فيديو السؤال: إيجاد مجموعة أصفار دالة كثيرة الحدود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ يساوي سالب تسعة ﺱ أس أربعة زائد ٢٢٥ﺱ تربيع.

في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩﺱ، ومطلوب منا تحديد مجموعة أصفار هذه الدالة. يمكننا البدء بتذكر أن مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ هي مجموعة كل قيم ﺱ، حيث قيمة ﺩ عند ﺱ تساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا تحديد مجموعة أصفار الدالة المعطاة عن طريق حل المعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا. هذا يعطينا المعادلة سالب تسعة ﺱ أس أربعة زائد ٢٢٥ﺱ تربيع يساوي صفرًا.

توجد بعض الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لحل هذه المعادلة. تكمن إحدى تلك الطرق في ملاحظة أن الحد الأول والحد الثاني في الطرف الأيمن من المعادلة بينهما عامل مشترك هو ﺱ تربيع. إذا أخذنا العامل المشترك ﺱ تربيع، نحصل على المعادلة ﺱ تربيع مضروبًا في سالب تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٢٥ يساوي صفرًا.

الآن أصبح لدينا حاصل ضرب يساوي صفرًا. ولكي يساوي حاصل ضرب عددين صفرًا، يجب أن يساوي أحد العاملين صفرًا. وبذلك، إما ﺱ تربيع يساوي صفرًا أو سالب تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٢٥ يساوي صفرًا. ويمكننا حل كل من هاتين المعادلتين على حدة. إذا كان ﺱ تربيع يساوي صفرًا، فإننا نعلم أن ﺱ نفسه يجب أن يساوي صفرًا. وتوجد العديد من الطرق المختلفة لمعرفة ذلك. على سبيل المثال، يمكننا رسم منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع وسنلاحظ أن الجزء الوحيد المقطوع من المحور ﺱ يقع عند صفر. أو يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. ونحصل عادة على جذر تربيعي موجب وسالب. لكن الجذر التربيعي لصفر يساوي صفرًا. إذن، يصبح الجذر الوحيد هو ﺱ يساوي صفرًا.

لنبدأ الآن في حل العامل الثاني الذي يساوي صفرًا أيضًا. توجد عدة طرق يمكننا من خلالها فعل ذلك. بما أن معامل ﺱ تربيع سالب، دعونا نضرب كلا طرفي المعادلة في سالب واحد. وهذا يعطينا المعادلة تسعة ﺱ تربيع ناقص ٢٢٥ يساوي صفرًا. توجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لحل هذه المعادلة. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن هذه المعادلة على صورة فرق بين مربعين. وهذا سيسمح لنا بتحليل المعادلة وإيجاد قيمة ﺱ. لكن من الأسهل حل هذه المعادلة مباشرة.

سنبدأ بإضافة ٢٢٥ إلى كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا تسعة ﺱ تربيع يساوي ٢٢٥. بعد ذلك، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على تسعة. وهذا يعطينا ﺱ تربيع يساوي ٢٢٥ مقسومًا على تسعة. وأخيرًا، علينا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. تذكر أننا سنحصل على حل موجب وحل سالب. وبذلك، نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ٢٢٥ مقسومًا على تسعة.

أخيرًا، يمكننا تبسيط هذه المعادلة باستخدام قوانين الأسس. لعلنا نتذكر أن الجذر التربيعي لـ ﺃ مقسومًا على ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺏ. وهذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر ٢٢٥ مقسومًا على جذر تسعة. يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار. الجذر التربيعي لـ ٢٢٥ هو ١٥، والجذر التربيعي لتسعة هو ثلاثة. ومن ثم، نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب ١٥ مقسومًا على ثلاثة. ويمكننا حذف العامل المشترك ثلاثة في بسط هذا المقدار ومقامه؛ لنحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب خمسة. وهذا يعني أننا أوجدنا جميع أصفار الدالة. ‏ﺱ يساوي إما سالب خمسة أو صفر أو خمسة.

لكن تذكر أن المطلوب منا في السؤال هو كتابة هذه القيم في صورة مجموعة الأصفار. إذن علينا كتابة هذه العناصر الثلاثة في صورة مجموعة. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ يساوي سالب تسعة ﺱ أس أربعة زائد ٢٢٥ﺱ تربيع هي المجموعة التي تحتوي على سالب خمسة وصفر وخمسة.