فيديو: الدوران على المستوى الإحداثي

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد رءوس شكل بعد إجراء دوران له بزاوية ‪90‬‏، أو ‪180‬‏، أو ‪270‬‏ درجة حول نقطة الأصل في اتجاه عقارب الساعة، وعكس اتجاه عقارب الساعة

١٦:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد رءوس شكل بعد إجراء دوران له بزاوية ‪90‬‏، أو ‪180‬‏، أو ‪270‬‏ درجة حول نقطة الأصل في اتجاه عقارب الساعة، وعكس اتجاه عقارب الساعة. وسوف نتعرف أيضًا على كيفية وصف الدوران.

لنبدأ بالتذكير بأن الدوران هو نوع من عمليات التحويل يدير الشكل حول نقطة أو مركز الدوران. علينا أيضًا أن نتناول بعض النقاط المهمة. ولنبدأ بالزوايا. في هذا الفيديو، سنتناول عمليات تدوير بزوايا قياسها ‪90‬‏ درجة، و‪180‬‏ درجة، و‪270‬‏ درجة. الزاوية التي قياسها ‪90‬‏ درجة هي زاوية قائمة. الزاوية التي قياسها ‪180‬‏ درجة هي الزاوية التي ستجدها على خط مستقيم. والزاوية التي قياسها ‪270‬‏ درجة ستكون بهذا الشكل. قد يكون من المفيد أيضًا أن نتذكر أن هذه الزاوية الأخرى، التي تكونت من زاوية قياسها ‪270‬‏ درجة، هي زاوية قائمة قياسها ‪90‬‏ درجة.

عند التحدث عن عمليات الدوران، من المفيد أيضًا أن نراجع الاتجاهين المختلفين اللذين نستخدمهما. وهما اتجاه عقارب الساعة، وعكس اتجاه عقارب الساعة. وعكس اتجاه عقارب الساعة هو الدوران في الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة. الدوران في اتجاه عقارب الساعة سيكون في نفس اتجاه حركة عقارب الساعة. والدوران عكس اتجاه عقارب الساعة سيكون في الاتجاه المعاكس.

يعتبر مركز الدوران نقطة مهمة للغاية عند التحدث عن الدوران؛ حيث إنه يحدد الموضع الذي سيكون الشكل فيه. على سبيل المثال، إذا أخذنا هذا المستطيل وأدرناه بزاوية ‪90‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة حول مركز الدوران الذي نرمز له بالحرف ‪𝑥‬‏، فإن صورة الشكل، أي الشكل بعد تدويره، ستبدو على هذا النحو. أما إذا أدرنا هذا المستطيل بزاوية ‪90‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة، ووضعنا مركز الدوران عند أحد رءوسه؛ فستبدو الصورة هكذا. إذا كان لدينا مركز الدوران داخل المستطيل، فستبدو الصورة هكذا. ولهذا السبب، من المهم، كما سنرى لاحقًا في هذا الفيديو، ألا نصف الزاوية والاتجاه فحسب، بل أيضًا أن نذكر أين سيكون مركز الدوران.

وقبل أن نبدأ بطرح بعض الأسئلة. إليك نصيحة مفيدة إذا كنت تواجه صعوبات مع عمليات الدوران. يمكن أن يساعدنا استخدام ورق شفاف في تحديد الموضع الذي يجب أن ينتقل إليه الشكل بعد الدوران. وهناك بديل جيد إذا لم يكن لدينا ورق شفاف، وهو أن نستخدم ورق خبز أو ورق الزبدة، وهو النوع الذي نستخدمه لمنع التصاق المعجنات بصينية الفرن. نضع الورق الشفاف أو ورق الزبدة على الرسم، وننسخ الشكل بتتبعه. على سبيل المثال، إذا كنا نحتاج إلى الدوران بزاوية ‪180‬‏ درجة؛ فسنضع سن القلم الرصاص على مركز الدوران، وندير الورقة الشفافة. وحينها سنتمكن من رؤية المكان الذي سيظهر فيه الشكل بعد دورانه. والآن، لنتناول بعض الأسئلة التي تتطلب إجراء عمليات دوران.

أوجد إحداثيات صور رءوس المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ بعد دورانه بزاوية ‪180‬‏ درجة حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة.

