فيديو الدرس: عدد جذور معادلة كثيرة الحدود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود.

في الفيديو ده هنعرف نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر، واللي بيها نقدر نحدّد عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود. وكمان هنعرف قانون ديكارت للإشارات، اللي من خلاله نقدر نحدّد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة لدالة كثيرة الحدود.

بالنسبة لعدد جذور معادلة كثيرة الحدود، ففيه علاقة بتربط ما بينها وما بين درجة معادلة كثيرة الحدود. والعلاقة دي بتوصفها نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر. والنتيجة دي بتوضّح إن معادلة كثيرة الحدود اللي من الدرجة ن، بيكون ليها العدد ن بس من الجذور المركبة، بما فيها كمان الجذور المكرّرة. فمثلًا كثيرة الحدود س تكعيب زائد اتنين س تربيع زائد ستة. دي عبارة عن كثيرة حدود من الدرجة التالتة. وبالتالي هيبقى ليها تلات جذور. وكمان كثيرة الحدود أربعة س أُس أربعة ناقص تلاتة س تكعيب زائد خمسة س ناقص ستة. دي عبارة عن كثيرة حدود من الدرجة الرابعة. وبالتالي هيبقى ليها أربع جذور. وكمان كثيرة الحدود سالب اتنين س أُس خمسة ناقص تلاتة س تربيع زائد تمنية. دي عبارة عن كثيرة حدود من الدرجة الخامسة. وبالتالي هيبقى ليها خمس جذور.

وبكده بالمثل لو دالة كثيرة الحدود من الدرجة ن، هيكون ليها العدد ن من الأصفار المركبة. بكده إحنا عرفنا نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر، نحدد بيها عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود. بعد كده عندنا إن العالم الفرنسي ديكارت اكتشف علاقة بين إشارات معاملات دالة كثيرة الحدود وعدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة. وبقى عندنا قانون ديكارت للإشارات. هنشوفه في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة.

بالنسبة لقانون ديكارت للإشارات، فلو عندنا الدالة د س اللي بتساوي أ ن في س أُس ن زائد نقط زائد أ واحد في س زائد أ صفر. عبارة عن دالة كثيرة حدود، معاملات حدودها أعداد حقيقية. فهيبقى عدد الأصفار الحقيقية الموجبة للدالة د س، بيساوي عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات حدود الدالة د س. أو ممكن يكون أقل منه بعدد زوجي. وبالنسبة لعدد الأصفار الحقيقية السالبة للدالة د س، فده هيساوي عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات حدود الدالة د سالب س. أو ممكن يكون أقل منه بعدد زوجي. وهو ده قانون ديكارت للإشارات.

نقدر من خلال نتيجة النظرية الأساسية في الجبر، وقانون ديكارت للإشارات، إن إحنا نوجد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة، وكمان الأصفار التخيلية لدالة كثيرة الحدود. ده هنشوفه من خلال مثال في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا عايزين نذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية للدالة د س، اللي بتساوي: س أُس ستة، زائد تلاتة س أُس خمسة، ناقص أربعة س أُس أربعة، ناقص ستة س تكعيب، زائد س تربيع، ناقص تمنية س، زائد خمسة. بالنسبة للدالة د س هنلاقي إن درجتها هي ستة. وبالتالي تبعًا لنتيجة النظرية الأساسية في الجبر، فالدالة دي هيكون ليها ست أصفار ممكن يكونوا أصفار حقيقية أو تخيلية أو الاتنين. وبعد ما حدّدنا عدد الأصفار بتاعة الدالة، هنستخدم قانون ديكارت للإشارات علشان نحدد العدد الممكن للأصفار الحقيقية ونوعها.

فهنبدأ أول حاجة إن إحنا نحسب عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات الدالة د س. بالنسبة لإشارة معامل س أُس ستة فهي موجبة. وإشارة معامل س أُس خمسة فهي برضو موجبة. معنى كده ما فيش تغيُّر في الإشارة.

بعد كده عندنا إن إشارة معامل س أُس خمسة موجبة. وإشارة معامل س أُس أربعة سالبة. وبالتالي حصل هنا تغيُّر في الإشارة.

بعد كده بالنسبة لإشارة معامل س أُس أربعة فهي سالبة. وكمان إشارة معامل س أُس تلاتة فهي برضو سالبة. معنى كده إن ما فيش تغير في الإشارة.

بعد كده عندنا إن إشارة معامل س أُس تلاتة سالبة. وإشارة معامل س أُس اتنين موجبة. معنى كده إن حصل تغيُّر في الإشارة.

بعد كده عندنا إن إشارة معامل س أُس اتنين موجبة. وإشارة معامل س سالبة. وبالتالي حصل هنا عندنا تغيُّر في الإشارة.

