فيديو الدرس: تطبيقات النسبة المئوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتناول تطبيقات النسب المئوية. حسنًا، لقد تناولنا النسب المئوية عدة مرات من قبل. ونحن نستخدمها بالفعل في سياقات مثل النسبة المئوية للزيادة أو النسبة المئوية للنقصان أو النسبة المئوية للمبالغ المالية. كما نستخدمها في الحياة اليومية. ونتحدث بشأنها في الصحف؛ عندما نتطرق مثلًا إلى الحديث عن أسعار الفائدة. كما نجدها مدونة على عبوات السلع الغذائية، مثل النسبة المئوية للكميات اليومية الموصى بها من الدهون أو الكربوهيدرات. ونلاحظ كذلك وجودها في المتاجر.

لكن ماذا تعني كلمة «بالمائة»؟ حسنًا، كلمة «بالمائة» تعني جزءًا واحدًا من المائة. وهكذا نكون قد تحدثنا عن مفهوم النسبة المئوية، وكيف يمكننا استخدامها، والآن دعونا نر ما يمكننا فعله بالنسب المئوية.

ولكن قبل أن نتمكن من تطبيق ما نعرفه عن النسبة المئوية، علينا معرفة المهارات التي نحتاجها لأجل ذلك، ومن ثم، نتساءل عن المهارة التي سنحتاجها لهذا الدرس. سنحتاج إلى معرفة كيفية حساب النسب المئوية للمبالغ المالية، على سبيل المثال، ٢٥ بالمائة من ٣٠٠ دولار أمريكي. وفي أثناء ذلك، سوف نتناول بعض الموضوعات مثل المضاعفات وكيف نستخدم المضاعف لمساعدتنا على إيجاد نسبة مئوية من مبلغ ما.

كما سنتناول النسبة المئوية للزيادة والنقصان. على سبيل المثال، إذا أردنا تناول النسبة المئوية للنقصان، فيمكننا تناول أمور مثل الخصومات. كأن يكون لدينا مثلًا خصم بنسبة ٣٠ بالمائة، ونريد إيجاد القيمة بعد تطبيق مبلغ الخصم. أما بالنسبة إلى النسبة المئوية للزيادة، فنجدها في سياقات مثل أسعار الفائدة، على سبيل المثال، خمسة بالمائة سنويًّا.

وأخيرًا، سوف نتناول النسب المئوية العكسية. وهنا سنحل بطريقة عكسية. على سبيل المثال، نعلم أن هناك خصمًا بنسبة ١٥ بالمائة على شيء ما. وهذا الشيء قيمته الآن ٢٠٠ دولار أمريكي. إذن، يمكننا إيجاد السعر قبل الخصم. وبالفعل، ستكون هذه المعطيات مفيدة لأنها ستساعدنا في الإجابة عن أسئلة مختلفة في العمليات الحسابية التي سنقوم بها.

هذا يفيدنا أيضًا في الحياة اليومية لأننا نذهب إلى المتاجر، ونستخدم النسب المئوية للتأكد من حصولنا على أفضل صفقة أو للتأكد من عدم تعرضنا للغش. حسنًا، نحن نعرف الآن المهارات التي سنحتاجها. هيا نتناول بعض المسائل التي نستخدم فيها هذه المهارات.

إذا كان معدل الضريبة سبعة بالمائة، فما قيمة ضريبة المبيعات لشاحنة سعرها ١٦٠٠٠ دولار أمريكي؟

في هذه المسألة، لدينا معلومتان رئيسيتان. نعلم معدل الضريبة، وهو سبعة بالمائة. كما نعلم السعر الأصلي للشاحنة. هو ١٦٠٠٠ دولار أمريكي. ونحاول هنا إيجاد قيمة ضريبة المبيعات على هذا المبلغ. هناك طريقة جيدة للتدرب على هذا النوع من المسائل، الذي يتناول تطبيقات النسب المئوية، وهو إعادة صياغة المسألة إلى ما نريد إيجاده بالفعل. ليصبح السؤال هو: ما قيمة سبعة بالمائة من ١٦٠٠٠ دولار أمريكي؟

وبما أن هذا السؤال بسيط للغاية لأننا نريد فقط إيجاد النسبة المئوية لمبلغ معين، فسنستعين بهذا السؤال لعرض طريقتين للحل. أولًا، هناك الطريقة الذهنية. وبعدها، سنستعرض طريقة المضاعف، وهي التي سنستخدمها إذا كان لدينا آلة حاسبة.

