا نِوجد حلول المعادلة س تربيع زائد أربعة وستين بتساوي صفر باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

لو هنحل المعادلة باستخدام طريقة أخرى، الطريقة التانية اللي هنحل بيها المعادلة هي طريقة التحليل. هنكتب المعادلة مرة كمان س تربيع زائد أربعة وستين بتساوي صفر، هنكتب أربعة وستين في صورة تمنية أُس اتنين، يعني س تربيع زائد تمنية أُس اتنين بتساوي صفر. ممكن نكتب س تربيع زائد تمنية تربيع بتساوي صفر في صورة س تربيع ناقص سالب تمنية تربيع بتساوي صفر، وبالتالي هيكون عندنا الفرق بين مربعين، وتحليل الفرق بين المربعين هيكون في صورة س ناقص تمنية ت مضروبة في س زائد تمنية ت بيساوي صفر. باستخدام خاصية حاصل الضرب بتساوي صفر هيكون عندنا س ناقص تمنية ت بتساوي صفر، أو س زائد تمنية ت بتساوي صفر. بالنسبة للطرف الأيمن س ناقص تمنية ت بتساوي صفر، هنجمع تمنية ت على الطرفين، فهيكون عندنا س بتساوي تمنية ت؛ أو بالنسبة لـ س زائد تمنية ت بتساوي صفر، هنطرح تمنية ت من الطرفين، فهيكون عندنا س بتساوي سالب تمنية ت؛ وبالتالي قيمة س هتساوي موجب أو سالب تمنية ت.

ويبقى قدرنا نِوجد حل المعادلة س تربيع زائد أربعة وستين بتساوي صفر باستخدام طريقة التحليل.

وفي النهاية نكون عِرفنا إيه هي الأعداد التخيُّلية البحتة، وإزاي نِقدر نِوجد حاصل ضرب أعداد تخيُّلية بحتة، وإزاي نِقدر نحل معادلة تربيعية حلولها أعداد تخيُّلية بحتة.