بعد كده عندنا إن إشارة معامل س سالبة. وإشارة العدد الثابت موجبة. يعني حصل تغيُّر في الإشارة.

بكده بعد ما بحثنا التغير بتاع إشارة معاملات الدالة د س، لقينا إن فيه أربع تغييرات في إشارة المعاملات. وبالتالي هيبقى عدد الأصفار الحقيقية الموجبة هيبقى أربعة أو اتنين أو صفر. بعد كده هنحسب عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات الدالة د سالب س. بالنسبة للدالة د سالب س، فهي هتساوي: سالب س الكل أُس ستة، زائد تلاتة في سالب س الكل أُس خمسة، ناقص أربعة في سالب س الكل أُس أربعة، ناقص ستة في سالب س الكل أُس تلاتة، زائد سالب س الكل تربيع، ناقص تمنية في سالب س، زائد خمسة. واللي هي هتساوي: س أُس ستة، ناقص تلاتة س أس خمسة، ناقص أربعة س أُس أربعة، زائد ستة س تكعيب، زائد س تربيع، زائد تمنية س، زائد خمسة.

بعد كده هنبحث تغيُّر إشارة معاملات الدالة د سالب س زي ما هيظهر لنا. بعد ما هنبحث تغير إشارة معاملات الدالة د سالب س، هنلاقي إن إحنا عندنا فيه تغييرين في إشارة المعاملات. وبالتالي هيبقى عدد الأصفار الحقيقية السالبة هيبقى اتنين أو صفر.

هنكمّل المثال في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة.

كنا وصلنا إن الدالة د س ليها ست أصفار. وإن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة ممكن يكون أربعة أو اتنين أو صفر. وإن عدد الأصفار الحقيقية السالبة ممكن يكون اتنين أو صفر. بعد كده هنعمل جدول بيبيّن عدد الجذور الحقيقية والتخيلية الممكنة.

هيظهر لنا الجدول. بالنسبة للجدول اللي عندنا هيكون في العمود الأول عدد الأصفار الحقيقية الموجبة. وفي العمود التاني عدد الأصفار الحقيقية السالبة. وفي العمود التالت عدد الأصفار التخيلية، واللي هيساوي عدد الأصفار الكلي واللي هو ستة ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.

فبالنسبة لعدد الأصفار الحقيقية الموجبة، فهو ممكن يكون أربعة أو اتنين أو صفر. أما بالنسبة للأصفار الحقيقية السالبة، فعددها ممكن يكون اتنين أو صفر.

أما بالنسبة لعدد الأصفار التخيلية فهو هيساوي ستة ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية. يعني لمّا يبقى عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أربعة، وعدد الأصفار الحقيقية السالبة اتنين. فيبقى عدد الأصفار التخيلية بيساوي ستة ناقص، أربعة زائد اتنين. يعني عدد الأصفار التخيلية هيساوي صفر.

أما لو كان عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أربعة وعدد الأصفار الحقيقية السالبة صفر. فيبقى عدد الأصفار التخيلية بيساوي ستة ناقص، أربعة زائد صفر. وبالتالي عدد الأصفار التخيلية بيساوي اتنين.

وبنفس الطريقة نقدر نكمّل الجدول، ونجيب عدد الأصفار التخيلية في كل حالة. وبكده بعد ما كمّلنا الجدول، قدرنا نجيب العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية للدالة د س.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزّاي نقدر نحدّد عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود، من خلال النتيجة بتاعة النظرية الأساسية في الجبر. واللي وضحت إن معادلة كثيرة الحدود من الدرجة ن بيكون ليها العدد ن بس من الجذور المركبة، بما فيها كمان الجذور المتكررة. بعد كده عرفنا قانون ديكارت للإشارات، واللي من خلاله نقدر نحدد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أو السالبة لدالة معينة. وده بيكون من خلال بحث إشارة معاملات الدالة دي. فمثلًا لو عندنا الدالة د س عبارة عن دالة كثيرة حدود، معاملات حدودها أعداد حقيقية. بيكون عدد الأصفار الحقيقية الموجبة ليها، بيساوي عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات حدود الدالة د س. أو بيكون أقل منه بعدد زوجي. وبالنسبة لعدد الأصفار الحقيقية السالبة ليها فهو بيساوي عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات حدود الدالة د سالب س. أو بيكون أقل منه بعدد زوجي.

بعد كده عرفنا من خلال مثال، إزّاي نقدر نستخدم النتيجة بتاعة النظرية الأساسية في الجبر، وقانون ديكارت للإشارات؛ بإن إحنا نوجد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة والأصفار التخيلية لدالة كثيرة حدود.