حسنًا، في الطريقة الذهنية، نريد إيجاد قيمة سبعة بالمائة من ١٦٠٠٠. علينا أولًا إيجاد قيمة واحد بالمائة. وواحد بالمائة يساوي ١٦٠. وطريقة إيجاد هذا هي قسمة ١٦٠٠٠ على ١٠٠. وهذا لأن معنى كلمة «بالمائة» هو على ١٠٠، أو من ١٠٠. ولذا، إذا قسمنا على ١٠٠ فسنحصل على قيمة واحد بالمائة. إذن، إذا أردنا إيجاد قيمة سبعة بالمائة، فإن هذا سيساوي ١٦٠ مضروبًا في سبعة.

ولإيجاد الحل بطريقة أسرع، يمكننا أيضًا ضرب ١٦ في سبعة. نستطيع القيام بذلك باستخدام طريقة الضرب العمودي. وهذه ستعطينا ١١٢. وبما أنه كان لدينا ١٦٠ مضروبًا في سبعة، فسنضيف صفرًا فحسب. إذن، سبعة بالمائة يساوي ١١٢٠. حسنًا، كانت تلك هي الطريقة الذهنية. ولكن كيف يمكننا إيجاد الحل باستخدام طريقة المضاعف؟

حسنًا، عندما نتعامل مع مسائل النسبة المئوية، مثل حساب قيمة سبعة بالمائة من مبلغ معين، فهذا يعني سبعة بالمائة مضروبًا في هذا المبلغ. إذن، لدينا سبعة بالمائة وهو ما يعني سبعة على ١٠٠، أو سبعة من ١٠٠. ويمكننا إيجاد الحل على صورة عدد عشري لأن كل ما سنفعله هو أن نقسم سبعة على ١٠٠. وهذا يساوي ٠٫٠٧. ويمكننا عادة إيجاد الحل بسرعة في أذهاننا لأننا نعلم أننا إذا قسمنا على ١٠٠، فإننا نضع العلامة العشرية بعد رقمين إلى اليسار.

والآن لإيجاد الحل، علينا ضرب النسبة المئوية، وهي ٠٫٠٧، في المبلغ، وهو ١٦٠٠٠، فنحصل على ١١٢٠ مجددًا. إذن، إذا كان معدل الضريبة هو سبعة بالمائة، فإن ضريبة المبيعات للشاحنة التي يبلغ سعرها ١٦٠٠٠ دولار أمريكي، هي ١١٢٠ دولارًا أمريكيًّا. وبذلك، نكون عرضنا طريقتين للحل.

كما ذكرنا، سنعمل في هذا الدرس على تعزيز المهارات التي نستخدمها لحل المسائل التي تتضمن تطبيقات النسب المئوية. وفي هذه المسألة، أوجدنا النسبة المئوية لمبلغ ما. كما حللنا النسبة المئوية لأننا استخدمنا الطريقة الذهنية وأوضحنا كيف يمكن استخدامها. وتناولنا أيضًا طريقة المضاعف، التي تعرفنا من خلالها المضاعفات، والتي ستكون مفيدة للغاية في المسائل الأخرى التي سنتناولها. والآن، سننتقل إلى مسألتين تتناولان النسبة المئوية للزيادة والنسبة المئوية للنقصان. سنبدأ بالنسبة المئوية للزيادة.

أوجد لأقرب سنت، السعر الكلي لدمية قابلة للنفخ سعرها خمسة دولارات أمريكية وتسعة سنتات إذا كانت ضريبة المبيعات تساوي ٤٫٢٥ بالمائة.

