فيديو الدرس: نظرية ديموافر الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نستخدم نظرية ديموافر لتبسيط قوى وجذور الأعداد المركبة. وسنتعرف على ما تنص عليه نظرية ديموافر ومنشأها، ثم سنستخدم هذه النظرية لحل مسائل تتضمن قوى وجذورًا، بما في ذلك تلك المسائل التي تتضمن عمليات أخرى على الأعداد المركبة.

في واقع الأمر، تتيح لنا نظرية ديموافر سرعة إيجاد قيمة قوى عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية. وكما نعلم، يمكننا التعبير عن العدد المركب المكتوب على الصورة القطبية في الصورة الأسية ﻝﻫ أس ﺕ𝜃. وسنرفع كل طرف من طرفي هذه المعادلة لقوة صحيحة ما. ولنسمها ﻥ. ومن ثم، يمكننا القول إن ﻝﻫ أس ﺕ𝜃 الكل أس ﻥ يساوي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ﻥ.

بما أن ﻥ قيمة صحيحة، يمكن أن نعيد كتابة الطرف الأيمن في هذه المعادلة على الصورة: ﻝ أس ﻥ في ﻫ أس ﺕﻥ𝜃. ولكن، هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر باستخدام صيغة أويلر. وبذلك، نحصل على ﻝ أس ﻥ في جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. وهذه هي نظرية ديموافر. عندما تكون ﻥ قيمة صحيحة، نجد أن ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس ﻥ يساوي ﻝ أس ﻥ في جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃.

من المهم أن تعي أن هذا ليس إثباتًا أساسيًا لنظرية ديموافر، وأن الإثبات النصي يأتي من فهم أشمل للصورة الأسية للعدد المركب. لكن كما ذكرنا سابقًا، هذه النظرية يمكن أن تساعدنا في سهولة إيجاد قيمة قوى عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

بسط الجذر التربيعي لخمسة في جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على ١٤ زائد ﺕ جا ثلاثة ‏𝜋‏ على ١٤ أس سبعة، في جذر ثلاثة مضروب في جتا خمسة ‏𝜋‏ على ٢٢ زائد ﺕ جا خمسة ‏𝜋‏ على ٢٢ أس ١١.

في هذه المسألة، لدينا حاصل ضرب عددين مركبين كلاهما مكتوب على الصورة القطبية. لتبسيط هذا المقدار، علينا استخدام نظرية ديموافر لتساعدنا في إيجاد قيمة قوى كل عدد مركب قبل إيجاد حاصل ضربهما. تذكر أنه، وفقًا لهذه النظرية، في حالة قيم ﻥ الصحيحة، فإن العدد المركب المكتوب على الصورة القطبية وله الأس ﻥ يساوي ﻝ أس ﻥ في جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. هيا نستخدم هذا لإيجاد قيمة العدد المركب الأول أس سبعة.

في هذا العدد، ﻝ يساوي جذر خمسة و𝜃 تساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على ١٤. يمكننا أن نعيد كتابة هذا المقدار ليصبح جذر خمسة أس سبعة في جتا سبعة مضروبًا في ثلاثة ‏𝜋‏ على ١٤ زائد ﺕ جا سبعة مضروبًا في ثلاثة ‏𝜋‏ على ١٤. ويمكننا تبسيط هذا المقدار، لنجد أن العدد المركب الأول الذي أسه سبعة يساوي ١٢٥ جذر خمسة في جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد ﺕ جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. وبالمثل، في العدد المركب الثاني، نرفع قيمة المقياس وهو جذر ثلاثة للقوة ١١. وبذلك، نحصل على ٢٣٤ جذر ثلاثة. ثم نضرب السعة — وهي تساوي خمسة ‏𝜋‏ على ٢٢ في ١١ — لنحصل بذلك على خمسة ‏𝜋‏ على اثنين.

