فيديو الدرس: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى ومستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول تطبيقًا مهمًا للتكامل لإيجاد مساحة المنطقة أسفل المنحنى، والتي نعني بها المساحة المحصورة بين منحنى، والمحور ﺱ، والمستقيمين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. يعد إيجاد المساحات أسفل المنحنيات مهارة مفيدة لأنه عادة ما يكون له تطبيق عملي. على سبيل المثال، في حالة التمثيل البياني لمنحنى السرعة-الزمن، المساحة أسفل المنحنى تعطينا المسافة الكلية المقطوعة.

سنرى أيضًا كيف يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنى دالة على الصورة ﺱ يساوي ﺭﺹ والمحور ﺹ. بعد ذلك، سنوسع نطاق هذه الأساليب لإيجاد مساحات المناطق المحصورة بين منحنى وخط مستقيم يوازي المحور ﺱ أو المحور ﺹ.

من الممكن أيضًا استخدام التكامل لإيجاد حجوم المجسمات. وفي الحقيقة فإن الكثير من الصيغ التي نعرفها ونستخدمها بالفعل لإيجاد حجوم المجسمات الثلاثية الأبعاد، مثل الأشكال المخروطية والكروية، يمكن إثباتها باستخدام التكامل، لكن هذا خارج نطاق اهتمامنا في هذا الفيديو.

دعونا في البداية نتناول مثالًا بسيطًا، حيث المساحة التي نريد إيجادها محددة بخط مستقيم لا منحن. ومعادلة الخط المستقيم هي ﺹ يساوي ﺩﺱ، حيث ﺩﺱ يساوي أربعة ﺱ زائد سبعة. المنطقة التي نريد إيجاد مساحتها هي في الواقع شبه منحرف. وبالتالي، يمكننا القيام بذلك بدون استخدام التكامل. طولا الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف هذا هما قيمتا الدالة ﺩ عند ﺃ وﺏ. وهما قيمتا ﺱ اللتان تحدان هذه المنطقة. ‏‏ﺩﺃ يساوي أربعة ﺃ زائد سبعة، و ﺩﺏ يساوي أربعة ﺏ زائد سبعة. الارتفاع العمودي لشبه المنحرف يساوي الفرق بين قيمتي ﺱ اللتين تحدان هذه المنطقة. إذن فهو يساوي ﺏ ناقص ﺃ.

لإيجاد مساحة شبه المنحرف، نحسب نصف مجموع الضلعين المتوازيين، إذن أربعة ﺃ زائد سبعة زائد أربعة ﺏ زائد سبعة الكل على اثنين، ثم نضرب في الارتفاع العمودي لشبه المنحرف، وهو ﺏ ناقص ﺃ. بالتبسيط نحصل على اثنين ﺃ زائد اثنين ﺏ زائد سبعة مضروبًا في ﺏ ناقص ﺃ. بعد ذلك يمكننا فك القوسين بالتوزيع، لنحصل على اثنين ﺃﺏ ناقص اثنين ﺃ تربيع زائد اثنين ﺏ تربيع ناقص اثنين ﺃﺏ زائد سبعة ﺏ ناقص سبعة ﺃ.

الآن نلاحظ أن اثنين ﺃﺏ وسالب اثنين ﺃﺏ يلغي كل منهما الآخر، ولا يتبقى لدينا سوى سالب اثنين ﺃ تربيع زائد اثنين ﺏ تربيع زائد سبعة ﺏ ناقص سبعة ﺃ، وهو ما يمكننا إعادة كتابته ليصبح اثنين ﺏ تربيع زائد سبعة ﺏ ناقص اثنين ﺃ تربيع زائد سبعة ﺃ. ها قد تمكنا من إيجاد قيمة المساحة. لكن ما علاقة ذلك بالتكامل؟

