فيديو: إثبات عدم صحة مبرهنة فيرما الأخيرة

في هذا الفيديو، سنعلم كيف أن هومر سمبسون أثبت ظاهريًا خطأ مبرهنة فيرما الأخيرة بمثال معاكس بارع.

١٢:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية نطق اسم هذا الرجل، وسنتحدث عن مبرهنته الأخيرة، وكيف أثبت هومر سمبسون بمثال معاكس أنها، في واقع الأمر، خاطئة.

لكن قبل كل هذا، دعونا نتأمل مبرهنة فيثاغورس أو نظرية فيثاغورس، وهو الاسم الذي يشار إليها به في الغالب. في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع أطول ضلع مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين. لذا، في هذا الشكل، إذا كان 𝑎 هو طول هذا الضلع، و𝑏 هو طول هذا الضلع، و𝑐 هو طول هذا الضلع، فإن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع. هناك الكثير من البراهين على صحة هذا، حتى إن أحد الرؤساء الأمريكيين، وهو جيمس جارفيلد، كتب برهانًا أنيقًا في سبعينيات القرن التاسع عشر.

والآن سنركز على بعض الحالات الخاصة لنظرية فيثاغورس والتي يكون فيها 𝑎 و𝑏 و𝑐 أعدادًا صحيحة، ويمكننا تسميتها بثلاثيات فيثاغورس.

على سبيل المثال، إذا كان الضلع 𝑎 يساوي ثلاث وحدات، و𝑏 يساوي أربع وحدات، و𝑐 يساوي خمس وحدات، فإن ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وأربعة تربيع يساوي 16، وخمسة تربيع يساوي 25؛ وبالفعل تسعة زائد 16 يساوي 25. لذا، فإن ثلاثة وأربعة وخمسة كلها أعداد صحيحة، وتكون إحدى ثلاثيات فيثاغورس. وفي الواقع، هناك عدد لا نهائي من ثلاثيات فيثاغورس، بل إن هناك طريقة بسيطة لإنتاجها.

سنبدأ بزوج من الأعداد الصحيحة، 𝑚 و𝑛، حيث 𝑚 أكبر من 𝑛، و𝑛 أكبر من الصفر. ثم سنجعل 𝑎 يساوي 𝑚 تربيع ناقص 𝑛 تربيع، و𝑏 يساوي اثنين في 𝑚 في 𝑛، و𝑐 يساوي 𝑚 تربيع زائد 𝑛 تربيع. عندئذ سيكون 𝑎 و𝑏 و𝑐 إحدى ثلاثيات فيثاغورس. لذا، إذا قلنا مثلًا إن 𝑚 يساوي 10 و𝑛 يساوي ثلاثة، فإن 𝑎 سيساوي 10 تربيع ناقص ثلاثة تربيع؛ أي، 100 ناقص تسعة وهو ما يساوي 91، و𝑏 سيساوي اثنين في 10 في ثلاثة وهو ما يساوي 60، و𝑐 سيساوي 10 تربيع زائد ثلاثة تربيع وهو ما يساوي 109. وإذا تحققنا من مدى صحة أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع، فسنجد أن 91 تربيع زائد 60 تربيع يساوي 109 تربيع. إذن، هذا الأمر صحيح.

لكن لا شيء جديد هنا. إننا نعرف نظرية فيثاغورس وثلاثيات فيثاغورس منذ زمن طويل جدًا. وفي الواقع، في ثلاثينيات القرن السابع عشر، كان بيير دي فيرما يقرأ عنهما في نسخته من كتاب "أرثميتيكا" الذي كتبه ديوفانتوس الإسكندري في القرن الثالث الميلادي. إلى هنا، نكون قد حققنا أول أهدافنا من هذا الفيديو. كثير من الناس ينطقون اسمه "فيرمات" لكن اسمه الحقيقي هو "بيير دي فيرما".