حسنًا، أول ما يمكننا القيام به هو إعادة صياغة المسألة حتى نحدد المطلوب بالضبط. فالمطلوب هو زيادة مبلغ خمسة دولارات وتسعة سنتات بنسبة ٤٫٢٥ بالمائة. ومن ثم، إذا أردنا إيجاد السعر الإجمالي لهذه الدمية القابلة للنفخ، فعلينا إضافة ٤٫٢٥ بالمائة. ويمكننا القيام بذلك باستخدام طريقة المضاعف. والمضاعف لزيادة بنسبة ٤٫٢٥ بالمائة سيكون ١٫٠٤٢٥. ولكن كيف نحصل على هذا؟

حسنًا، هناك طريقتان للتفكير في ذلك. الطريقة الأولى هي التفكير في المبلغ الكلي، أي ١٠٠ بالمائة. وإذا أردنا زيادته بنسبة ٤٫٢٥ بالمائة، فسيكون لدينا ١٠٠ بالمائة زائد ٤٫٢٥ بالمائة؛ أي ١٠٤٫٢٥ بالمائة. وللحصول على مضاعف، علينا تحويل النسبة المئوية إلى عدد عشري. وبما أن النسبة المئوية تعني من ١٠٠، أو على ١٠٠، يمكننا القسمة على ١٠٠، لنحصل على ١٫٠٤٢٥. وهذه إحدى طرق إيجاد المضاعف.

أما الطريقة الأخرى للتعامل مع المضاعف، فهي التفكير في أن الواحد الصحيح هو قيمة كاملة. وبعد ذلك، نضيف إليه ٤٫٢٥ بالمائة، ليصبح لدينا واحد زائد ٤٫٢٥ على ١٠٠. وذلك لأن ٤٫٢٥ على ١٠٠ يمنحنا المقدار على الصورة العشرية، لنحصل على واحد زائد ٠٫٠٤٢٥، والذي سيعطينا المضاعف نفسه؛ ١٫٠٤٢٥. حسنًا، الآن أصبح لدينا المضاعف، ويمكننا حساب القيمة المطلوبة في هذه المسألة.

إذن، لحساب السعر الإجمالي بعد إضافة ضريبة المبيعات، علينا ضرب ٥٫٠٩ في ١٫٠٤٢٥، وذلك يساوي ٥٫٣٠٦٣٢٥ دولارات. حسنًا، هل انتهينا بذلك؟ ليس تمامًا لأن المسألة طلبت منا التقريب لأقرب سنت. إذا قربنا لأقرب سنت، فسننظر إلى المنزلة العشرية الثانية. وعندئذ، نرى الرقم على يمين المنزلة العشرية الثانية، وهو ستة. ونظرًا لأن قيمته خمسة أو أكثر، فسنقرب الصفر إلى واحد. ومن ثم، نحصل على خمسة دولارات و ٣١ سنتًا.

بذلك نكون قد أضفنا مهارة أخرى إلى المهارات التي استخدمناها في مسائل تطبيقات النسبة المئوية المستقاة من الحياة اليومية. وهي النسبة المئوية للزيادة. والآن، دعونا ننتقل سريعًا إلى مسألة أخرى عن كيفية استخدام النسبة المئوية للنقصان.

يقدم متجر لبيع ملابس خصمًا نسبته ١٦ بالمائة. أوجد، لأقرب سنت أمريكي، سعر أربعة بنطلونات إذا كان السعر الأصلي لكل منها ٢٣ دولارًا أمريكيًّا و ٩٩ سنتًا.

أولًا، علينا إلقاء نظرة على المعطيات الواردة في المسألة. نلاحظ أن لدينا خصمًا بنسبة ١٦ بالمائة. حسنًا، نحن نعرف أن هناك خصمًا، وهذا يعني أنها ستكون مسألة نسبة مئوية للنقصان. كما نعلم أن هناك أربعة بنطلونات، والسعر الأصلي للبنطلون الواحد هو ٢٣ دولارًا أمريكيًّا و ٩٩ سنتًا.

حسنًا، هناك طريقتان يمكن من خلالها حل هذه المسألة. أولًا، يمكننا إيجاد السعر بعد الخصم لكل بنطلون لدينا، ثم نضربه في أربعة لأن هناك أربعة بنطلونات. أو يمكننا إيجاد السعر الإجمالي للبنطلونات الأربعة أولًا بضرب أربعة في ٢٣ دولارًا و ٩٩ سنتًا، ثم إيجاد السعر بعد تطبيق الخصم. وهذه هي الطريقة التي سنستخدمها.