حسنًا، نلاحظ أن المشتقة العكسية للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ثابت التكامل، إذا لزم الأمر. إذن، ما لدينا هو المشتقة العكسية للدالة ﺩﺱ عند ﺏ ناقص المشتقة العكسية عند ﺃ، وهو ما يمكن اعتباره تكاملًا محددًا. إنه يساوي التكامل من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إذن هذا يشير إلى أنه لإيجاد المساحة المحصورة بين خط مستقيم والمحور ﺱ والمحدودة بالخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، يمكننا إجراء التكامل لمعادلة الدالة بين هذين الحدين وإيجاد قيمته. رأينا أن هذه الطريقة كانت مناسبة في مثال الخط المستقيم. لكن، كيف نعرف أن هذه الطريقة ستكون مناسبة عندما يكون التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ خطًا منحنيًا؟

حسنًا، لنفترض الآن أننا نريد إيجاد هذه المساحة الجديدة المحصورة بين منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمحور ﺱ، والخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. بدلًا من أن نبدأ بمحاولة إيجاد المساحة كلها، دعونا نجرب أخذ شريحة صغيرة جدًا من هذه المساحة، عرضها 𝛥ﺱ، الرمز 𝛥ﺱ يعني تغيرًا صغيرًا جدًا في ﺱ. يمكن تقريب مساحة هذا الجزء باستخدام مستطيل عرضه 𝛥ﺱ وارتفاعه ﺩﺱ.

لإيجاد مساحة مستطيل، نضرب بعديه معًا. إذن هذه المساحة تساوي تقريبًا ﺩﺱ مضروبًا في 𝛥ﺱ. إذا قسمنا المساحة إلى عدد كبير من الشرائح، عرض كل منها 𝛥ﺱ، يمكن تقريب المساحة الكلية بإيجاد مجموع المساحات من ﺱ يساوي ﺃ إلى ﺱ يساوي ﺏ للدالة ﺩﺱ مضروبة في 𝛥ﺱ. للحصول على تقريب أدق، علينا أخذ عدد أكبر من الشرائح، بحيث يصبح عرضها أصغر فأصغر.

ولتحويل التقريب إلى إجابة دقيقة، علينا جعل هذه المستطيلات متناهية الصغر. وبذلك، فإن المساحة الدقيقة تساوي النهاية عندما تقترب 𝛥ﺱ من الصفر لهذا المجموع. إذا كنت على دراية باستخدام الرمز 𝛥ﺱ منذ أن تعلمت الاشتقاق، فستعرف أنه عندما تقترب 𝛥ﺱ من الصفر، نستخدم الرمز ﺩﺱ لتمثيل النهاية. نستخدم علامة التكامل لتمثيل المجموع اللانهائي لمساحات المستطيلات المتناهية الصغر.

وبذلك نجد أن المساحة تساوي التكامل من ﺱ يساوي ﺃ إلى ﺱ يساوي ﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. الرمز الذي نستخدمه لتمثيل التكامل هو في الواقع حرف ‪𝑆‬‏ ممدود. فهو في الأساس الحرف ‪𝑆‬‏ الذي يرمز للمجموع بالإنجليزية، وذلك لتمثيل حقيقة أننا نوجد مجموع عدد لا نهائي من الشرائح المتناهية الصغر. وبالتالي، نلاحظ أنه كما حدث في المثال الذي تضمن خطًا مستقيمًا، يمكننا إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى، والمحور ﺱ، والخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ، وﺱ يساوي ﺏ من خلال إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ﺩﺱ بين هاتين القيمتين. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة.

افترض أن ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمحور ﺱ، والمستقيمين ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي خمسة.

دعونا نبدأ برسم توضيحي للمنطقة التي نريد حساب مساحتها. إنها محصورة بين منحنى تربيعي معامله الرئيس موجب ويقطع المحور ﺹ عند ثلاثة. كما أنها محصورة بين الخطين الرأسيين ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي خمسة والمحور ﺱ. إذن، هذه هي المساحة التي نريد إيجادها.

نتذكر أن المساحة المحصورة بين المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمحور ﺱ، والخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، يمكن إيجادها عبر إيجاد قيمة التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. الحد السفلي للتكامل، أي قيمة ﺃ، هو القيمة الصغرى لـ ﺱ. أي سالب واحد. والحد العلوي، أي قيمة ﺏ، يساوي القيمة العظمى لـ ﺱ. أي خمسة. إذن، المساحة التي نريد إيجادها تساوي التكامل من سالب واحد إلى خمسة لاثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ.

