فيديو الدرس: كمية الحركة الخطية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب كمية حركة جسيم يتحرك في خط مستقيم باستخدام الصيغة ﻡ = ﻙﻉ.

١٧:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب كمية حركة جسيم يتحرك في خط مستقيم باستخدام الصيغة ﻡ يساوي ﻙﻉ. تخيل أن لدينا جسمين؛ شاحنة تتحرك على طريق بسرعة ٣٠ ميلًا في الساعة، وطائرة ورقية تتحرك بسرعة ميلين في الساعة في الهواء. أي جسم منهما يتطلب قوة أكبر لإيقافه خلال الفترة الزمنية نفسها؟

نحن نعلم بشكل بديهي أن الشاحنة ستحتاج إلى قوة أكبر لإيقافها؛ لأن لها كتلة أكبر وتتحرك بسرعة أكبر. وعليه، يمكننا القول إن الشاحنة لها كمية حركة أكبر. يمكن التفكير في كمية الحركة على أنها مقياس لمدى صعوبة إيقاف جسم يتحرك.

سنبدأ بالتفكير في تعريف أكثر منهجية لذلك. العاملان اللذان يساهمان في كمية حركة الجسم هما كتلته ﻙ ومتجه سرعته؛ ﻉ. كلما ازدادت كتلة الجسم، ازدادت كمية حركته. وبالمثل، كلما ازدادت سرعة الجسم، ازدادت كمية حركته. وعليه، يمكننا تعريف كمية حركة الجسم المتجهة ﻡ بأنها تساوي كتلته ﻙ مضروبة في متجه سرعته؛ ﻉ. يكتب هذا على الصورة ﻡ يساوي ﻙﻉ.

بما أن السرعة هي كمية متجهة والكتلة كمية قياسية، فإن كمية الحركة هي كمية متجهة. لكننا في أغلب الأحيان لا نريد سوى إيجاد مقدار كمية الحركة. وعليه، يمكننا كتابة أن مقدار المتجه ﻡ يساوي مقدار ﻙﻉ. وبما أن الكتلة كمية قياسية، يمكننا أخذها خارج علامة المقدار، وبذلك نجد أن مقدار المتجه ﻡ يساوي ﻙ مضروبًا في مقدار المتجه ﻉ. في الطرف الأيسر، مقدار المتجه ﻉ هو ببساطة مقدار السرعة المتجهة أو السرعة. يمكننا الإشارة إلى أن مقدار كمية الحركة هو ﻡ فقط، والسرعة هي ﻉ فقط. وهذا يعطينا ﻡ يساوي ﻙﻉ.

إذا نظرنا إلى كرة بولينج كتلتها ١٢ كيلوجرامًا وتتحرك بسرعة خمسة أمتار في الثانية على مضمار بولينج، فيمكننا حساب كمية حركة كرة البولينج بالتعويض بالقيم في الصيغة ﻡ يساوي ﻙﻉ. كمية الحركة ﻡ تساوي ١٢ كيلوجرامًا في خمسة أمتار لكل ثانية. وبما أن ١٢ مضروبًا في خمسة يساوي ٦٠، فإن كمية الحركة تساوي ٦٠ كيلوجرام متر لكل ثانية. وهذا يوضح لنا أن وحدة قياس كمية الحركة القياسية هي الكيلوجرام متر لكل ثانية. ولكن يمكن أيضًا قياس كمية الحركة بوحدات قياس أخرى، في الواقع يمكن قياسها بأي وحدة لقياس الكتلة مضروبة في وحدة لقياس السرعة.

سنتناول الآن بعض الأمثلة.

أوجد كمية حركة سيارة كتلتها ٢٫١ طن متري‎ تتحرك بسرعة ٤٢ كيلومترًا لكل ساعة.

