فيديو الدرس: قانون نيوتن الثالث للحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل باستخدام قانون نيوتن الثالث للحركة. في هذه المرحلة، يجب أن تكون قد تعرفت على قانوني نيوتن الأول والثاني للحركة وطبقتهما. ينص قانون نيوتن الأول على أن الجسم يظل في حالة سكون أو في حالة حركة منتظمة في خط مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية. وينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة المؤثرة على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته، ﻕ تساوي ﻙﺟ. إذن، ما الذي يخبرنا به قانون نيوتن الثالث؟

ينص قانون نيوتن الثالث وفقًا لصيغته الأكثر شيوعًا أن لكل فعل رد فعل مساويًا له في المقدار ومضادًا له في الاتجاه. لكننا لا نتحدث عن رد فعل كالذي يحدث عندما يرتدي شقيقك شيئًا من ملابسك المفضلة على سبيل المثال. وينص القانون تحديدًا على أنه إذا كان الجسم ﺃ يؤثر بقوة على الجسم ﺏ، فلا بد أن يؤثر الجسم ﺏ على الجسم ﺃ بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه. وكما هو الحال مع قانوني نيوتن الآخرين، فإن هذا الاستنتاج بديهي. على سبيل المثال، عند إطلاق صاروخ، يطلق الوقود المحترق غازًا بسرعة عالية. يؤثر الصاروخ على الغاز الموجود في غرفة الاحتراق بقوة اتجاهها لأسفل. ومن ثم، يؤثر الغاز على الصاروخ بقوة رد فعل مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه، أي تؤثر لأعلى. الاسم الخاص لهذه العملية هو الدفع.

ثمة مثال آخر مهم ينطبق عليك في اللحظة الراهنة. سواء أكنت جالسًا على كرسي أو واقفًا، فأنت تؤثر على الكرسي أو الأرض بقوة لأسفل. ولذلك، يؤثر الكرسي أو الأرض عليك بقوة رد فعل إلى أعلى. وهذا هو ما يمنعك من السقوط عن الكرسي أو الأرض، كما يحدث في بعض أفلام الخيال العلمي. سنتناول قانون نيوتن الثالث للحركة وبعض السياقات التي يطبق فيها. لاحظ أنه في علم الميكانيكا الكلاسيكية، نادرًا ما يطبق هذا القانون بمفرده، ولهذا السبب، يجب أن تتأكد من معرفتك الجيدة بكيفية تطبيق القانونين الأول والثاني.

لنبدأ بتطبيق القانون في مثال بسيط جدًا.

يتحرك مصعد رأسيًا لأعلى بسرعة ثابتة. يقف رجل كتلته ١٥٠ كيلوجرامًا داخل المصعد. أوجد قوة رد فعل أرضية المصعد على الرجل. اعلم أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

في مثل هذه الأسئلة، من المفيد أن نبدأ برسم شكل بسيط للتوضيح. يتحرك المصعد لأعلى بسرعة ثابتة. وإذا كانت السرعة ثابتة، فلا بد أن العجلة تساوي صفرًا متر لكل ثانية مربعة. يقف رجل كتلته ١٥٠ كيلوجرامًا داخل المصعد. ويعني هذا أن الرجل يؤثر على أرضية المصعد بقوة لأسفل. ولإيجاد قيمة هذه القوة المؤثرة لأسفل، يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني، وهو القوة تساوي الكتلة في العجلة. نسمي القوة الناتجة عن الكتلة والمؤثرة لأسفل «الوزن»، ونرمز لها بـ ﻭ. ويمكننا القول إن هذه القوة تساوي كتلة الجسم مضروبة في العجلة الناتجة عن الجاذبية، أي ﻙﺩ. هذا يعني أنه بما أن كتلة الرجل ١٥٠ كيلوجرامًا، فإن قوة الوزن المؤثرة لأسفل تساوي ١٥٠ﺩ على أرضية المصعد.