في هذا السؤال، سنجري عملية دوران. أي إننا سندير الشكل. سندير هذا المثلث بزاوية ‪180‬‏ درجة. ومطلوب منا أن نفعل ذلك في عكس اتجاه عقارب الساعة، ولكن بالنسبة للزاوية ‪180‬‏ درجة، لا يهم إذا ما كان الاتجاه في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. مركز الدوران هنا هو نقطة الأصل. أي الإحداثيات: صفر، صفر. فلنبدأ إذن بإجراء عملية الدوران.

بدءًا بالنقطة ‪𝐴‬‏، يمكننا أن نرى أنها تقع عند إحداثي ‪𝑥‬‏ الذي يساوي سالب ثمانية، وإحداثي ‪𝑦‬‏ الذي يساوي سبعة. إذن عندما ندير هذه النقطة بزاوية ‪180‬‏ درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة، سيكون الإحداثي ‪𝑥‬‏ عند ثمانية، وسيكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ عند سالب سبعة. بعبارة أخرى، ستظل هناك حركة بمقدار ثماني وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏. كان الإحداثي ثماني وحدات إلى اليسار، أو سالب ثمانية. ثم أصبح ثماني وحدات إلى اليمين، أو موجب ثمانية. وسيظل الإحداثي ‪𝑦‬‏ على بعد سبع وحدات. كان موجب سبع وحدات، وأصبح الآن سالب سبع وحدات. يمكننا أن نرمز لصورة الرأس ‪𝐴‬‏ بالرمز ‪𝐴‬‏ شرطة.

يقع الرأس ‪𝐵‬‏ على المثلث عند سالب ثلاثة، وسبعة. إذن، عند الدوران بزاوية ‪180‬‏ درجة، ستظل له القيمة ثلاثة على الإحداثي ‪𝑥‬‏، أي موجب ثلاثة هذه المرة، بينما سيقع على مسافة سبع وحدات على المحور ‪𝑦‬‏، أي عند سالب سبعة هذه المرة. ويمكننا أن نرمز لهذا الرأس الجديد بالرمز ‪𝐵‬‏ شرطة. وللتحقق من ذلك، يمكننا ملاحظة أن الخط الذي يصل بين ‪𝐴‬‏ شرطة و‪𝐵‬‏ شرطة هو أيضًا أفقي مثل الخط الذي يصل بين الرأسين ‪𝐴𝐵‬‏. هذا لأن الخط الأفقي الذي تم تدويره بزاوية ‪180‬‏ درجة ينتج عنه خط أفقي آخر أيضًا. الرأس الأخير، ‪𝐶‬‏، يقع عند سالب أربعة، وثلاثة. إذن، ستكون صورته، ‪𝐶‬‏ شرطة، عند الإحداثيات: أربعة، وسالب ثلاثة. ويمكننا إكمال رسم المثلث ‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐵‬‏ شرطة ‪𝐶‬‏ شرطة.

في عملية الدوران، يظل الجسم وصورته متساويين في القياس دائمًا. ولذا، يجدر التحقق من بعض الأطوال الرئيسية لمعرفة إذا ما كانت القياسات متساوية في كل من الجسم الأصلي وصورته. يمكننا ملاحظة أن كلًا من الشكل الأصلي وصورته يتضمن خطًا أفقيًا يساوي خمس وحدات. وكلا المثلثين يبلغ ارتفاعه العمودي أربع وحدات. يطلب منا السؤال أن نكتب إحداثيات صور الرءوس. إذن، يمكننا كتابة أن ‪𝐴‬‏ شرطة يساوي: ثمانية، وسالب سبعة؛ و‪𝐵‬‏ شرطة يساوي: ثلاثة، وسالب سبعة؛ و‪𝐶‬‏ شرطة يساوي: أربعة، وسالب ثلاثة. كما يمكننا أن نلاحظ في هذا السؤال أنه عند الدوران بزاوية ‪180‬‏ درجة حول نقطة الأصل، ستدور النقطة ‪𝐴‬‏ عند الإحداثيات: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏؛ لتعطي الصورة ‪𝐴‬‏ شرطة عند الإحداثيات: سالب ‪𝑥‬‏، سالب ‪𝑦‬‏.

