نسخة الفيديو النصية
أوجد المعادلة العامة للمستوى الذي يمر بالنقطة ثلاثة، سالب ثمانية، سالب سبعة؛ ويحتوي على المحور ﺱ.
في البداية، نتخيل كيف سيبدو هذا المستوى. نرسم المحور ﺱ، ونحن نعلم أن المستوى يحتوي على هذا المحور، وهو ما يعني أنه قد يبدو هكذا. لكننا ندرك بعد ذلك أنه من الممكن أيضًا تدوير هذا المستوى، ويظل يحتوي مع ذلك على المحور ﺱ. في الواقع، يوجد بالفعل عدد لا نهائي من المستويات التي تحتوي على المحور ﺱ. ومع ذلك، فإن واحدًا فقط من هذا العدد غير النهائي يحتوي على هذه النقطة المعطاة. إذن من بين هذه المستويات التي قمنا بتدويرها، المستوى الذي يحتوي على النقطة: ثلاثة، سالب ثمانية، سالب سبعة، هو المستوى الذي نريد كتابة معادلته العامة.
يمكننا هنا تذكر أن المعادلة العامة لأي مستوى تكتب على الصورة الموضحة. ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد د يساوي صفرًا. من المهم أن نعرف أن العوامل التي نضرب فيها ﺱ، وﺹ، وﻉ، على الترتيب، تعرف بأنها مركبات المتجه العمودي أو المتعامد على سطح المستوى. وبوجه عام، إذا وجدنا متجهًا عموديًّا على سطح المستوى، ووجدنا كذلك نقطة في المستوى، يمكننا حينئذ تعريفه بدقة. وبما أننا نعلم بالفعل نقطة تقع في المستوى، فإنه علينا الآن إيجاد متجه عمودي عليه.
والآن نفترض أنه من بين جميع المستويات التي تحتوي على المحور ﺱ، هذا هو المستوى الذي يحتوي أيضًا على النقطة ثلاثة، سالب ثمانية، سالب سبعة. لنسم هذه النقطة ﻡ صفرًا. وبما أن المستوى لدينا يحتوي أيضًا على المحور ﺱ، يمكننا تسمية نقطة أخرى فيه. وبما أن النقطة صفرًا، صفرًا، صفرًا تقع على المحور ﺱ، فلا بد أنها تقع أيضًا في المستوى الموجود لدينا. والسبب وراء تسمية هذه النقطة الثانية هو أنه بمجرد أن يصبح لدينا نقطتان في المستوى، يمكننا توصيلهما بمتجه يقع على المستوى الموجود لدينا. يمكننا أن نسمي هذا المتجه ر صفرًا. وبما أنه يمتد من نقطة الأصل إلى النقطة المعلومة ﻡ صفر، فستكون مركبات ر صفر ببساطة هي إحداثيات ﻡ صفر.
الآن لدينا متجه نعرف أنه يقع على المستوى الذي لدينا. إذا استطعنا إيجاد متجه ثان يقع أيضًا على هذا المستوى ولا يوازي ر صفرًا، فسيكون بإمكاننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين، وينتهي بنا الأمر بالحصول على متجه عمودي على المستوى. هذا هو هدفنا. والآن لنوجد متجهًا آخر يقع على المستوى. مرة أخرى، بما أن المحور ﺱ يقع في المستوى، فيجب أيضًا أن تقع النقطة واحد، صفر، صفر فيه. برسم متجه من نقطة الأصل إلى هذه النقطة الجديدة، يمكننا أن نسمي هذا المتجه ر واحدًا. ومركباته هي واحد، صفر، صفر. نلاحظ أن ر واحدًا ور صفرًا غير متوازيين. بعبارة أخرى: من المستحيل ضرب أي من هذين المتجهين في عدد ثابت للحصول على المتجه الآخر.
هذا جيد، لأنه يعني أننا إذا أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين؛ أي ر صفر في ر واحد، فسنحصل على متجه عمودي على المستوى المطلوب. ر صفر ضرب اتجاهي ر واحد يساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. كتبنا في الصف الأول هنا متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، وفي الصفين الثاني والثالث المركبات المناظرة للمتجهين، ر صفر ور واحد. بحساب كل مركبة من مركبات هذا المحدد على حدة، يصبح لدينا ﺱ في محدد هذه المصفوفة، وهو صفر، ناقص ﺹ في محدد هذه المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وهو سبعة، زائد ﻉ في محدد هذه المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ أي ثمانية. بكتابة ذلك في صورة مبسطة، نحصل على هذا المتجه. وسنسمي هذا المتجه ﻥ؛ لأنه، كما قلنا، عمودي على المستوى الذي لدينا.
نحن الآن على وشك أن نتمكن من كتابة المعادلة العامة للمستوى. الآن بعد أن أصبح لدينا نقطة في المستوى، وكذا متجه عمودي عليه، يمكننا إفراغ بعض المساحة لنذكر أنفسنا بالمعادلة المتجهة للمستوى. تنص هذه المعادلة على أنه إذا كان لدينا متجه عمودي وكذلك نقطة في المستوى، فإن هذا المتجه العمودي عند ضربه قياسيًّا في المتجه الممتد إلى نقطة عامة في المستوى يساوي ﻥ ضرب قياسي ر صفر؛ أي المتجه الممتد إلى النقطة المعروفة. بتطبيق هذا على الحالة التي لدينا، يصبح لدينا المتجه العمودي صفر، سالب سبعة، ثمانية ضرب قياسي المتجه الممتد إلى نقطة عامة في المستوى وله المركبات ﺱ، وﺹ، وﻉ يساوي المتجه العمودي ضرب قياسي المتجه الممتد إلى النقطة المعروفة لدينا.
إذا حسبنا حاصلي الضرب القياسي هذين، سنحصل في الطرف الأيمن على سالب سبعة زائد ثمانية ﻉ. وفي الطرف الأيسر، سنحصل على ٥٦ ناقص ٥٦، أو صفر. هكذا أصبح لدينا المعادلة العامة للمستوى. إنها سالب سبعة ﺹ زائد ثمانية ﻉ يساوي صفرًا. ولاحظ أن هذه المعادلة لا تعتمد على قيم ﺱ في المستوى. وهذا يتسق مع حقيقة أن المستوى يحتوي على المحور ﺱ بأكمله.