أولًا، سوف نوجد السعر الإجمالي قبل تطبيق الخصم. وسنفعل ذلك بضرب أربعة في ٢٣ دولارًا أمريكيًّا و ٩٩ سنتًا. ويمكننا القيام بذلك باستخدام الآلة الحاسبة. لكن، إذا أردنا استخدام الطريقة الذهنية، فعلينا ضرب أربعة في ٢٤ دولارًا أمريكيًّا، وهو ما سيعطينا ٩٦ دولارًا أمريكيًّا. وبعد ذلك، نحذف أربعة سنتات. وذلك لأنه سيتبقى أربعة سنتات، لأن سعر كل بنطلون هو ٢٣ دولارًا أمريكيًّا و ٩٩ سنتًا فقط. وهذا، مرة أخرى، يساوي ٩٥ دولارًا أمريكيًّا و ٩٦ سنتًا.

حسنًا، علينا الآن إيجاد السعر بعد تطبيق الخصم. يجب أن نكون متأكدين هنا مما نريد فعله. لدينا خصم نسبته ١٦ بالمائة على مبلغ ٩٥ دولارًا أمريكيًّا و ٩٦ سنتًا. وللقيام بذلك، سوف نستخدم طريقة المضاعف.

سنتناول سريعًا طريقتين يمكننا من خلالهما الحصول على هذا المضاعف. أولًا، إذا كان الخصم بنسبة ١٦ بالمائة، فإن المبلغ الكلي تساوي نسبته ١٠٠ بالمائة. وسنطرح منها ١٦ بالمائة. هذا يعطينا ٨٤ بالمائة من السعر الأصلي، ما يساوي ٨٤ على ١٠٠. وذلك لأن كلمة «بالمائة» تعني من ١٠٠ أو على ١٠٠. وهذا ما يعطينا المضاعف ٠٫٨٤. حسنًا، بهذا نكون قد أوجدنا المضاعف.

والطريقة الأخرى التي يمكن أن نفكر فيها لإيجاد المضاعف هي الواحد الصحيح؛ لأنه يمثل القيمة الكاملة، ناقص ١٦ بالمائة، ما يساوي واحدًا ناقص ٠٫١٦. وذلك لأن ١٦ بالمائة هو نفسه ٠٫١٦، ما يعطينا ٠٫٨٤ مجددًا. حسنًا، رائع، لقد حصلنا على المضاعف الذي نريده. والآن، كل ما علينا فعله هو ضرب ٩٥ دولارًا أمريكيًّا و ٩٦ سنتًا في ٠٫٨٤.

وعندما نضرب ٩٥ دولارًا أمريكيًّا و ٩٦ سنتًا في ٠٫٨٤، فإن هذا يعطينا ٨٠ دولارًا أمريكيًّا و ٦١ سنتًا. والآن، هل حللنا المسألة بالكامل؟ نعم، لأن المسألة طلبت منا تقريب الناتج لأقرب سنت. ومن ثم، يمكننا القول إن سعر البنطلونات الأربعة بعد الخصم هو ٨٠ دولارًا أمريكيًّا و ٦١ سنتًا.

رائع، ما قمنا به الآن هو أننا أضفنا مهارة أخرى. لأننا تناولنا النسبة المئوية للنقصان، وأوضحنا كيف يمكننا استخدامها في الحياة اليومية. والآن، ماذا بعد؟ ما المهارات التي سنستخدمها الآن؟

حسنًا، ما سنفعله الآن هو أننا سنحل بطريقة عكسية. لكن ماذا يعني الحل بطريقة عكسية؟ كيف سيساعدنا هذا؟ وأخيرًا، سنتناول النسب المئوية العكسية؛ حيث نوجد القيمة الأصلية من قيمة معطاة. لكن قبل تناول ذلك، سنلقي نظرة سريعة على كيفية حساب ما يسمى بالنسبة المئوية لمقدار الزيادة أو النقصان في كمية ما.