نتذكر أنه لإجراء التكامل لقوى ﺱ التي لا تساوي سالب واحد، نزيد الأس بمقدار واحد ثم نقسم على الأس الجديد. إذن، تكامل اثنين ﺱ تربيع يساوي اثنين ﺱ تكعيب على ثلاثة، وتكامل ثلاثة يساوي ثلاثة ﺱ. بذلك نجد أن المساحة تساوي اثنين ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ﺱ محسوبًا بين سالب واحد وخمسة.

تذكر أننا لا نحتاج ثابت التكامل هنا، لأنه تكامل محدد. بعد ذلك، نعوض بقيمتي الحدين لنحصل على اثنين مضروب في خمسة تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة مضروب في خمسة ناقص اثنين مضروب في سالب واحد تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة مضروب في سالب واحد. هذا يساوي ٢٥٠ على ثلاثة زائد ١٥ ناقص سالب ثلثين ناقص ثلاثة. يبسط ذلك إلى ١٠٢. إذن، يمكننا القول إن مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمحور ﺱ، والخطين ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي خمسة، المحسوبة من خلال إيجاد قيمة التكامل المحدد للدالة ﺩﺱ بين الحدين سالب واحد وخمسة، تساوي ١٠٢ وحدة مربعة.

في المثال التالي، سنرى ما يحدث عندما تكون المساحة التي نحاول إيجادها واقعة أسفل المحور ﺱ.

المنحنى الموضح هو ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. ما مساحة الجزء المظلل؟ اكتب إجابة دقيقة.

نتذكر أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمستقيمين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، والمحور ﺱ، تحسب بإيجاد قيمة التكامل من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. في هذه الحالة، لدينا أن الدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. ومن التمثيل البياني، نرى أن قيمتي حدي هذا التكامل هما سالب واحد للحد السفلي وسالب ثلث للحد العلوي. إذن، لدينا تكامل محدد من سالب واحد إلى سالب ثلث لواحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

بعد ذلك نتذكر أن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل. وأهمية القيمة المطلقة واضحة للغاية هنا لأن قيمتي الحدين سالبتان. ونحن نعرف أن اللوغاريتم الطبيعي لقيمة سالبة غير معرف. لذا، علينا التأكد من وضع علامة القيمة المطلقة.

لذا، سنحسب اللوغاريتم الطبيعي لقيمة موجبة. لا نحتاج لثابت التكامل ﺙ هنا لأننا نجري تكاملًا محددًا. التعويض بقيمتي الحدين يعطينا اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لسالب ثلث ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لسالب واحد. هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لثلث ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد. عند هذه النقطة، نتذكر أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. وعليه، يمكننا تبسيط الناتج إلى اللوغاريتم الطبيعي لثلث.

قد لا يكون هذا واضحًا بما يكفي بالنسبة لك. لكن في الواقع، اللوغاريتم الطبيعي لثلث يساوي قيمة سالبة. يمكننا ملاحظة ذلك إذا تذكرنا أحد قوانين اللوغاريتمات، الذي ينص على أن لوغاريتم ﺃ على ﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ ناقص لوغاريتم ﺏ. وعليه، فإن اللوغاريتم الطبيعي لثلث يساوي اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة. ومرة أخرى نتذكر أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. إذن، يبدو أن الإجابة هي أن هذه المساحة تساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة.

لكن هذا غير منطقي لأن قيم المساحات يجب أن تكون موجبة. ما نلاحظه هو أنه عندما نستخدم التكامل لإيجاد قيمة مساحة أسفل المحور ﺱ، يكون الناتج سالبًا. لكن هذا لا يعني أن المساحة نفسها سالبة. فالإشارة السالبة توضح لنا فقط أن المنطقة تقع أسفل المحور ﺱ.