سنبدأ بتذكر أن العاملين اللذين يؤثران على كمية حركة الجسم هما كتلته وسرعته؛ فكمية الحركة ﻡ تساوي الكتلة ﻙ في السرعة ﻉ. في هذا السؤال، نحن نعلم أن كتلة السيارة تساوي ٢٫١ من الأطنان المترية وسرعتها هي ٤٢ كيلومترًا لكل ساعة. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، نجد أن ﻡ يساوي ٢٫١ طن مضروبًا في ٤٢ كيلومترًا لكل ساعة. لحساب ٢٫١ مضروبًا في ٤٢، يمكننا ضرب اثنين في ٤٢ ثم ٠٫١ في ٤٢. وهذان يساويان ٨٤ و ٤٫٢، على الترتيب. ولأن مجموع القيمتين يساوي ٨٨٫٢، فإن ٢٫١ مضروبًا في ٤٢ يساوي ٨٨٫٢. إذن، يمكننا استنتاج أن كمية حركة السيارة تساوي ٨٨٫٢ طن كيلومتر لكل ساعة.

هذه وحدة غير معتادة قليلًا لأن الوحدة الأساسية لكمية الحركة هي كيلوجرام متر لكل ثانية. لكن أي وحدة كتلة مضروبة في وحدة قياس السرعة هي وحدة صحيحة لقياس كمية الحركة. لو كان مطلوبًا منا كتابة الإجابة بالكيلوجرام متر لكل ثانية، لكان بإمكاننا تحويل الكتلة إلى كيلوجرامات والسرعة إلى أمتار لكل ثانية قبل ضرب القيم.

في المثال التالي، سنحسب كمية الحركة باستخدام معادلات الحركة أولًا.

احسب كمية الحركة لحجر كتلته ٥٢٠ جرامًا بعد سقوطه ٨٫١ أمتار رأسيًّا لأسفل. عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

في هذا السؤال، ليست لدينا سرعة الحجر، وهو ما نريد معرفته لحساب كمية الحركة. يخبرنا السؤال بالمسافة التي قطعها الحجر وبعجلته. وبما أنه ليس لدينا أي معلومة عن الحركة الابتدائية للحجر، يمكننا افتراض أنه كان في البداية في وضع السكون.

معرفة هذه المعلومات الثلاثة تعني أنه يمكننا استخدام معادلات للمساعدة في حساب سرعة الجسيم بعد سقوطه ٨٫١ أمتار. نحن نعرف أن الإزاحة ﻑ تساوي ٨٫١ أمتار. السرعة الابتدائية ﻉ صفر تساوي صفر متر لكل ثانية. إننا نحاول حساب السرعة النهائية ﻉ بالمتر لكل ثانية. ونحن نعرف من المعطيات أن عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

في هذا السؤال، نحن لا نعرف شيئًا عن الزمن. لذا، يمكننا استخدام المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. بالتعويض بقيم ﻉ صفر وﺟ وﻑ، نجد أن ﻉ تربيع يساوي صفر تربيع زائد اثنين مضروبًا في ٩٫٨ مضروبًا في ٨٫١. إذن، ﻉ تربيع يساوي ١٥٨٫٧٦. بأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة مع إدراك أن السرعة يجب أن تكون قيمة موجبة، يكون لدينا قيمة لـ ﻉ تساوي ١٢٫٦. وبعد سقوط الحجر ٨٫١ أمتار رأسيًّا لأسفل، فإنه يتحرك بسرعة مقدارها ١٢٫٦ مترًا لكل ثانية.

حسنًا، إننا نتذكر أن كمية الحركة لأي جسيم ﻡ تساوي كتلته ﻙ مضروبة في سرعته ﻉ. وحدة القياس الأساسية لكمية الحركة هي الكيلوجرام متر لكل ثانية؛ وذلك لأن وحدة الكتلة الأساسية هي الكيلوجرام، ووحدة السرعة الأساسية هي المتر لكل ثانية. عرفنا من المعطيات أن كتلة الحجر تساوي ٥٢٠ جرامًا، ونحن نعرف أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام. هذا يعني أن كتلة الحجر بالكيلوجرام تساوي ٠٫٥٢.