تعمل أميرة في متجر لبيع الملابس، وتنتفع بالخصم المقرر للموظفين. إذا دفعت ٤٤ دولارًا أمريكيًّا و ٨٧ سنتًا لشراء بنطلون تكلفته ٦٤ دولارًا أمريكيًّا و ١٠ سنتات، فأوجد النسبة المئوية للخصم.

حسنًا، هذه المسألة من مسائل النسبة المئوية للتغير لأننا نريد معرفة النسبة المئوية للتغير بين هاتين القيمتين. ولدينا صيغة لمساعدتنا في ذلك. وهذه الصيغة هي: النسبة المئوية للتغير تساوي الفرق بين القيمتين مقسومًا على القيمة الأصلية، ثم مضروبًا في ١٠٠ لتحويله إلى نسبة مئوية. ولذا، علينا أولًا إيجاد الفرق. وهذا يعني ٦٤٫١٠ ناقص ٤٤٫٨٧، لأن لدينا ٦٤ دولارًا أمريكيًّا و ١٠ سنتات ناقص ٤٤ دولارًا أمريكيًّا و ٨٧ سنتًا. وهو ما يعطينا ١٩٫٢٣، أو ١٩ دولارًا أمريكيًّا و ٢٣ سنتًا.

حسنًا، يمكننا الآن التعويض بذلك في الصيغة لدينا. عندما نفعل ذلك، يصبح لدينا: النسبة المئوية للخصم تساوي ١٩٫٢٣، لأن هذا هو الفرق، على المبلغ الأصلي لدينا. وهذا هو السعر قبل تطبيق الخصم، وهو ٦٤٫١٠ أو ٦٤ دولارًا و ١٠ سنتات. بعد ذلك، نضرب الكسر بأكمله في ١٠٠، ما يعطينا ٣٠ بالمائة. إذن، يمكننا القول إن النسبة المئوية للخصم هي ٣٠ بالمائة.

والآن، ما يمكننا القيام به هو التحقق سريعًا من صحة هذه الإجابة. حسنًا، قبل التحقق، سنكتب ٦٤ دولارًا و ١٠ سنتات لأن هذا هو السعر الأصلي. وبعد ذلك، نضربه في ٠٫٧ لأن هذا هو المضاعف إذا خفضنا السعر بنسبة ٣٠ بالمائة. وهذا يعطينا ٤٤ دولارًا و ٨٧ سنتًا، وهو بالضبط المبلغ الذي دفعته أميرة. إذن، هذه الإجابة صحيحة.

حسنًا، لقد استخدمنا الآن مهارة أخرى. وهي مهارة حساب النسبة المئوية للتغير. والآن، دعونا ننتقل إلى المهارة الأخيرة. وهي النسب المئوية العكسية. ولدينا مسألة جيدة هنا توضح كيفية القيام بذلك.

يقدم متجر أحذية خصمًا نسبته ٢٥ بالمائة على جميع العناصر. دفع عادل ٣٩ دولارًا أمريكيًّا، شاملة الضريبة، مقابل حذاء رياضي. إذا كان معدل ضريبة المبيعات أربعة بالمائة، فما السعر الأصلي للحذاء الرياضي؟

حسنًا، لدينا ثلاثة معطيات رئيسية هنا. المعطى الأول هو أن هناك خصمًا على جميع العناصر، ونسبة الخصم هي ٢٥ بالمائة. والمعطى التالي هو أن عادل دفع ٣٩ دولارًا أمريكيًّا. والمعطى الأخير أن معدل ضريبة المبيعات هو أربعة بالمائة. أهم ما يجب ملاحظته هنا هو أن ضريبة المبيعات أضيفت في النهاية. ولذا، فإنها تضاف إلى أي قيمة أو مبلغ دفعه عادل مقابل الحذاء بعد تطبيق الخصم. ومن ثم، علينا أولًا حساب المبلغ الذي دفعه عادل قبل إضافة ضريبة المبيعات.

وهذا ما يسمى النسبة المئوية العكسية لأن لدينا المبلغ النهائي، ونريد إيجاد قيمة المبلغ الأصلي. ولحل النسب المئوية العكسية، لدينا طريقتان يمكن استخدامهما. الطريقة الأولى هي النظر إلى المبلغ الأصلي والمبلغ النهائي. إذا كنا نريد حساب المبلغ النهائي من المبلغ الأصلي، ولدينا نسبة مئوية للزيادة أو النقصان، فعلينا الضرب في المضاعف لدينا.