دفع هذا فيرما للتفكير فيما إذا كان يمكنه العثور على أعداد صحيحة مماثلة كحلول لمعادلات مثل 𝑎 تكعيب زائد 𝑏 تكعيب يساوي 𝑐 تكعيب، أو 𝑎 أس أربعة زائد 𝑏 أس أربعة يساوي 𝑐 أس أربعة. لكن بعد الكثير من المحاولات، لم يجد سوى حلول بديهية حيث واحد أو أكثر من المعطيات 𝑎 و𝑏 و𝑐 يساوي صفرًا. على سبيل المثال، 𝑎 يساوي صفرًا و𝑏 يساوي خمسة و𝑐 يساوي خمسة. ثم دون فيرما الاستنتاج التالي في هامش نسخته من "أرثميتيكا"، وإن كان قد كتبه باللاتينية: "من المستحيل أن نقسم تكعيبًا إلى تكعيبين، أو أس أربعة إلى أسي أربعة، أو – بوجه عام – أي أس أكبر من اثنين إلى أسين من نوعه." وبعبارة أخرى، لا توجد أي حلول بأعداد صحيحة لـ 𝑎 أس 𝑛 زائد 𝑏 أس 𝑛 يساوي 𝑐 أس 𝑛، في حال كان 𝑛 أكبر من اثنين.

ثم أضاف فيرما: "لقد اكتشفت برهانًا رائعًا حقًا على هذا لكن لا يتسع له هذا الهامش." أثار هذا التعليق اهتمام علماء الرياضيات وحيرتهم لقرون. حاول الكثيرون التوصل إلى هذا البرهان وفشلوا. واستمر هذا حتى أكتوبر عام 1994 حين تقدم أندرو وايلز ببرهان فعلي؛ أي، بعد مرور 358 عامًا على استنتاج فيرما. وعلى الرغم من أن برهان أندرو وايلز كان رائعًا حقًا، فإنه لم يكن البرهان الذي كان يعنيه فيرما. فهو يشير لعدة أمور رياضية لم تكن معروفة في زمن فيرما. لذا، ربما كان التحدي لا يزال قائمًا أمامنا للعثور على برهان فيرما الأصلي.

باختصار، لقد ثبت بالفعل أنه لا توجد حلول بأعداد صحيحة لـ 𝑎 أس 𝑛 زائد 𝑏 أس 𝑛 يساوي 𝑐 أس 𝑛، في حال كان 𝑛 أكبر من اثنين.

وفي عام 1998، في حلقة من مسلسل الكرتون "عائلة سمبسون" بعنوان "ساحر إيفرجرين تيريس"، كتب هومر سمبسون على سبورته: 3987 أس 12 زائد 4365 أس 12 يساوي 4472 أس 12. جرب هذا على آلتك الحاسبة. اكتب 3987 أس 12 زائد 4365 أس 12 ثم أوجد الجذر الثاني عشر للإجابة، وما لم تكن آلتك الحاسبة متطورة للغاية، فالإجابة على الأرجح هي 4472. لقد نجح الأمر إذن! نجح هومر في إثبات خطأ مبرهنة فيرما الأخيرة بإيجاده مثالًا على العكس.

في الحقيقة، إن الفارق بين إثبات صحة أمر ما وإثبات خطئه قد يكون فارقًا ضخمًا. فلكي تثبت أن أمرًا ما صحيح، فعليك إثبات صحته في كل الحالات الممكنة. لكن لكي تثبت خطأه، فكل ما عليك هو الإتيان بمثال واحد على العكس. لذا، بهذا المثال المعاكس، يبدو أن هومر سمبسون أثبت خطأ مبرهنة فيرما الأخيرة وقلب برهان أندرو وايلز رأسًا على عقب؛ أم تراه لم يفعل ذلك حقًا؟ حسنًا، تكمن المشكلة هنا في أن معظم الآلات الحاسبة تحتوي على عدد محدد من الأرقام المعنوية، وعادة ما يكون 10.

لذا، على سبيل المثال، فالعدد 3987 أس 12 ستخزنه الآلة الحاسبة في صورة 1.613447461 في 10 أس 43. هذا يساوي 1613447461 ويليه 34 صفرًا. لقد أغفلت الآلة الحاسبة كثيرًا من الأرقام، وخزنت إجابة ليست دقيقة تمامًا. والإجابة الصحيحة هي هذه، ويمكنك ملاحظة أن هناك فارقًا كبيرًا فيما يخص هذه الأرقام. والإجابة الدقيقة للجذر الثاني عشر لـ 3987 أس 12 زائد 4365 أس 12 هي هذا العدد. لكن لأن الآلة الحاسبة لا تظهر سوى 10 أعداد معنوية فقط، فإنك تظن أن الإجابة هي هذا العدد، وهو يساوي 4472.