لذا كان علينا وضع علامة القيمة المطلقة حول علامة التكامل من البداية. هذا يعني أنه على الرغم من أن قيمة التكامل تساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة، فقيمة المساحة هي القيمة المطلقة لهذه القيمة. أي اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة. قيمة التكامل سالبة فقط لتوضيح أن المنطقة تقع أسفل المحور ﺱ. لكن المساحة نفسها موجبة. إذن، إجابة هذا السؤال، الإجابة الدقيقة، هي أن هذه المساحة تساوي اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة.

هناك تطبيقات مهمة لهذا الأمر في الحالات التي تكون فيها المساحة المطلوب إيجادها مقسمة إلى مناطق أعلى المحور ﺱ ومناطق أسفله. في هذه الحالة، يكون علينا تقسيم التكامل إلى أجزاء مختلفة باستخدام الخاصية الخطية للتكامل وإيجاد قيمة كل تكامل على حدة ثم جمع القيم المطلقة لها معًا. في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى معطى بالصورة ﺱ يساوي ﺭﺹ وبين المحور ﺹ.

أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى ﺱ يساوي تسعة ناقص ﺹ تربيع، والمحور ﺹ، والمستقيمين ﺹ يساوي سالب ثلاثة وﺹ يساوي ثلاثة.

نلاحظ في هذا المثال، أن المساحة المطلوب إيجادها محصورة بمنحنى معادلته ﺱ يساوي دالة ما في ﺹ. المساحة محصورة أيضًا بالمحور ﺹ لا المحور ﺱ، ومستقيمين معادلتاهما بالصورة ﺹ يساوي ثابت ما، وهما مستقيمان أفقيان لا رأسيان.

يمكننا تكرار العملية باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات لمعرفة كيف يمكننا استخدام التكامل لإيجاد هذه المساحة، بدلًا من المساحة المحصورة بين منحنى على الصورة ﺹ يساوي ﺩﺱ والمحور ﺱ. لكن في الواقع، الأمر بكل بساطة هو أننا سنقوم بتبديل ﺱ وﺹ. لكي نوجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى على الصورة ﺱ يساوي ﺭﺹ، والمحور ﺹ، والمستقيمين الأفقيين ﺹ يساوي ﻫ وﺹ يساوي ﻭ، نوجد قيمة التكامل المحدد من ﻫ إلى ﻭ للدالة ﺭﺹ بالنسبة إلى ﺹ.

في هذه الحالة، نوجد قيمة التكامل المحدد من سالب ثلاثة إلى ثلاثة لتسعة ناقص ﺹ تربيع ﺩﺹ. لاحظ أن كل شيء في هذا التكامل بدلالة ﺹ، وليس بدلالة ﺱ. لإيجاد تكامل قوى ﺹ التي لا تساوي سالب واحد، نزيد الأس بمقدار واحد ونقسم على الأس الجديد، لنحصل على تسعة ﺹ ناقص ﺹ تكعيب على ثلاثة محسوبًا بين سالب ثلاثة وثلاثة. بعد ذلك، نعوض بقيمتي الحدين، لنحصل على تسعة مضروب في ثلاثة ناقص ثلاثة تكعيب على ثلاثة ناقص تسعة مضروب في سالب ثلاثة ناقص سالب ثلاثة تكعيب على ثلاثة. هذا يساوي ٢٧ ناقص تسعة ناقص سالب ٢٧ زائد تسعة، وهو ما يساوي ٣٦.

وبذلك نجد أن المساحة المطلوبة تساوي ٣٦ وحدة مربعة. وفي هذه المسألة، رأينا أنه، لكي نوجد مساحة محصورة بين المنحنى ﺱ يساوي دالة ما في ﺹ، والمحور ﺹ، والمستقيمين الأفقيين، يمكننا إجراء تكامل محدد، حيث كل شيء بدلالة ﺹ، وليس بدلالة ﺱ. لاحظ أيضًا أنه في هذا السؤال، لم ننشغل بأن جزءًا من المساحة يقع أسفل المحور ﺱ لأننا أجرينا التكامل بالنسبة إلى ﺹ هذه المرة. والمساحة كلها تقع على الجانب نفسه من المحور ﺹ.