نتذكر هنا قانون نيوتن الثالث للحركة. وينص على أنه إذا كان الجسم ﺃ يؤثر بقوة على الجسم ﺏ، فإن الجسم ﺏ يؤثر على الجسم ﺃ بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه. وبما أن الرجل يؤثر على أرضية المصعد بقوة لأسفل، فلا بد أن تؤثر أرضية المصعد على الرجل نفسه بقوة لأعلى. وهاتان القوتان هما ما يعنينا الآن. فلا يعنينا، على سبيل المثال، قوى الشد في كابل المصعد. نعود إذن إلى قانون نيوتن الثاني للحركة، القوة تساوي الكتلة في العجلة. سنحدد الاتجاه لأعلى في هذه الحالة ليكون موجبًا، ثم نوجد محصلة القوى.

في الاتجاه لأعلى، لدينا ﺭ، وفي الاتجاه لأسفل، لدينا ‎١٥٠ﺩ. أي إن هذه القوة تؤثر في الاتجاه السالب. ولذا، فإن محصلة القوى على الشكل هي ﺭ ناقص ‎١٥٠ﺩ. وتساوي الكتلة في العجلة، أي ١٥٠ في صفر. ‏‏١٥٠ في صفر يساوي صفرًا. إذن، تصبح المعادلة لدينا ﺭ ناقص ‎١٥٠ﺩ يساوي صفرًا. ويمكننا إيجاد قيمة ﺭ عن طريق إضافة ‎١٥٠ﺩ إلى طرفي المعادلة، لنجد أن ﺭ يساوي ‎١٥٠ﺩ. ونعرف أن ﺩ تساوي ٩٫٨، إذن نعوض عن ﺩ بـ ٩٫٨ في هذا المقدار. ومن ثم، على ﺭ يساوي ١٥٠ في ٩٫٨، وهو ما يساوي ١٤٧٠. استخدمنا وحدتي الكيلوجرام والمتر لكل ثانية مربعة، إذن ستكون وحدة قياس القوة هي النيوتن. قوة رد فعل الأرضية على الرجل تساوي ١٤٧٠ نيوتن.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان يمكننا الانتقال إلى هذه الخطوة مباشرة. ولم نكن بحاجة إلى الخطوة الأولى من الحل. فهي تمثل في الأساس معكوس القانون الأول. حيث يخبرنا أن الجسم سيظل في حالة سكون أو حركة منتظمة ما لم تؤثر عليه قوة خارجية. بعبارة أخرى، إذا كان مجموع القوى المؤثرة على الجسم يساوي صفرًا، فإن الجسم يظل في حالة سكون أو حركة منتظمة. ونعلم أن الجسم لدينا يظل في حالة حركة منتظمة؛ ومن ثم مجموع القوى لا بد أن يساوي صفرًا.

في المثال التالي، سنعرف كيف يمكن أن يساعدنا استخدام قانون نيوتن الثاني في أغلب المسائل.

يتحرك مصعد رأسيًا لأسفل بعجلة ١٫٧ متر لكل ثانية مربعة. إذا كانت عجلة الجاذبية تساوي ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، فأوجد قوة رد فعل الأرضية على راكب كتلته ١٠٣ كيلوجرامات.

لنبدأ برسم شكل توضيحي. لدينا مصعد يتحرك رأسيًا لأسفل بعجلة ١٫٧ متر لكل ثانية مربعة. ونعرف أن كتلة راكب المصعد ١٠٣ كيلوجرامات. إذن، لا بد أن هذا الراكب يؤثر على المصعد بقوة لأسفل، ونطلق على هذه القوة المؤثرة لأسفل «الوزن»، والوزن يساوي الكتلة في عجلة الجاذبية ﺩ. وبما أن كتلة الراكب في هذه المسألة تساوي ١٠٣ كيلوجرامات، فإن وزنه يساوي ‎١٠٣ﺩ. ينص قانون نيوتن الثالث على أنه إذا كان هناك جسم يؤثر بقوة ما على جسم ثان، فلا بد أن يؤثر الجسم الثاني على الجسم الأول بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه. ومن ثم، تؤثر أرضية المصعد بقوة رد فعل على الراكب نفسه.