وأخيرًا، علينا إيجاد حاصل ضرب هذين العددين المركبين. ولضرب عددين مركبين، فإننا نضرب مقياسيهما ونجمع سعتيهما. ‏‏١٢٥ جذر خمسة في ٢٤٣ جذر ثلاثة يساوي ٣٠٣٧٥ جذر ١٥. وبجمع سعتيهما، نحصل على أربعة ‏𝜋‏، ونلاحظ بذلك أنه يمكن كتابة العدد المركب على الصورة ٣٠٣٧٥ جذر ١٥ في جتا أربعة ‏𝜋‏ زائد ﺕ جا أربعة ‏𝜋‏. وفي الواقع، يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك، بما أن جتا أربعة ‏𝜋‏ يساوي واحدًا وجا أربعة ‏𝜋‏ يساوي صفرًا. إذن، إجابتنا النهائية هي ٣٠٣٧٥ جذر ١٥.

في المثال التالي، سنوضح كيف نستخدم نظرية ديموافر لتبسيط خارج قسمة قوى الأعداد المركبة.

بسط ١٨ في سالب ﺕ زائد واحد أس ٣٩ مقسومًا على ﺕ زائد واحد أس ٤١.

لدينا هنا خارج قسمة عددين مركبين، أحدهما أسه ٣٩، والآخر أسه ٤١. لا يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيمة هذين العددين إلا إذا كانا مكتوبين على الصورة الأسية أو القطبية. لذا، فلنبدأ بكتابة سالب ﺕ زائد واحد وﺕ زائد واحد على الصورة القطبية. ولكي نفعل ذلك، نحتاج إلى معرفة قيمة مقياس كل منهما وسعته. حساب قيمة المقياس سهل ومباشر إلى حد ما. سنحسب الجذر التربيعي لمجموع مربع الجزء الحقيقي ومربع الجزء التخيلي لهذا العدد.

وبالتالي، فإن مقياس سالب ﺕ زائد واحد يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد سالب واحد تربيع، وهو ما يساوي جذر اثنين. وبالمثل، ﺕ زائد واحد يساوي جذر اثنين أيضًا. لكن ماذا عن سعتيهما؟ حسنًا، سنحسب سعة كل منهما على حدة. سالب ﺕ زائد واحد يحتوي على جزء حقيقي موجب وجزء تخيلي سالب. معنى هذا أنه يقع حتمًا في الربع الرابع. ومن ثم، يمكننا إيجاد سعته باستخدام صيغة الدالة العكسية لظل الجزء التخيلي مقسومًا على الجزء الحقيقي. وهذا يساوي الدالة العكسية لظل سالب واحد مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي سالب ‏𝜋‏ على أربعة.

‏‏ﺕ زائد واحد يقع في الربع الأول. إذن، يمكننا استخدام الصيغة نفسها. وهي الدالة العكسية لظل واحد مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ‏𝜋‏ على أربعة. وبذلك، أصبح لدينا العددان المركبان مكتوبين على الصورة القطبية. ثم عدت وعوضت بهما في الكسر. وعلينا بعد ذلك أن نحسب قيمة العدد المركب في البسط الذي أسه ٣٩، والعدد المركب في المقام الذي أسه ٤١.

باستخدام نظرية ديموافر، لدينا في البسط الجذر التربيعي لاثنين أس ٣٩ في جتا ٣٩ مضروبًا في سالب ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا ٣٩ مضروبًا في سالب ‏𝜋‏ على أربعة. وفي المقام، قيمة المقياس تساوي جذر اثنين أس ٤١ والسعة تساوي ٤١ في ‏𝜋‏ على أربعة. ليس علينا أن نحسب ناتج هذا المقدار الآن. ولكن، بدلًا من ذلك، علينا تذكر أنه لقسمة عددين مركبين على الصورة القطبية، نقسم قيمة مقياسيهما ونطرح سعتيهما.

بقسمة قيمة مقياسيهما، يتبقى لدينا ١٨ على جذر اثنين تربيع، ويساوي تسعة. وبطرح سعتيهما، نجد أن السعة تساوي سالب ٢٠‏𝜋‏. ‏ جتا سالب ٢٠‏𝜋‏ يساوي واحدًا، وجا سالب ٢٠‏𝜋‏ يساوي صفرًا. إذن يتبقى لدينا تسعة.

لعلك لاحظت الآن أنه يمكننا تعميم خواص المقياس والسعة ورفعها لقوى ﻥ الصحيحة. وعندما يكون لدينا عدد مركب ﻉ وقيم ﻥ صحيحة، فإن مقياس ﻉ أس ﻥ هو نفسه مقياس ﻉ أس ﻥ. وسعة ﻉ أس ﻥ هي نفسها ﻥ مضروبة في سعة ﻉ.

