نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع متجهين فأكثر باستخدام الطريقة البيانية وباستخدام صيغة متجه الوحدة. سنبدأ بالطريقة البيانية. لكن قبل أن نتعلم كيف نجمع المتجهات بيانيًّا، لننعش ذاكرتنا ونتذكر تعريف المتجه وكيف يمكننا تمثيله بيانيًّا. المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه. إذن، هناك طريقة سهلة لتمثيل المتجه بيانيًّا وهي استخدام سهم.
على سبيل المثال، هذا السهم يمثل متجهًا مقداره أربع وحدات واتجاهه على طول المحور الأفقي باتجاه يمين الشاشة. ويمكننا أن نسمي هذا المتجه. لنسمه 𝐀. لاحظ أنه عندما نسمي المتجه 𝐀، نرسم نصف سهم فوق الحرف. وهي طريقة شائعة للإشارة إلى المتجهات. وعندما نرى متجهًا منشورًا على الإنترنت أو مطبوعًا في كتاب، على سبيل المثال، نلاحظ غالبًا أنه مكتوب بخط عريض للإشارة إلى حقيقة أنه متجه.
لنرسم مثالًا آخر لمتجه، وسنسمي هذا المتجه 𝐁. يمكننا أن نلاحظ أن المتجه 𝐁 مقداره يساوي أربع وحدات مثل المتجه 𝐀. لكن هذه المرة له اتجاه مختلف. فهو يتجه رأسيًّا لأعلى الشاشة. مرة أخرى، عندما نسمي المتجه 𝐁، نرسم نصف سهم فوق الرمز للإشارة إلى أنه متجه.
قبل أن ننتقل إلى جمع المتجهات، لنرسم مثالًا آخر. المتجه 𝐂 له مركبتان في الاتجاهين الأفقي والرأسي. ففي الاتجاه الأفقي، طوله يساوي خمس وحدات. وفي الاتجاه الرأسي، طوله يساوي ثلاث وحدات. لذا يمكننا القول إن المتجه 𝐂 له مركبة أفقية مقدارها خمسة، ومركبة رأسية مقدارها ثلاثة. ويمكننا أن نلاحظ أن المتجه 𝐂 له مركبة أفقية أكبر من المتجه 𝐀، وله مركبة رأسية أصغر من المتجه 𝐁.
وبهذا نكون قد قمنا بتلخيص سريع لتعريف المتجهات وكيفية تمثيلها بيانيًّا. لنلق نظرة على كيفية جمعها معًا، بدءًا بالطريقة البيانية. عندما نجمع متجهين معًا، على سبيل المثال 𝐀 و𝐁، سيكون الناتج دائمًا متجهًا أيضًا. لنسم هذا الناتج المتجه 𝐕. تسمى الطريقة التي سنستخدمها لجمع متجهين بيانيًّا طريقة الرأس للذيل. في هذه الطريقة، ينقل أحد المتجهين حتى يصبح ذيله عند رأس المتجه الآخر. ويرسم متجه المحصلة من ذيل المتجه غير المنقول إلى رأس المتجه المنقول.
لنحاول استخدام هذه الطريقة لجمع متجهين جديدين معًا. مرة أخرى، سنسمي هذين المتجهين 𝐀 و𝐁. بما أن هذين المتجهين مختلفان عن المتجهين 𝐀 و𝐁 اللذين استخدمناهما في المثال السابق، دعونا ننظر سريعًا إلى المركبتين الأفقية والرأسية لكل منهما قبل أن نجمعهما. المتجه 𝐀 له مركبة أفقية مقدارها ثلاثة، ومركبة رأسية مقدراها صفر. والمتجه 𝐁 له مركبة أفقية مقدارها واحد، ومركبة رأسية مقدارها ثلاثة.
إذن لإيجاد المتجه الذي سيتكون نتيجة جمع المتجهين 𝐀 و𝐁 معًا، سنبدأ بترك المتجه 𝐀 كما هو، ونقل المتجه 𝐁 بحيث يصبح ذيل المتجه 𝐁 عند رأس المتجه 𝐀. وعند القيام بذلك، من المهم جدًّا أن نحافظ على المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه 𝐁 كما هما. بمجرد القيام بذلك، يمكننا رسم متجه المحصلة، أي المتجه المكافئ لمجموع 𝐀 و𝐁. ويرسم هذا المتجه من ذيل المتجه 𝐀 إلى رأس المتجه المنقول 𝐁. ويمكننا تسمية هذا المتجه الجديد 𝐕؛ لأن هذا ما أسميناه به في التعبير الموجود أعلى الشاشة.