إذا نظرنا إلى الرأس ‪𝐴‬‏ الأصلي، عند الإحداثيات: سالب ثمانية، وسبعة؛ فسنجد أن الصورة ‪𝐴‬‏ شرطة عند الإحداثيات: ثمانية، وسالب سبعة. بالطريقة نفسها، انتقل إحداثي الرأس ‪𝐵‬‏ عند: سالب ثلاثة، وسبعة؛ ليصبح ‪𝐵‬‏ شرطة عند: ثلاثة، وسالب سبعة. وانتقل إحداثي الرأس ‪𝐶‬‏ عند: سالب أربعة، وثلاثة؛ ليصبح ‪𝐶‬‏ شرطة عند: أربعة، وسالب ثلاثة. بعد إجراء عملية دوران بزاوية ‪180‬‏ درجة حول نقطة الأصل، إذا كانت قيمة ‪𝑥‬‏ موجبة فإنها تصبح سالبة، وإذا كانت سالبة فإنها تصبح موجبة. وينطبق الأمر نفسه على قيمة ‪𝑦‬‏. ويمكن لهذه الحقيقة أن تكون مفيدة للتحقق من الإجابة عند إجراء هذا النوع من عمليات الدوران. يمكننا هنا سرد الإحداثيات النهائية للإجابة.

في السؤال الأخير، عرفنا كيف أن الدوران بزاوية ‪180‬‏ درجة يغير النقطة ‪𝐴‬‏ عند الإحداثيات: ‪𝑥‬‏، و‪𝑦‬‏؛ إلى النقطة ‪𝐴‬‏ شرطة عند الإحداثيات: سالب ‪𝑥‬‏، وسالب ‪𝑦‬‏. قد نتساءل عما إذا كانت هناك قواعد مماثلة للدوران بزوايا أخرى. والإجابة هي: نعم. عند الدوران في اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪90‬‏ درجة حول نقطة الأصل، فإن النقطة ‪𝐴‬‏ عند الإحداثيات: ‪𝑥‬‏، و‪𝑦‬‏، ستكون صورتها ‪𝐴‬‏ شرطة؛ حيث يكون إحداثي ‪𝑥‬‏ هو قيمة ‪𝑦‬‏ الأصلية، وإحداثي ‪𝑦‬‏ هو سالب قيمة ‪𝑥‬‏ الأصلية. يمكننا أيضًا تطبيق هذه القاعدة على الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪270‬‏ درجة.

وهناك أيضًا قاعدة أخرى للدوران في اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪270‬‏ درجة. النقطة ‪𝐴‬‏ عند الإحداثيات: ‪𝑥‬‏، و‪𝑦‬‏، ستصبح النقطة ‪𝐴‬‏ شرطة؛ حيث يكون الإحداثي ‪𝑥‬‏ هو سالب قيمة ‪𝑦‬‏ الأصلية، والإحداثي ‪𝑦‬‏ هو قيمة ‪𝑥‬‏ الأصلية. يمكن أيضًا تطبيق هذه القاعدة على الدوران بزاوية ‪90‬‏ درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة. قد يكون من المفيد تدوين هذه القواعد لأنها ستساعدنا أثناء الحل. لكن علينا الانتباه إلى أن قواعد الدوران هذه لا تنطبق إلا عندما يكون الدوران حول نقطة الأصل.

في السؤال السابق، رأينا أيضًا نقطة أساسية أخرى تتعلق بعمليات الدوران. وهي أنه عند الدوران يكون للجسم وصورته الشكل والقياس نفساهما. بعبارة أخرى، يكونان متطابقين. والآن لنلق نظرة على مسألة دوران أخرى.

أوجد إحداثيات صور رءوس المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ بعد الدوران بزاوية ‪270‬‏ درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل.

في هذه المسألة، لدينا عملية دوران، والتي تعني أن الشكل سيقلب. والنقطة التي سيقلب عندها، أو مركز الدوران، هي نقطة الأصل. أي الإحداثيات: صفر، صفر. زاوية الدوران ‪270‬‏ درجة، واتجاهه عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن، الزاوية التي قياسها ‪270‬‏ درجة ستكون بهذا الشكل، وسيصبح الاتجاه هكذا؛ عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا سيكون مكافئًا أيضًا للدوران في اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪90‬‏ درجة. ومن ثم، فإن الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪270‬‏ درجة سينقل المثلث إلى هذا الربع.