ومن ثم، يمكننا حساب كمية حركة الحجر بضرب ٠٫٥٢ في ١٢٫٦. وبإدخال هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٦٫٥٥٢. يمكننا إذن استنتاج أنه بعد سقوط الحجر مسافة ٨٫١ أمتار، كانت كمية حركته ٦٫٥٥٢ كيلوجرام متر لكل ثانية.

في السؤال التالي، سنحسب التغير في كمية حركة جسيم بمعلومية عجلته وسرعته الابتدائية.

يتحرك جسم كتلته ١٧ كيلوجرامًا في خط مستقيم بعجلة ثابتة مقدارها ١٫٨ متر لكل ثانية مربعة. سرعته الابتدائية تساوي ٢٢٫٣ مترًا لكل ثانية. أوجد الزيادة في كمية حركته خلال أول خمس ثوان.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد الزيادة في كمية الحركة، أو التغير في كمية الحركة، خلال فترة زمنية محددة. لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد الفرق بين كمية حركته النهائية وكمية حركته الابتدائية. يمكننا التعبير عن ذلك رياضيًّا على الصورة Δﻡ يساوي ﻡ اثنين ناقص ﻡ واحد؛ حيث Δﻡ هو التغير في كمية الحركة، وﻡ اثنان هو كمية الحركة النهائية، وﻡ واحد هو كمية الحركة الابتدائية. ونظرًا لأن كمية الحركة تساوي الكتلة مضروبة في السرعة، يمكن إعادة كتابة ذلك ليصبح على الصورة Δﻡ يساوي ﻙﻉ اثنين ناقص ﻙﻉ واحد؛ حيث ﻉ اثنان هو السرعة النهائية، وﻉ واحد هو السرعة الابتدائية، وﻙ هو كتلة الجسم.

نحن نعلم من المعطيات أن السرعة الابتدائية للجسم تساوي ٢٢٫٣ مترًا لكل ثانية. كما نعلم أن الكتلة تساوي ١٧ كيلوجرامًا. هذا يعني أن علينا البدء بحساب السرعة النهائية. يمكننا فعل ذلك باستخدام معادلات الحركة، . يمكننا فعل ذلك باستخدام معادلات الحركة.

حسنًا، نحن نعلم أن السرعة الابتدائية تساوي ٢٢٫٣ مترًا لكل ثانية. العجلة ﺟ تساوي ١٫٨ متر لكل ثانية مربعة. والمدة الزمنية التي تعنينا هي خمس ثوان. يمكننا إذن حساب السرعة النهائية ﻉ باستخدام المعادلة ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. بالتعويض بقيم ﻉ صفر وﺟ وﻥ، نجد أن ﻉ يساوي ٢٢٫٣ زائد ١٫٨ مضروبًا في خمسة. ‏١٫٨ مضروبًا في خمسة يساوي تسعة. وعليه، فإن ﻉ يساوي ٣١٫٣. سرعة الجسم بعد خمس ثوان تساوي ٣١٫٣ مترًا لكل ثانية.

لدينا الآن قيم ﻙ وﻉ واحد وﻉ اثنين. نحن نعرف السرعة الابتدائية والسرعة النهائية وكتلة الجسم. إذن، التغير في كمية الحركة يساوي ١٧ مضروبًا في ٣١٫٣ ناقص ١٧ مضروبًا في ٢٢٫٣. على الرغم من أنه يمكننا إدخال ذلك مباشرة على الآلة الحاسبة، يمكننا هنا ملاحظة أن الكتلة ﻙ مشتركة بين الحدين في الطرف الأيسر. يمكننا إذن إعادة كتابة التغير في كمية الحركة ليصبح على الصورة ﻙ مضروبًا في ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد.

في هذا السؤال، التغير في كمية الحركة يساوي ١٧ مضروبًا في ٣١٫٣ ناقص ٢٢٫٣. يبسط هذا إلى ١٧ مضروبًا في تسعة؛ وهو ما يساوي ١٥٣. بما أن كتلة الجسم تقاس بالكيلوجرام، والسرعة، أو كلتا السرعتين، تقاس بالمتر لكل ثانية، فإننا نستخدم الوحدة الأساسية لقياس كمية الحركة وهي الكيلوجرام متر لكل ثانية. إذن، في أول خمس ثوان من الحركة، تزداد كمية حركة الجسم بمقدار ١٥٣ كيلوجرام متر لكل ثانية.

