تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل المعادلات المثلثية جبريًّا؛ بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، وباستخدام التحليل

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية حل المعادلات المثلثية جبريًّا بطريقتين: أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، وباستخدام التحليل، مع أمثلة توضيحية.

٠٩:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن حل المعادلات المثلثية جبريًّا بطريقتين؛ الطريقة الأولى: هي إننا هناخد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. والطريقة التانية: هنستخدم فيها التحليل.

حل المعادلات المثلثية معناه إن إحنا عايزين نوجد كل قيم المتغيّر اللي بتحقق المعادلة. يعني القيم اللي عندها هتكون المعادلة صحيحة.

وفي الفيديو ده هنحل المعادلات المثلثية بطريقتين. هنبدأ بالطريقة الأولى، واللي هناخد فيها الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة. فهنوضحها أكتر من خلال مثال.

فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا عايزين حل المعادلة: أربعة جا تربيع س زائد واحد يساوي أربعة.

المعادلة اللي عندنا هي أربعة جا تربيع س زائد واحد يساوي أربعة. وعلشان نحلها محتاجين نخلّي جا س في طرف من الطرفين بتوع المعادلة. وبالتالي أول حاجة هنعملها إن إحنا هنتخلّص من موجب واحد، بإن إحنا هنطرح من طرفَي المعادلة واحد. فهنلاقي المعادلة اللي عندنا بقت عبارة عن أربعة جا تربيع س يساوي تلاتة. بعد كده عايزين نتخلّص من الأربعة اللي مضروبة في جا تربيع س، فهنقسم طرفَي المعادلة على أربعة. فهيبقى عندنا جا تربيع س تساوي تلاتة على أربعة. بكده بقى عندنا في الطرف الأيمن من المعادلة جا تربيع س.

وعلشان نوصل لِـ جا س فإحنا هناخد الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة. فهنلاقي جا س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. بكده يبقى إحنا قدرنا نخلّي الدالة المثلثية اللي عندنا، واللي هي جا س، في طرف من الطرفين بتوع المعادلة.

بعد كده عايزين نوجد كل قيم المتغيّر س اللي بتحقق المعادلة؛ يعني القيم اللي عندها هتكون المعادلة اللي عندنا صحيحة. فلو اشتغلنا على الفترة من صفر لاتنين 𝜋 المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋، هنلاقي إن جا س بتساوي الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين، لمّا س تساوي 𝜋 على تلاتة، ولمّا س تساوي اتنين 𝜋 على تلاتة. وهنلاقي إن جا س بتساوي سالب الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين، لمّا س بتساوي أربعة 𝜋 على تلاتة، وَ س بتساوي خمسة 𝜋 تلاتة. وبما إن دالة الـ جا دالة دورية وطول دورتها هو اتنين 𝜋، ده معناه إن الصورة العامة لحلول المعادلة اللي عندنا في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية لما لا نهاية، هي س تساوي 𝜋 على تلاتة زائد اتنين ك 𝜋. وَ س تساوي اتنين 𝜋 على تلاتة زائد اتنين ك 𝜋. وَ س تساوي أربعة 𝜋 على تلاتة زائد اتنين ك 𝜋. وَ س تساوي خمسة 𝜋 على تلاتة زائد اتنين ك 𝜋. بحيث إن ك هتبقى عبارة عن عدد صحيح. وبكده يبقى إحنا حلينا المعادلة اللي عندنا.

هنقلب الصفحة. في المثال اللي وضحناه كنا وصلنا إن جا س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. بما إن دالة الجيب بتشير إلى الإحداثي الصادي على دايرة الوحدة، فإحنا نقدر نوجد حلول المعادلة جا س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين في الفترة من صفر إلى اتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋 من خلال دايرة الوحدة اللي هتظهر لنا. من خلال الشكل اللي عندنا هنلاقي إن الإحداثي الصادي بيساوي الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين، عند 𝜋 على تلاتة واتنين 𝜋 على تلاتة والإحداثي الصادي هيساوي سالب الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين، عند أربعة 𝜋 على تلاتة، وخمسة 𝜋 على تلاتة. معنى كده هتبقى 𝜋 على تلاتة، واتنين 𝜋 على تلاتة، وأربعة 𝜋 على تلاتة، وخمسة 𝜋 على تلاتة؛ هتبقى حلول المعادلة دي في الفترة من صفر لاتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋. أما الحلول في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية لما لا نهاية، فنقدر نوجدها من خلال إضافة عدد صحيح من الدورات الكاملة على الحلول اللي إحنا أوجدناها في الفترة من صفر لِـ اتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋.

بكده من خلال المثال ده عرفنا إزّاي نحل المعادلات المثلثية جبريًّا، من خلال أخذ الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة. وكمان عرفنا إزّاي نوجد حلول المعادلة باستخدام دايرة الوحدة.

