فيديو السؤال: إيجاد مركز ثقل خمس كتل منفصلة موضوعة على أضلاع مستطيل الرياضيات

المستطيل ﺃﺏﺟﺩ فيه ﺃﺏ = ٢٢ سم، ﺏﺟ = ٢٦ سم. وضعت أربع كتل مقاديرها ٦، ٧، ٥، ٩ جرامات عند الرءوس ﺃ، ﺩ، ﺏ، ﺟ، على الترتيب. علقت كتلة أخرى مقدارها ٨ جرامات عند نقطة منتصف ﺃﺩ. أوجد إحداثيات نقطة مركز ثقل النظام، إذا وضعت ﺟ عند نقطة الأصل، وحدد مقياس كل من المحورين؛ بحيث تمثل كل وحدة ١ سم من المسافة.

٠٦:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

المستطيل ﺃﺏﺟﺩ فيه ﺃﺏ يساوي ٢٢ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٢٦ سنتيمترًا. وضعت أربع كتل مقاديرها ستة، وسبعة، وخمسة، وتسعة جرامات عند الرءوس ﺃ وﺩ وﺏ وﺟ، على الترتيب. علقت كتلة أخرى مقدارها ثمانية جرامات عند نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺩ. أوجد إحداثيات نقطة مركز ثقل النظام، إذا وضعت ﺟ عند نقطة الأصل، وحدد مقياس كل من المحورين؛ بحيث تمثل كل وحدة سنتيمترًا واحدًا من المسافة.

يمثل الشكل الموضح المعلومات المعطاة، وتمثل القيم التي في الدوائر الكتل عند النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. بالإضافة إلى ذلك، لدينا كتلة مقدارها ثمانية جرامات معلقة عند نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺩ. لإيجاد إحداثيات مركز ثقل هذا النظام من الكتل، علينا إيجاد إحداثيات كل كتلة ومتجه موضعها. يمكننا استخدام الطول المعطى لضلعي المستطيل ليساعدنا في ذلك.

علمنا أن ﺃﺏ يساوي ٢٢ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٢٦ سنتيمترًا. وبالطبع، بما أن هذا الشكل مستطيل، نعلم أن كل ضلعين متقابلين متطابقان. إذن ﺃﺩ يساوي أيضًا ٢٦ سنتيمترًا، وﺩﺟ يساوي ٢٢ سنتيمترًا. ونظرًا لأن ﺟ موضوعة عند نقطة الأصل، فنعرف أن إحداثياتها صفر، صفر. وهكذا يساوي متجه الموضع لها صفرًا ﺱ زائد صفر ﺹ.

بعد ذلك، يمكننا النظر إلى إحداثيات النقطة ﺏ. وهي تقع عند ٢٦ سنتيمترًا على المحور ﺱ. ولأن كل وحدة على شبكة الإحداثيات تمثل سنتيمترًا واحدًا، يمكننا القول إن هذه النقطة تقع عند الإحداثيات ٢٦، صفر. ويمكننا كتابة متجه الموضع لها على صورة ٢٦ﺱ زائد صفر ﺹ. بالنسبة للنقطة ﺃ، يمكن تحديد الإحداثيات بالتحرك ٢٦ على المحور ﺱ و٢٢ لأعلى. ومن ثم، يمكن كتابة متجه الموضع لها على صورة ٢٦ﺱ زائد ٢٢ﺹ. ومتجه الموضع للنقطة ﺩ يمكن أن يكتب على صورة صفر ﺱ زائد ٢٢ﺹ؛ لأنها عند الإحداثيات صفر، ٢٢. نحتاج بعد ذلك إلى إيجاد متجه موضع هذه الكتلة الأخيرة التي تساوي ثمانية جرامات، والتي علمنا أنها تقع عند نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺩ. إذا أردنا الانتقال إلى هذه النقطة، فسنتحرك ١٣ وحدة إلى اليمين و٢٢ وحدة لأعلى. وسنكتب متجه الموضع لها على صورة ١٣ﺱ زائد ٢٢ﺹ.

لدينا الآن معلومات كافية لتحديد موضع مركز الثقل. يمكننا اتباع بعض الخطوات لإيجاد هذه الإحداثيات. أولًا: نضرب كل كتلة في متجه موضعها. ثم نجمع كل حواصل الضرب، ونقسم المجموع الكلي على الكتلة الكلية. يعبر عن ذلك بالصيغة التي مفادها أن متجه الموضع ر م لمركز ثقل نظام من الكتل يساوي واحدًا على ك شرطة، أي الكتلة الكلية للنظام، مضروبًا في المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ ك ﺟ مضروبًا في المتجه ر ﺟ. ‏ك ﺟ هي كتلة الجسم ﺟ، والمتجه ر ﺟ هو متجه موضع الجسم ﺟ. إذن، دعونا نر كيف يمكننا تطبيق ذلك على نظام الكتل هذا.

يمكننا إيجاد الكتلة الكلية في البداية. وهي تساوي ستة زائد سبعة زائد خمسة زائد تسعة زائد ثمانية جرامات، وهو ما يساوي ٣٥ جرامًا. عند تطبيق هذه الصيغة، يكون لدينا واحد على ٣٥ خارج القوسين. يمكننا بعد ذلك إيجاد جميع حواصل الضرب بأي ترتيب. إذن، لنبدأ بالنقطة ﺟ عند متجه الموضع صفر ﺱ زائد صفر ﺹ. عند ضرب الكتلة في متجه موضعها، نحصل على تسعة مضروبًا في صفر ﺱ زائد صفر ﺹ. الكتلة عند النقطة ﺏ تساوي خمسة، ومتجه موضعها يساوي ٢٦ﺱ زائد صفر ﺹ. بالنسبة إلى ﺃ، فإن الكتلة عندها تساوي ستة مضروبة في متجه الموضع ٢٦ﺱ زائد ٢٢ﺹ. بالنسبة إلى آخر الكتلتين، لدينا ثمانية في ١٣ﺱ زائد ٢٢ﺹ زائد سبعة في صفر ﺱ زائد ٢٢ﺹ.

يمكننا بعد ذلك التبسيط بفك القوسين، مع ملاحظة أن الحدود التي بها صفر ﺱ أو صفر ﺹ تساوي صفرًا. هذا يعطينا واحدًا على ٣٥ في ١٣٠ﺱ زائد ١٥٦ﺱ زائد ١٣٢ﺹ زائد ١٠٤ﺱ زائد ١٧٦ﺹ زائد ١٥٤ﺹ. ويمكن تبسيط ذلك إلى واحد على ٣٥ في ٣٩٠ﺱ زائد ٤٦٢ﺹ. بقسمة ٣٩٠ﺱ و٤٦٢ﺹ على ٣٥، نحصل على ٧٨ على سبعة ﺱ زائد ٦٦ على خمسة ﺹ. لكن تذكر أنه مطلوب منا إيجاد إحداثيات مركز الثقل. ومن ثم، علينا تغيير متجه موضع مركز الثقل إلى مجموعة من الإحداثيات. وعليه، يمكننا الإجابة بأن إحداثيات مركز الثقل هي ٧٨ على سبعة، ٦٦ على خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.