لدينا الآن جميع القوى التي تعنينا، ونتذكر هنا قانون نيوتن الثاني للحركة، الذي ينص على أن القوة تساوي الكتلة في العجلة. سنحسب محصلة القوى في الشكل، ونساويها بكتلة الراكب مضروبة في العجلة. علينا أولًا تحديد الاتجاه الموجب. هذا أمر له علاقة كبيرة بالتفضيل الشخصي. فأنا أفضل أن يكون الاتجاه الموجب هو اتجاه حركة الجسم. ولذا، سأفترض في هذه الحالة أن الاتجاه لأسفل هو الاتجاه الموجب. وطالما أننا سنستخدم الافتراض نفسه طوال المسألة، فلا يهم الاتجاه الذي نختاره.

إذن، القوى المؤثرة في الاتجاه الموجب لدينا هي ‎١٠٣ﺩ. وفي الاتجاه السالب، لدينا ﺭ؛ ومن ثم فإن محصلة القوى في هذا الشكل تساوي ‎‎١٠٣ﺩ ناقص ﺭ. وهذا يساوي كتلة الراكب مضروبة في العجلة، أي ١٠٣ في ١٫٧. تذكر أننا نحاول إيجاد قوة رد فعل الأرضية على الراكب، ولذا علينا جعل ﺭ في طرف بمفردها. لنبدأ بإضافة ﺭ إلى كلا طرفي المعادلة. كان يمكننا بالطبع الضرب في سالب واحد بدلًا من ذلك، لكننا نريد أن تكون ﺭ موجبة. سنطرح بعد ذلك ١٠٣ في ١٫٧ من طرفي المعادلة؛ ومن ثم نحصل على ‎‎‎١٠٣ﺩ ناقص ١٠٣ في ١٫٧ يساوي ﺭ.

من الأفضل إجراء التحليل هنا إن أمكن. فهذا من شأنه أن يجعل أي عملية حسابية ذهنية أسهل. سيصبح الطرف الأيمن ١٠٣ في ﺩ ناقص ١٫٧. ‏‏ﺩ تساوي ٩٫٨ بالطبع، وبما أن ٩٫٨ ناقص ١٫٧ يساوي ٨٫١، فإننا نستنتج أن ﺭ لا بد أن تساوي ١٠٣ في ٨٫١. وهو ما يساوي ٨٣٤٫٣. استخدمنا الكيلوجرام والمتر لكل ثانية مربعة؛ ومن ثم ستكون وحدة قياس القوة هي النيوتن. إذن، قوة رد فعل الأرضية تجاه راكب كتلته ١٠٣ كيلوجرامات هي ٨٣٤٫٣ نيوتن.

عندما تقارن قوة رد الفعل هذه بقوة وزن الرجل، فربما يذكرك ذلك عندما ركبت المصعد ذات مرة. قوة الوزن ‎‎‎١٠٣ﺩ تساوي ١٠٣ في ٩٫٨، وهذا يساوي ١٠٠٩٫٤. ‏‏١٠٠٩٫٤ أكبر من قوة رد الفعل، وهذا منطقي تمامًا. إذا كنت في مصعد يتحرك إلى الأسفل، فستشعر تقريبًا أنك أخف قليلًا من المعتاد. وبالمثل، إذا كنت في مصعد يتحرك إلى أعلى، فقد تشعر أنك أثقل قليلًا من المعتاد. وذلك لأن قوة رد الفعل أكبر من قوة الوزن.

في المثال التالي، سنتناول كيفية التعامل مع ميزان زنبركي.