لنبدأ بالنظر إلى النقطة ‪𝐴‬‏، وتحديد المسافة التي تبعدها عن مركز الدوران. إنها سالب سبع وحدات على المحور ‪𝑥‬‏، وسالب ثلاث وحدات على المحور ‪𝑦‬‏. إذا اعتبرنا أن هذا دوران في اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪90‬‏ درجة، فستظل تلك النقطة تبعد عن نقطة الأصل بمقدار سبع وحدات، لكن هذه المرة على المحور ‪𝑦‬‏؛ وثلاث وحدات، أو سالب ثلاث وحدات هذه المرة، على المحور ‪𝑥‬‏. يمكننا أن نرمز لهذه النقطة الجديدة في الصورة بالرمز ‪𝐴‬‏ شرطة. تقع النقطة ‪𝐵‬‏ عند سالب ثلاثة على المحور ‪𝑥‬‏، وسالب أربعة على المحور ‪𝑦‬‏. وبعد إجراء عملية الدوران، ستقع النقطة عند ثلاث وحدات على المحور ‪𝑦‬‏، وسالب أربع على المحور ‪𝑥‬‏. يمكننا أن نرمز لهذه النقطة بالرمز ‪𝐵‬‏ شرطة، ونرسم الخط الواصل بين ‪𝐴‬‏ شرطة و ‪𝐵‬‏ شرطة.

بالنسبة للنقطة الأخيرة، ‪𝐶‬‏، نلاحظ أنها موجودة عند الإحداثيات: سالب ستة، وسالب خمسة. إذن، سيكون الدوران عند ست وحدات على المحور ‪𝑦‬‏، وسالب خمس على المحور ‪𝑥‬‏. بمجرد أن نرسم الخطوط التي تصل بين الرءوس، يجدر بنا دائمًا التأكد من أن أبعاد كل من الشكل الأصلي وصورته لها القياس نفسه. على سبيل المثال؛ الخط ‪𝐴𝐶‬‏ يساوي وحدتين رأسيًا، ووحدة واحدة أفقيًا. والخط ‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐶‬‏ شرطة يساوي أيضًا وحدتين رأسيًا، ووحدة واحدة أفقيًا. يمكننا أيضًا مقارنة الخطين ‪𝐵𝐶‬‏ و‪𝐵‬‏ شرطة ‪𝐶‬‏ شرطة من خلال ملاحظة أن كلًا منهما يساوي ثلاث وحدات رأسيًا، ووحدة واحدة أفقيًا.

عند الإجابة عن هذا السؤال، كان بإمكاننا أيضًا استخدام القاعدة التي تنص على أن الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية ‪270‬‏ درجة حول نقطة الأصل يعني أن النقطة ‪𝐴‬‏ التي إحداثياها: ‪𝑥‬‏، و‪𝑦‬‏؛ سيكون لها الصورة ‪𝐴‬‏ شرطة عند الإحداثيات: ‪𝑦‬‏، وسالب ‪𝑥‬‏. إذن، إذا أخذنا الرأس ‪𝐴‬‏ عند الإحداثيات: سالب سبعة، وسالب ثلاثة؛ لإيجاد إحداثيات الصورة ‪𝐴‬‏ شرطة، فإن الإحداثي ‪𝑥‬‏ سيكون هو نفسه الإحداثي ‪𝑦‬‏ الأصلي، ولإيجاد الإحداثي ‪𝑦‬‏، سيكون هو نفسه الإحداثي ‪𝑥‬‏ الأصلي، ولكن مع تغيير الإشارة. إذن، ‪𝐴‬‏ شرطة يساوي: سالب ثلاثة، وسبعة. ويمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن هذين هما فعلًا إحداثيات الرأس ‪𝐴‬‏ شرطة.

وبالطريقة نفسها، فإن الرأس ‪𝐵‬‏ عند الإحداثيات: سالب ثلاثة، وسالب أربعة؛ يصبح الرأس ‪𝐵‬‏ شرطة، حيث يكون الإحداثي ‪𝑥‬‏ هو الإحداثي ‪𝑦‬‏ الأصلي، وتكون قيمة ‪𝑦‬‏ هي سالب قيمة ‪𝑥‬‏ الأصلية. وجدنا بالفعل أن ‪𝐵‬‏ شرطة تقع عند: سالب أربعة، وثلاثة. ويمكننا أيضًا أن نلاحظ من خلال هذه القاعدة، وكذلك التمثيل البياني، أن ‪𝐶‬‏ شرطة تقع عند: سالب خمسة، وستة. يمكننا بعد ذلك أن نسرد إحداثيات صور لرءوس ‪𝐴‬‏ شرطة، و‪𝐵‬‏ شرطة، و‪𝐶‬‏ شرطة.

