نسخة الفيديو النصية
بسط ظا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃.
دالة الظل لها العديد من المتطابقات المفيدة التي يمكننا استخدامها لتساعدنا في تبسيط المقادير. لكن ربما لا نتذكر هذه المتطابقات مباشرة. لذلك دعونا نعرف كيفية الإجابة عن هذا السؤال باستخدام دائرة الوحدة.
نتذكر أنه إذا افترضنا أن هناك نقطة على دائرة وحدة، عند زاوية قياسها 𝜃 من الجزء الموجب من المحور ﺱ، فإن الإحداثي ﺱ لها سيكون جتا 𝜃، والإحداثي ﺹ لها سيكون جا 𝜃. ومن ثم يمكن كتابة إحداثيات النقطة على الصورة جتا 𝜃، جا 𝜃.
ماذا لو فكرنا في الزاوية التي قياسها ١٨٠ درجة ناقص 𝜃؟ حسنًا، نحن نعلم أنه إذا تحركنا ١٨٠ درجة على محيط دائرة وحدة، فسنصل إلى الجزء السالب من المحور ﺱ. هذا يعني أنه إذا فكرنا في الزاوية التي قياسها ١٨٠ درجة ناقص 𝜃، فسنجد أنه لدينا زاوية قياسها 𝜃 درجة في اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء السالب من المحور ﺱ. في الواقع، يمكننا ملاحظة أن هذا يكافئ بالفعل انعكاس النقطة الأولى في المحور ﺹ. وبما أن هذه النقطة تقع أيضًا على دائرة الوحدة، فستكون إحداثياتها جتا ١٨٠ ناقص 𝜃، جا ١٨٠ ناقص 𝜃. لكن يمكننا أيضًا إعادة كتابة هذه الإحداثيات من خلال مقارنتها بأول إحداثيات واستخدام تماثل دائرة الوحدة.
على وجه التحديد، نجد أن الإحداثي ﺱ يساوي سالب جتا 𝜃؛ لأنه يساوي طول جتا 𝜃 ولكن في الاتجاه المضاد. أما بالنسبة إلى الإحداثي ﺹ، فنجد أنه يساوي جا 𝜃؛ لأن النقطة تبعد المسافة نفسها عن المحور ﺹ. إذن، الإحداثيات هي سالب جتا 𝜃، جا 𝜃.
باستخدام هذه المعلومات، يمكننا كتابة المتطابقات المثلثية للزاويتين المتكاملتين. أولًا: بالنظر إلى الإحداثي ﺱ للنقطة الموجودة على اليسار، نجد أن جتا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. وبالمثل، بالنظر إلى الإحداثي ﺹ لهذه النقطة، نجد أن جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃.
والآن، كيف يمكننا ربط هاتين المتطابقتين بدالة الظل؟ لعلنا نتذكر أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. ومن ثم، إذا فكرنا في ظا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃، فلا بد أن يكون لدينا جيب تلك الزاوية نفسها على جيب تمامها. إذن، باستخدام المتطابقتين المذكورتين سابقًا، نحصل على جا 𝜃 على سالب جتا 𝜃. وأخيرًا يمكن تبسيط ذلك للحصول على الإجابة النهائية، وهي سالب ظا 𝜃.