ولكن إذا قمنا بالعملية الحسابية بدقة، فسنحصل على هذه القيمة للطرف الأيسر وهذه القيمة للطرف الأيمن. والفارق بينهما يزيد عن ديكليون واحد. لكن آلتك الحاسبة أغفلت الفارق لأنها ركزت فقط على هذه الأرقام المعنوية العشرة، وجميع هذه الأرقام متماثلة تمامًا. وما يعجبني خاصة في هذا المثال هو أنك حتى إذا نظرت إلى الرقمين الأخيرين، فستجدهما متماثلين.

لذا، على سبيل المثال، إذا اكتشفت أن قيود الأرقام المعنوية لآلتك الحاسبة تمنعك من الوصول إلى إجابة دقيقة، فيمكنك على الأقل مراجعة قيمة آخر رقم في العدد الناتج. وإذا لم يكن هو نفس الرقم في الطرفين الأيسر والأيمن، فستدرك حينها أن الإجابة غير صحيحة.

لنر ماذا ستكون قيمة الرقم الأخير في هذه العملية الحسابية. حسنًا، آخر رقم سيأتي من ضرب الرقم سبعة في نفسه 12 مرة. سبعة في سبعة يساوي 49، إذن آخر رقم في هذا العدد هو تسعة. وتسعة في سبعة يساوي 63 وآخر رقم هنا هو ثلاثة. وثلاثة في سبعة يساوي 21 وآخر رقم هنا هو واحد. واحد في سبعة يساوي سبعة، وواضح أن آخر رقم هنا هو سبعة. ثم نعود إلى سبعة في سبعة والذي يساوي 49 وآخر رقم فيه هو تسعة. وتسعة في سبعة يساوي 63 وآخر رقم في العدد هو ثلاثة. وآخر رقم في حاصل ضرب ثلاثة في سبعة هو واحد. وآخر رقم في حاصل ضرب واحد في سبعة هو سبعة. وآخر رقم في حاصل ضرب سبعة في سبعة هو تسعة. وآخر رقم في حاصل ضرب تسعة في سبعة هو ثلاثة، وآخر رقم في حاصل ضرب ثلاثة في سبعة هو واحد.

وبالنسبة إلى العدد الآخر، فسنتوصل للرقم الأخير بضرب الرقم خمسة في نفسه 12 مرة. من الواضح الآن أن خمسة في خمسة يساوي 25 مما يجعل الرقم الأخير خمسة، وسنستمر بنفس النمط. وسينتهي هذا بالرقم خمسة. إذن آخر رقم في الطرف الأيسر هو واحد زائد خمسة، وهذا يساوي ستة. وإذا اتبعنا نفس الطريقة في الطرف الأيمن، فسنجد أيضًا أن الرقم الأخير يساوي ستة. ولو كان الرقمان مختلفين، لكنا أدركنا على الفور أن هذا المثال غير صحيح.

في الواقع، في حلقة أخرى من مسلسل "عائلة سمبسون"، قدموا هذا المثال، والذي مرة أخرى سيتحقق إذا استخدمت آلتك الحاسبة، لكن يمكنك على الفور إدراك أن ثمة مشكلة لأن ناتج رفع العدد الأول لأس 12 سينتهي برقم زوجي، في حين أن ناتج رفع العدد الثاني لأس 12 سينتهي برقم فردي، لكن الرقم الأخير من العدد الموجود في الطرف الأيمن لا بد أن يكون زوجيًا. وعندما نجمع عددًا زوجيًا على عدد فردي، يكون الناتج فرديًا. لذا فإن الطرف الأيسر سيكون الرقم الأخير به فرديًا بينما الطرف الأيمن سيكون الرقم الأخير به زوجيًا. من الواضح أن الأمر لم يكن سينجح هنا.

لذا، تلخيصًا لكل ما قلناه، فقد تحدثنا عن نظرية فيثاغورس وكيفية نطق اسم فيرما وكذلك عن مبرهنة فيرما الأخيرة. ورغم أن مثال هومر سمبسون كان ذكيًا بالفعل، فإنه لم يفلح في إثبات خطأ مبرهنة فيرما الأخيرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.