في الأسئلة الثلاثة الأولى، طلب منا إجراء عمليات دوران. والآن، سنتناول الحالة التي نعطى فيها تمثيلًا بيانيًا لعملية دوران، ويكون علينا وصفها. عند وصف الدوران، فإن الزاوية التي تجرى بها عملية الدوران هي من أول الأمور التي علينا التفكير فيها. وعلينا أيضًا وصف اتجاه الدوران. قد نلاحظ في التمثيل البياني أن هناك زاوية دوران قياسها ‪90‬‏ درجة، ولكن علينا أن نذكر أيضًا أن الدوران في اتجاه عقارب الساعة. إذن سيكون لدينا دوران بزاوية ‪90‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة هنا. كان بإمكاننا أيضًا وصف ذلك بأنه دوران بزاوية ‪270‬‏ درجة عكس اتجاه عقارب الساعة.

لكن ثمة معلومة أخيرة علينا ذكرها أيضًا عند وصف الدوران. وهي تحديد مركز الدوران. في هذا المثال، سيكون مركز الدوران هنا عند نقطة الأصل: صفر، صفر. وبالنظر إلى جميع هذه المعلومات معًا، يمكننا وصف هذا بأنه دوران بزاوية ‪90‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. ننتقل الآن إلى سؤال عن وصف دوران نقطة.

رسم مثلث على مستوى إحداثي، فكان رأسه عند النقطة: ستة، صفر. أي من عمليات الدوران التالية تنقل رأس المثلث إلى النقطة: صفر، ستة؟ الخيار (أ) ‪90‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. الخيار (ب) ‪90‬‏ درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. أم الخيار (ج) ‪180‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة، أو عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل.

يمكننا أن نبدأ حل هذا السؤال برسم موضع الرأس الأصلي. ذكر في معطيات السؤال أن هذا الرأس يقع عند النقطة: ستة، صفر. لنرمز إلى هذا الرأس الأصلي بالرمز ‪𝐴‬‏. وصورة هذا الرأس بعد تدويره تقع عند النقطة: صفر، ستة. لنرمز إليها بالرمز ‪𝐴‬‏ شرطة. كيف يمكننا إذن وصف الدوران من الرأس ‪𝐴‬‏ إلى الصورة ‪𝐴‬‏ شرطة؟ يمكننا أن نتذكر أنه لوصف الدوران علينا أن نذكر ثلاثة أمور؛ وهي: زاوية الدوران، واتجاهه، ومركزه. إذا كنا بصدد رسم زاوية بين النقطتين ‪𝐴‬‏ و‪𝐴‬‏ شرطة، فسنلاحظ أن هناك زاوية قائمة قياسها ‪90‬‏ درجة بينهما.

فيما يتعلق بالاتجاه، سيكون الاتجاه في الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة، الذي يسمى عكس اتجاه عقارب الساعة، وهو الاتجاه الذي نراه هنا. مركز الدوران هو نقطة الأصل، أو الإحداثيات: صفر، صفر. بالنظر إلى هذه المعلومات الثلاث معًا، يمكننا أن نقول إنه دوران بزاوية ‪90‬‏ درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. ولكن، هناك طريقة أخرى كان يمكننا اتباعها لإجراء هذا الدوران. وهي أنه يمكننا الانتقال من الرأس ‪𝐴‬‏ إلى الصورة ‪𝐴‬‏ شرطة عبر الدوران في الاتجاه المعاكس بزاوية ‪270‬‏ درجة.

في هذه الحالة، سيظل مركز الدوران هو نفسه، ولكننا سنصف الدوران بأنه بزاوية ‪270‬‏ درجة في اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. ولكن، من بين هذين الوصفين، يظهر واحد فقط في خيارات الإجابة. وهو خيار الإجابة (ب)، دوران بزاوية ‪90‬‏ درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل.

والآن، لنلخص النقاط الرئيسية لهذا الفيديو. تعلمنا أن الدوران هو عملية تحويل تدير الشكل حول مركز دوران. قد يكون لزاوية الدوران أي قياس. وفي هذا الفيديو، تناولنا تحديدًا عمليات الدوران بالزوايا ‪90‬‏ درجة، و‪180‬‏ درجة، و‪270‬‏ درجة. رأينا أن هناك اتجاهين يمكننا استخدامهما عند التحدث عن عمليات الدوران: في اتجاه عقارب الساعة، وعكس اتجاه عقارب الساعة. رأينا، في عملية الدوران، أن الشكل وصورته يكونان متطابقين. أي إن لهما الشكل والقياس نفسيهما. ورأينا ثلاث قواعد مختلفة عن كيفية تغير إحداثيات الرأس في حالة الدوران حول نقطة الأصل. وأخيرًا، رأينا أنه عند وصف عملية دوران، فإنه يتعين علينا تحديد زاوية الدوران، واتجاهه، ومركزه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.