علق جسم كتلته ٣٢ كيلوجرامًا بميزان زنبركي مثبت بسقف مصعد. إذا كان المصعد يتحرك لأعلى بعجلة ٤٠٥ سنتيمترات لكل ثانية مربعة، فأوجد الوزن الظاهري للجسم. اعلم أن عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

لنبدأ برسم شكل توضيحي. لدينا جسم كتلته ٣٢ كيلوجرامًا معلق بميزان زنبركي. وهذا الميزان الزنبركي مثبت بسقف مصعد. إذن، توجد قوتان مؤثرتان هنا. أولًا، توجد قوة الجسم المؤثرة لأسفل. وهذه القوة هي الوزن، وتساوي الكتلة في الجاذبية، أي ٣٢ في ﺩ. وبما أن الجسم يؤثر على الميزان الزنبركي بقوة لأسفل، فإنه وفقًا لقانون نيوتن الثالث لا بد أن يؤثر أيضًا الميزان الزنبركي على الجسم بقوة لأعلى. لنسم هذه القوة الشد، وهذا الشد سيعطينا قراءة الميزان، وهي نفسها الوزن الظاهري للجسم.

نعلم أن المصعد يتحرك لأعلى بعجلة ٤٠٥ سنتيمترات لكل ثانية مربعة. وبما أن المتر يحتوي على ١٠٠ سنتيمتر، فسنقسم هذه القيمة على ١٠٠ لنحصل على ٤٫٠٥ أمتار لكل ثانية مربعة. وذلك لأننا نستخدم الكيلوجرام. كما أن لدينا الجاذبية بالمتر لكل ثانية؛ ومن ثم ستكون الإجابة النهائية بالنيوتن. وعلينا استخدام وحدات القياس نفسها طوال المسألة. يؤثر الميزان الزنبركي على سقف المصعد أيضًا بقوة ما. لكن هذا النظام من القوى لا يهمنا الآن. ولذا، سنتابع الحل ونستخدم قانون نيوتن الثاني للحركة، القوة تساوي الكتلة في العجلة.

سنحسب محصلة القوى في النظام، ثم نساويها بكتلة الجسم مضروبة في العجلة. علينا أولًا اختيار الاتجاه الموجب. لنحدد الاتجاه لأعلى ليكون موجبًا؛ لأنه اتجاه حركة الجسم. وبما أن لدينا قوة الشد ﺵ التي تؤثر لأعلى، والقوة ٣٢ﺩ التي تؤثر في الاتجاه السالب؛ إذن، محصلة القوى في النظام تساوي ﺵ ناقص ٣٢ﺩ. ويساوي هذا كتلة الجسم في العجلة. أي إنه يساوي ٣٢ في ٤٫٠٥. سنوجد قيمة ﺵ لأنها ستخبرنا بالوزن الظاهري للجسم. إذن، علينا إضافة ٣٢ﺩ إلى طرفي المعادلة. ‏‏ﺵ يساوي ٣٢ في ٤٫٠٥ زائد ٣٢ﺩ، وهو ما يساوي ٣٢ في ٤٫٠٥ زائد ٣٢ في ٩٫٨. ويعطينا هذا القيمة ٤٤٣٫٢. إذن، الوزن الظاهري للجسم هو ٤٤٣٫٢ نيوتن.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية إيجاد العجلة باستخدام نظام من المعادلات الآنية.

علق جسم في ميزان زنبركي مثبت في سقف مصعد. وكانت قراءة الميزان ٥٠ ثقل كيلوجرام عندما كان المصعد يتحرك لأعلى بعجلة ﺟ متر لكل ثانية مربعة، وكانت القراءة ١٠ ثقل كيلوجرام عندما كان المصعد يتحرك لأسفل بعجلة خمسة أثلاث ﺟ متر لكل ثانية مربعة. فإذا كانت عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، فأوجد قيمة ﺟ.

لنبدأ برسم كل جزء من أجزاء هذا السيناريو. في البداية، يتحرك المصعد لأعلى بعجلة مقدارها ﺟ متر لكل ثانية مربعة. وكانت قراءة الميزان عند هذه النقطة ٥٠ ثقل كيلوجرام. لا تقلق كثيرًا بشأن الوحدات هنا. ثقل كيلوجرام هو طريقة أخرى لقياس القوة؛ ومن ثم سنكتب أن قراءة الميزان هي ببساطة ٥٠، وهي بالأساس القوة المؤثرة لأعلى. وهذه القوة المؤثرة لأعلى هي رد فعل لقوة وزن الجسم المؤثرة لأسفل. لا نعرف مقدار الكتلة، ولذا سنرمز لها بـ ﻙ. القوة المؤثرة لأسفل تساوي الكتلة في الجاذبية، أي ﻙﺩ. لدينا بعد ذلك القراءة ١٠ ثقل كيلوجرام عندما يتحرك المصعد لأسفل بعجلة خمسة أثلاث ﺟ متر لكل ثانية مربعة.