وفي الواقع، جدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا تعميم نظرية ديموافر لتشمل العدد المركب ومرافقه. وقد لا يتسع الوقت لشرح نشأة هذه النظرية في هذا الفيديو. لكن من المهم أن تعرف أن في حالة مرافق ﻉ، المعبر عنه هنا بـ ﻉ ستار، مرافق ﻉ أس ﻥ يساوي مرافق ﻉ أس ﻥ. يمكن لهذه الصيغة أن تكون مفيدة للغاية في حل المسائل التي لا نرغب في استخدام نظرية ديموافر بالكامل لحلها. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

إذا كان ﻉ يساوي جذر ثلاثة ناقص ﺕ أس ﻥ ومقياس ﻉ يساوي ٣٢، فأوجد سعة ﻉ الأساسية.

سعة ﻉ الأساسية هي قيمة 𝜃، حيث 𝜃 أكبر من سالب ‏𝜋‏ وأصغر من أو تساوي ‏𝜋‏. لحل هذه المسألة، علينا أن نتذكر خواص المقياس. نعرف أن مقياس ﻉ يساوي ٣٢. وبالتالي، يمكننا القول إن مقياس جذر ثلاثة ناقص ﺕ أس ﻥ يساوي ٣٢. يمكننا أن نعيد كتابة هذا المقدار باستخدام خواص المقياس. ويمكننا القول إن مقياس جذر ثلاثة ناقص ﺕ الكل أس ﻥ يساوي ٣٢.

مقياس جذر ثلاثة ناقص ﺕ يساوي الجذر التربيعي لجذر ثلاثة تربيع زائد سالب واحد تربيع. وهذا يساوي اثنين. وبذلك، يمكننا القول إن اثنين أس ﻥ يساوي ٣٢. ونعلم أن اثنين أس خمسة يساوي ٣٢. إذن، ﻥ يساوي خمسة. يمكننا الآن إعادة كتابة العدد المركب على صورة جذر ثلاثة ناقص ﺕ الكل أس خمسة. وهنا نتذكر القاعدة التي تقول إن سعة ﻉ أس ﻥ تساوي ﻥ في سعة ﻉ. معنى هذا أن سعة ﻉ أو سعة جذر ثلاثة ناقص ﺕ أس خمسة يساوي خمسة في سعة جذر ثلاثة ناقص ﺕ.

يقع جذر ثلاثة ناقص ﺕ في الربع الرابع عندما نمثله على مخطط أرجاند. وذلك لأن الجزء الحقيقي فيه موجب والجزء التخيلي سالب. ويمكننا إيجاد سعة جذر ثلاثة ناقص ﺕ باستخدام صيغة الدالة العكسية لظل الجزء التخيلي مقسومة على الجزء الحقيقي. وهذا يساوي الدالة العكسية لظل سالب واحد على جذر ثلاثة. وهو ما يساوي سالب ‏𝜋‏ على ستة. نلاحظ بذلك أن سعة ﻉ تساوي خمسة مضروبًا في سالب ‏𝜋‏ على ستة، وهو ما يساوي سالب خمسة ‏𝜋‏ على ستة. وهذا يحقق المعيار الذي يشترط أن تكون السعة أصغر من أو تساوي ‏𝜋‏ وأكبر من سالب ‏𝜋‏. وهكذا نكون قد أوجدنا سعة ﻉ الأساسية. وهي تساوي سالب خمسة ‏𝜋‏ على ستة.

وفي المثال الأخير هنا، سنتعلم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذور. تنص نظرية ديموافر للجذور على أنه لعدد مركب ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، جذور ﻥ لهذا العدد هي ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ. حيث ﻙ يأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.

أوجد الجذور الأربعة لسالب واحد، معطيًا إجاباتك على الصورة المثلثية.

تنص نظرية ديموافر للجذور على أن الجذر النوني لعدد مركب مكتوب على الصورة القطبية هو ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ، حيث ﻙ يأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد. إذن، علينا أن نعبر عن سالب واحد على الصورة القطبية. مقياس سالب واحد هو واحد وسعته هي ‏𝜋‏. لذلك بالصورة القطبية، نجد أن سالب واحد هو نفسه جتا ‏𝜋‏ زائد ﺕ جا ‏𝜋‏.