ومن ثم، إذا أردنا المضي في الاتجاه العكسي، أي إيجاد المبلغ الأصلي من المبلغ النهائي، فعلينا الحل بطريقة عكسية. سنقسم على المضاعف لدينا. وهذه طريقة أو نموذج يمكننا استخدامه. لكن هناك طريقة أخرى للتفكير في النسبة المئوية العكسية. وهذه هي الطريقة التي سنستخدمها أولًا لحل هذه المسألة. لأن التوضيح يكون أسهل عندما تكون لدينا قيم.

حسنًا، إذا بدأنا بالتفكير في الجزء الخاص بضريبة المبيعات في المسألة، فسنجد أن مبلغ الـ ٣٩ دولارًا أمريكيًّا الذي دفعه عادل يساوي إجمالي مبلغ الحذاء قبل إضافة ضريبة المبيعات، والذي يمثل ١٠٠ بالمائة من هذا المبلغ مضافًا إليه أربعة بالمائة، والتي تمثل ضريبة المبيعات. حسنًا، يمكننا إذن التفكير في مبلغ الـ ٣٩ دولارًا أمريكيًّا على أنه يمثل ١٠٤ بالمائة من المبلغ الأصلي المدفوع بعد تطبيق الخصم لكن قبل إضافة ضريبة المبيعات.

ولذا، إذا أردنا معرفة قيمة واحد بالمائة، يمكننا القسمة على ١٠٤، ما يساوي ٠٫٣٧٥ دولار أمريكي. وبعد ذلك، لإيجاد السعر بعد الخصم لكن قبل إضافة ضريبة المبيعات، علينا الضرب في ١٠٠ ليكون لدينا ١٠٠ بالمائة. ونحصل على ٣٧ دولارًا أمريكيًّا و ٥٠ سنتًا. حسنًا، هذه إذن هي إجابة الجزء الأول من المسألة.

والآن بالنسبة إلى الجزء الثاني من المسألة، حتى نتمكن من الإجابة عن المسألة بالكامل، سوف نستخدم الطريقة الأولى التي ذكرناها. وهذه الطريقة هي المضاعفات. لأننا إذا كان لدينا المبلغ الأصلي، وهو المبلغ بعد تطبيق الخصم ولكن قبل إضافة الضريبة، ثم ضربناه في ٠٫٧٥، فسنحصل على ٣٧ دولارًا أمريكيًّا و ٥٠ سنتًا. وحصلنا على هذا لأن واحدًا ناقص ٠٫٢٥ يساوي ٠٫٧٥. وذلك لأن نسبة الخصم هي ٢٥ بالمائة. إذن، إذا كنا نريد الحل بطريقة عكسية، فسنقسم على ٠٫٧٥. وعندما نقسم ٣٧ دولارًا أمريكيًّا و ٥٠ سنتًا على ٠٫٧٥، نحصل على ٥٠ دولارًا أمريكيًّا. إذن، السعر الأصلي هو ٥٠ دولارًا أمريكيًّا.

حسنًا، لقد استخدمنا هنا المهارة الأخيرة التي أردنا استخدامها. وحسبنا النسب المئوية العكسية. دعونا الآن نراجع النقاط الرئيسية التي استعرضناها في هذا الدرس. حسنًا، النقطة الرئيسية الأولى هي أننا إذا أردنا تحويل نسبة مئوية إلى عدد عشري، فكل ما علينا هو قسمة النسبة المئوية على ١٠٠. بعد ذلك، إذا أردنا إيجاد مضاعف النسبة المئوية للزيادة أو للنقصان، فهذا يعني واحدًا زائد أو ناقص النسبة المئوية على صورة عدد عشري.

ولحساب النسبة المئوية للتغير، فهذا يساوي الفرق على القيمة الأصلية مضروبًا في ١٠٠. وأخيرًا، لحساب النسبة المئوية العكسية، فكل ما علينا هو قسمة القيمة النهائية على المضاعف للحصول على القيمة الأصلية.