قد يطلب منا أيضًا في أنواع أخرى من الأسئلة إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى والمحور ﺹ. لكن معادلة المنحنى معطاة بالصورة ﺹ يساوي ﺩﺱ بدلًا من ﺱ يساوي ﺭﺹ. في هذه الحالة، سيكون علينا إعادة ترتيب المعادلة للحصول على معادلة بالصورة ﺱ يساوي ﺭﺹ. وسيكون علينا التأكد من أن كل الحدود المعطاة تم تحويلها من ﺱ إلى ﺹ إذا لزم الأمر. لكن هذا خارج نطاق هذا الفيديو لذا لن نتناوله بالتفصيل. في المثال الأخير، سنرى كيفية إيجاد مساحة منطقة محصورة بين خطوط مستقيمة ليس من بينها أي من المحورين ﺱ وﺹ.

أوجد مساحة الجزء المظلل.

دعونا أولًا نستخدم الشكل المعطى لتحديد معادلات كل من الخطوط التي تحيط بهذه المنطقة. أولًا، لدينا المنحنى ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص اثنين. كما أن لدينا الخطين الرأسيين ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي اثنين. لكن بدلًا من أن يحد المنطقة المحور ﺱ أو المحور ﺹ، فإن الخط الأخير الذي يحد هذه المنطقة هو الخط ﺹ يساوي خمسة.

إذا كنا نريد إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة التربيعية، والخطين ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي اثنين على المحور ﺱ، كان بإمكاننا إيجاد قيمة التكامل المحدد من واحد إلى اثنين لثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص اثنين بالنسبة إلى ﺱ. لكن لاحظ أن ذلك سيتضمن مساحة المستطيل الذي يقع أسفل الخط المستقيم ﺹ يساوي خمسة. لذا، لإيجاد مساحة المنطقة المظللة باللون الوردي فقط، علينا طرح مساحة هذا المستطيل من قيمة التكامل.

ليس من الصعب إيجاد مساحة هذا المستطيل. فارتفاعه الرأسي يساوي خمس وحدات وعرضه يساوي وحدة واحدة. لأن لدينا اثنين ناقص واحد. إذن، المساحة تساوي خمسة في واحد، أي خمسة. هذا يمنحنا طريقة يمكننا استخدامها. نحسب قيمة التكامل المحدد لإيجاد المساحة كلها حتى المحور ﺱ، ثم نطرح مساحة المستطيل البرتقالي. بإجراء التكامل، نحصل على ناتج يساوي ست وحدات مربعة.

لكن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. يمكن إيجاد المساحة أسفل الخط ﺹ يساوي خمسة باستخدام التكامل أيضًا. إنه يساوي التكامل من واحد إلى اثنين لخمسة بالنسبة إلى ﺱ. وباستخدام الخاصية الخطية للتكامل، يمكننا التعبير عن ذلك باعتباره تكاملًا منفصلًا. إذا أجرينا هذا التكامل، فسنحصل على الإجابة نفسها.

وهذا يعطينا لمحة عن كيفية إيجاد التكاملات المحددة للمناطق المحصورة بين منحنى وخط قطري، أو حتى بين منحنيين، على الرغم من أن ذلك خارج نطاق هذا الفيديو.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكن إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمستقيمين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، والمحور ﺱ، من خلال إيجاد قيمة التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. كما تعلمنا أن علينا أخذ القيمة المطلقة لهذا التكامل إذا كانت المساحة تقع أسفل المحور ﺱ. كما رأينا أنه يمكن استخدام طريقة مماثلة عندما تكون المنطقة محصورة بين المحور ﺹ ومنحنى دالة على الصورة ﺱ يساوي ﺭﺹ.

وأخيرًا، علمنا أنه إذا كانت المنطقة يحدها خط مستقيم أفقي أو رأسي غير المحور ﺱ أو المحور ﺹ، يمكننا طرح معادلة هذا الخط من معادلة المنحنى قبل إيجاد قيمة التكامل المحدد.