هنقلب الصفحة. بعد كده هنشوف إزّاي نحلّ المعادلات المثلثية باستخدام التحليل. هيظهر لنا مثال. في المثال اللي عندنا فيه معادلتين وعايزين نوجد حلول كل معادلة منهم، في الفترة من صفر لاتنين 𝜋 المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋.

هنبدأ بالمعادلة أ، وهي جتا س جا س يساوي تلاتة جتا س.

المعادلة اللي عندنا هي جتا س جا س يساوي تلاتة جتا س. أول حاجة هنعملها إن إحنا هنطرح من طرفَي المعادلة تلاتة جتا س. وبالتالي هيبقى عندنا جتا س جا س ناقص تلاتة جتا س يساوي صفر. بعد كده هنلاقي إن إحنا نقدر نخرج جتا س كعامل مشترك. فهنحلل بإخراج العامل المشترك. وبالتالي هيبقى عندنا جتا س في جا س ناقص تلاتة يساوي صفر. ولمّا هنستخدم خاصية الضرب الصفري، فهيبقى عندنا يا إما جتا س تساوي صفر، أو جا س ناقص تلاتة يساوي صفر. يعني بقى عندنا معادلتين. هنوجد حلول المعادلتين دول في الفترة من صفر لاتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋. فبالنسبة لِـ جتا س فهتساوي صفر، لمّا س تساوي 𝜋 على اتنين وتلاتة 𝜋 على اتنين.

أما المعادلة التانية وهي جا س ناقص تلاتة تساوي صفر، ده معناه إن جا س تساوي تلاتة. والمعادلة جا س تساوي تلاتة ليس لها حلول؛ وده لأن أقصى قيمة لدالة الجيب هي واحد. وبالتالي هتبقى حلول المعادلة الأصلية اللي عندنا، واللي هي جتا س جا س تساوي تلاتة جتا س، على الفترة من صفر لاتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة على اتنين 𝜋؛ هي 𝜋 على اتنين وتلاتة 𝜋.

هنلاحظ إن إحنا في المثال ده ما قسمناش طرفَي المعادلة على جتا س. ولو كنا عملنا كده كنا هنستنتج إن المعادلة ليس لها حلول، في حين إن المعادلة بالفعل ليها حلين. معنى كده إن إحنا ما ينفعش نقسم المعادلة على دالة مثلثية لو كانت موجودة كعامل. لكن بنستخدم التحليل وبنخرّج الدالة دي كعامل مشترك. بكده يبقى إحنا أوجدنا حلول المعادلة أ. هنبدأ نشوف المعادلة ب.

المعادلة ب هي: جتا أُس أربعة س زائد جتا تربيع س ناقص اتنين تساوي صفر.

بالنسبة للمعادلة اللي عندنا جتا أُس أربعة س بتساوي جتا تربيع س الكل تربيع. معنى كده إن إحنا نقدر نكتب المعادلة دي على الصورة التربيعية. وبالتالي هتبقى المعادلة بتاعتنا عبارة عن جتا تربيع س الكل تربيع زائد جتا تربيع س ناقص اتنين يساوي صفر. بالنسبة للطرف الأيمن من المعادلة فإحنا هنحلله. فلمّا هنحلل الطرف الأيمن هنلاقي جتا تربيع س زائد اتنين، في جتا تربيع س ناقص واحد، يساوي صفر. بعد كده هنستخدم خاصية الضرب الصفري، فهيبقى عندنا جتا تربيع س زائد اتنين يساوي صفر. أو جتا تربيع س ناقص واحد يساوي صفر. معنى كده إحنا بقى عندنا معادلتين.

هنبدأ بالمعادلة الأولى واللي هي جتا تربيع س زائد اتنين يساوي صفر. فلمّا هنطرح من طرفَي المعادلة اتنين، هنلاقي جتا تربيع س تساوي سالب اتنين. بعد كده هناخد الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة، فهنلاقي جتا س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب اتنين. أما المعادلة التانية واللي هي جتا تربيع س ناقص واحد تساوي صفر، فإحنا هنضيف لطرفي المعادلة واحد. وبالتالي هيبقى عندنا جتا تربيع س تساوي واحد. بعد كده هناخد الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة، فهنلاقي جتا س تساوي موجب أو سالب واحد.

بالنسبة للمعادلة جتا س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب اتنين فما لهاش حلول حقيقية. أما بالنسبة للمعادلة جتا س تساوي موجب أو سالب واحد، فَـ جتا س هتساوي واحد عند س تساوي صفر. وجتا س هتساوي سالب واحد عند س تساوي 𝜋. وده خلال الفترة من صفر لاتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋. وبالتالي هتبقى حلول المعادلة جتا أُس أربعة س زائد جتا تربيع س ناقص اتنين تساوي صفر، في الفترة من صفر لِـ اتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋؛ هي صفر وَ 𝜋. وبكده يبقى إحنا أوجدنا حلول المعادلة التانية.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزّاي نحل المعادلات المثلثية جبريًّا بطريقتين. الطريقة الأولي كنا بناخد فيها الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة. والطريقة التانية استخدمنا فيها التحليل علشان نحل المعادلات.