بتطبيق قاعدة ديموافر للجذور، نجد أن الجذور الأربعة لسالب واحد هي جتا ‏𝜋‏ زائد ‏𝜋‏ﻙ على أربعة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على أربعة، حيث ﻙ يأخذ جميع القيم من صفر حتى ثلاثة. سنبدأ بحساب قيمة الجذر عند ﻙ يساوي صفرًا. عند ﻙ يساوي صفرًا، الجذر يساوي جتا ‏𝜋‏ على أربعة ‏𝜋‏ زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ على أربعة. عند ﻙ يساوي واحدًا، الجذر يساوي جتا ‏𝜋‏ زائد اثنين على أربعة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ على أربعة، ونبسطه إلى جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة.

عند ﻙ يساوي اثنين، نحصل على جتا ‏𝜋‏ زائد أربعة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد أربعة ‏𝜋‏ على أربعة. وبذلك، تكون السعة خمسة ‏𝜋‏ على أربعة. لكن هذه السعة لا تقع في نطاق السعة الأساسية. تذكر أنه يمكننا جمع أو طرح مضاعفات اثنين ‏𝜋‏ لنحقق هذا. هذه المرة، سنطرح اثنين ‏𝜋‏ لنحصل بذلك على سعة تساوي سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة. إذن، الجذر الثالث هنا هو جتا سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة.

وعند ﻙ يساوي ثلاثة، السعة تساوي ‏𝜋‏ زائد ستة ‏𝜋‏ على أربعة. وهذا يساوي سبعة ‏𝜋‏ على أربعة، وهو أيضًا يقع خارج نطاق السعة الأساسية. نطرح اثنين ‏𝜋‏ لتصبح السعة الأساسية لهذا الجذر هي سالب ‏𝜋‏ على أربعة. إذن، الجذر الرابع هو جتا سالب ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا سالب ‏𝜋‏ على أربعة.

السبب الذي جعلنا نتوقف هنا هو أن نظرية ديموافر للجذور تقول إن ﻙ يأخذ جميع القيم من صفر وحتى ﻥ ناقص واحد. بعيدًا عن أننا نعرف أن الجذر الرابع لسالب واحد سيعطينا أربعة جذور، هيا نر سبب توقفنا عند ﻥ ناقص واحد كقيمة لـ ﻙ. لنر ما سيحدث إذا حاولنا إيجاد قيمة الجذر عند ﻙ يساوي أربعة.

كنا سنحصل على جتا ‏𝜋‏ زائد ثمانية ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد ثمانية ‏𝜋‏ على أربعة. وبذلك، السعة تساوي تسعة ‏𝜋‏ على أربعة، وهي أيضًا تقع خارج نطاق السعة الأساسية. وبطرح اثنين ‏𝜋‏ من تسعة ‏𝜋‏ على أربعة نحصل على ‏𝜋‏ على أربعة. والآن، تلاحظ أن عند ﻙ يساوي أربعة، نحصل على النتيجة نفسها عند ﻙ يساوي صفرًا. إذن، نحن نحتاج فقط إلى أربعة قيم لـ ﻙ: صفر وواحد واثنان وثلاثة.

وقد استخدمنا نظرية ديموافر للجذور لإيجاد الجذور الأربعة لسالب واحد. وهي جتا ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ على أربعة، وجتا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة، وجتا سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة، وجتا سالب ‏𝜋‏ على أربعة زائد ﺕ جا سالب ‏𝜋‏ على أربعة.

في هذا الفيديو، لاحظنا أنه، وفقًا لنظرية ديموافر، يمكننا أن نرفع عددًا مركبًا مكتوبًا على الصورة القطبية إلى قوة صحيحة ﻥ باستخدام الصيغة ﻝ أس ﻥ في جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. كما لاحظنا أيضًا أنه يمكن استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور النونية للأعداد المركبة. وأوجدنا قيمة ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ، حيث ﻙ يمكن أن يأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.

وبالطبع، شرحنا بوضوح خلال هذا الفيديو كيفية استخدام نظرية ديموافر لحساب الجذور النونية والقوى الصحيحة. لكن لا يمكننا أن نزعم أنها تنطبق على الأسس الحقيقية أو المركبة.