تظل قوة الوزن المؤثرة لأسفل ﻙﺩ دون تغيير. عرفنا الآن كل القوى المؤثرة. دعونا إذن نستخدم قانون نيوتن الثاني، القوة تساوي الكتلة في العجلة، مع تحديد الاتجاه لأعلى ليكون موجبًا في الشكل الأول؛ ومن ثم محصلة القوى ستساوي ٥٠ ناقص ﻙﺩ. وسيساوي هذا الكتلة في العجلة، ﻙﺟ. بعد ذلك، إذا حددنا الاتجاه لأسفل ليكون موجبًا في الشكل الثاني، فإن مجموع القوى سيساوي ﻙﺩ ناقص ١٠. وهو ما يساوي الكتلة في العجلة الجديدة، ﻙ في خمسة أثلاث ﺟ. لاحظ أنه كان من الممكن تحديد الاتجاه لأعلى ليكون موجبًا. لكن هذا غير مهم في الحقيقة. فعندئذ، كنا سنحصل على النتيجة نفسها.

سنعيد كتابة الطرف الأيسر على الصورة خمسة أثلاث ﻙﺟ، ويخبرنا السؤال أن علينا إيجاد قيمة ﺟ. إذن، سنجعل ﻙ في طرف بمفردها في كل من المعادلتين، ثم نساوي كلًا منهما بالأخرى. في المعادلة الأولى، سنضيف ﻙﺩ إلى كلا الطرفين، ثم نحلل. يصبح لدينا ٥٠ يساوي ﻙ في ﺟ زائد ﺩ. وأخيرًا، نقسم على ﺟ زائد ﺩ، إذن ﻙ يساوي ٥٠ على ﺟ زائد ﺩ. في المعادلة الثانية، نطرح خمسة أثلاث ﻙﺟ ونضيف ١٠. ثم نحلل مرة أخرى بالقسمة على المقدار الموجود داخل القوسين. ‏‏ﻙ تساوي ١٠ على ﺩ ناقص خمسة أثلاث ﺟ.

والآن بعد أن أصبح لدينا معادلتان لـ ﻙ، سنساوي كلًا منهما بالأخرى. ‏‏٥٠ على ﺟ زائد ﺩ يساوي ١٠ على ﺩ ناقص خمسة أثلاث ﺟ، سنقسم الطرفين على ١٠ أولًا. ثم نضرب في كلا المقامين. ويعطينا هذا خمسة في ﺩ ناقص خمسة أثلاث ﺟ يساوي ﺟ زائد ﺩ. هيا نفك الأقواس ونجعل ﺟ في طرف بمفردها. ‏‏ﺩ تساوي ٩٫٨ بالطبع. إذن، بإضافة ٢٥ على ثلاثة ﺟ إلى الطرفين وطرح ﺩ، نحصل على أربعة ﺩ يساوي ٢٨ على ثلاثة ﺟ. وأربعة ﺩ يعني أربعة في ٩٫٨، وهو ما يساوي ٣٩٫٢. خطوتنا الأخيرة هي أن نقسم طرفي هذه المعادلة على ٢٨ على ثلاثة. ‏‏٣٩٫٢ مقسومًا على ٢٨ على ثلاثة يساوي ٤٫٢، وعليه فإن العجلة ﺟ تساوي ٤٫٢ أمتار لكل ثانية مربعة.

لنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا أن قانون نيوتن الثالث للحركة ينص على أنه إذا كان الجسم ﺃ يؤثر بقوة على الجسم ﺏ، فلا بد أن يؤثر الجسم ﺏ على الجسم ﺃ بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه. ورأينا أيضًا أن هذا القانون نادرًا ما يستخدم بمفرده. بل يستخدم عادة مع القانونين الأول والثاني للحركة.