في السؤال الأخير، سنحسب كمية الحركة بمعلومية معادلة إزاحة الجسيم وكتلته.

سيارة كتلتها ١٣٥٠ كيلوجرامًا تتحرك في خط مستقيم، وكانت إزاحة السيارة عند الزمن ﻥ ثانية من نقطة ثابتة على الخط المستقيم تعطى بالعلاقة ﻑ يساوي ستة ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ زائد أربعة أمتار. أوجد مقدار كمية حركة السيارة عند ﻥ يساوي ثلاث ثوان.

في هذا السؤال، لدينا دالة لموضع السيارة الذي يعتمد على الزمن فقط. لإيجاد كمية حركة السيارة عند زمن معين، سيكون علينا معرفة سرعتها عند هذا الزمن. لكي نحصل على هذه السرعة، علينا أولًا الحصول على دالة عامة لسرعة السيارة بدلالة الزمن.

إننا نتذكر أن سرعة جسم ما؛ أي المتجه ﻉ، تعرف بأنها معدل تغير إزاحة الجسم. ومن ثم، فهي مشتقة إزاحة الجسم بالنسبة إلى الزمن. وبما أن هذا السؤال يدور حول جسم يتحرك في بعد واحد، يمكننا استخدام كميات قياسية لتمثيل السرعة ﻉ والإزاحة ﻑ، وهو ما يعطينا ﻉ يساوي ﺩﻑ على ﺩﻥ. بما أن ﻑ يساوي ستة ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ زائد أربعة، إذن يمكننا اشتقاق هذا حدًّا تلو الآخر. ومن ثم، فإن السرعة ﻉ تساوي ١٢ﻥ ناقص ثلاثة. وبما أن الإزاحة معطاة بالوحدة الأساسية وهي المتر، فإن السرعة ستكون بالمتر لكل ثانية.

إننا نريد معرفة سرعة السيارة عند ﻥ يساوي ثلاث ثوان. وبالتعويض بهذا في المعادلة، نحصل على ﻉ يساوي ١٢ مضروبًا في ثلاثة ناقص ثلاثة. وبذلك، تكون سرعة السيارة بعد ثلاث ثوان هي ٣٣ مترًا لكل ثانية. إننا نتذكر أنه يمكن حساب كمية الحركة لأي جسم بضرب كتلته في سرعته. هذا يعني أن كمية حركة السيارة تساوي ١٣٥٠، أي الكتلة بالكيلوجرام؛ مضروبًا في ٣٣، وهي السرعة بوحدة المتر لكل ثانية. وبإدخال هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٤٤٥٥٠. وبما أن الكتلة بالكيلوجرام والسرعة بالمتر لكل ثانية، فإن كمية الحركة ستكون بوحدة القياس الأساسية وهي كيلوجرام متر لكل ثانية. إذن، عند ﻥ يساوي ثلاث ثوان، تكون كمية حركة السيارة ٤٤٥٥٠ كيلوجرام متر لكل ثانية.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. متجه كمية الحركة ﻡ لجسم ما يساوي حاصل ضرب كتلته ﻙ ومتجه سرعته ﻉ؛ حيث ﻡ يساوي ﻙ مضروبًا في ﻉ. تقاس كمية الحركة عادة بالوحدة كيلوجرام متر لكل ثانية. وكما رأينا في هذا الفيديو، قد نحتاج في بعض الأحيان إلى استخدام معادلات الحركة لإيجاد سرعة جسم لحساب كمية حركته. في المثال الأخير، رأينا أنه إذا كانت لدينا دالة لموضع جسم ما عند الزمن ﻥ، فيمكننا إيجاد مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الزمن للحصول على دالة للسرعة. يمكن بعد ذلك استخدام هذا لمساعدتنا في حساب كمية الحركة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.