يمكننا التفكير في المتجهات على أنها تمثل حركة لمسافة معينة في اتجاه معين. نلاحظ هنا أننا إذا بدأنا من نقطة الأصل وتحركنا على طول المتجه 𝐀، ثم تحركنا على طول المتجه 𝐁، فسننتهي هنا. إذن، بوجه عام، تكون الحركة هي نفسها كما لو أننا تحركنا على طول المتجه 𝐕. وهذه إحدى طرق التفكير فيما نعنيه بقولنا إن 𝐕 هو ناتج جمع 𝐀 و𝐁.
لا تقتصر طريقة الرأس للذيل على جمع متجهين معًا فقط. لذا في هذا المثال، دعونا نضف متجهًا ثالثًا نطلق عليه 𝐂. يمكننا أن نلاحظ أن هذا المتجه له مركبة أفقية مقدارها اثنان إلى اليسار. إذن يمكننا القول إن مركبته الأفقية تساوي سالب اثنين. وله أيضًا مركبة رأسية مقدارها واحد اتجاهها لأسفل. إذن، يمكننا القول إن مركبته الرأسية تساوي سالب واحد. لنستخدم طريقة الرأس للذيل لجمع المتجهات 𝐀 و𝐁 و𝐂 معًا. وسنسمي متجه المحصلة 𝐖.
مرة أخرى، سنبقي على المتجه 𝐀 ثابتًا، وسنحرك المتجه 𝐁، بحيث يمس ذيله رأس المتجه 𝐀. بعد ذلك، سنحرك المتجه 𝐂 بحيث يمس ذيل المتجه 𝐂 رأس المتجه المنقول 𝐁. والآن يمكننا رسم متجه المحصلة من نقطة الأصل أو من ذيل المتجه 𝐀 إلى رأس المتجه 𝐂. ويمكننا أن نلاحظ أن المتجه المحصل 𝐖 له مركبة أفقية مقدارها اثنان، ومركبة رأسية مقدارها اثنان. تصلح هذه الطريقة لجمع أي عدد نريده من المتجهات. لننتقل الآن إلى طريقة مختلفة، لجمع المتجهات معًا باستخدام صيغة متجه الوحدة.
أولًا، علينا أن نتذكر أن متجه الوحدة عبارة عن متجه طوله يساوي واحدًا. عندما نتناول متجهات في فضاء ثنائي الأبعاد، أي عندما يكون لدينا محوران أفقي ورأسي، فإن هناك متجهي وحدة من نوع خاص علينا الانتباه إليهما وهما: 𝐢 و𝐣. نلاحظ أنه عند كتابة الرمزين 𝐢 و𝐣، يمكننا وضع علامة مد معقوفة تشبه القبعة فوق الحرف (تسمى هات) للإشارة إلى أنه متجه وحدة. ولهذا السبب، أحيانًا يسمى متجها الوحدة هذان 𝐢 هات، و𝐣 هات. وفي النصوص المكتوبة، سنرى أحيانًا هذين المتجهين ممثلين بـ 𝐢 أو 𝐣 بخط عريض أيضًا.
يمكننا أن نلاحظ أن متجه الوحدة 𝐢 أو 𝐢 هات هو متجه الوحدة الذي يشير إلى الاتجاه 𝑥، بينما يشير متجه الوحدة 𝐣 أو 𝐣 هات إلى الاتجاه 𝑦. هذان المتجهان مفيدان لأنه يمكن التعبير عن أي متجه ثنائي بدلالة 𝐢 و𝐣. ويمكننا على وجه التحديد التعبير عن المركبة الأفقية بدلالة 𝐢، والمركبة الرأسية بدلالة 𝐣. على سبيل المثال، هذا المتجه 𝐀 له مركبة أفقية أو مركبة في اتجاه 𝑥 تساوي موجب واحد، ومركبة رأسية أو مركبة في اتجاه 𝑦 تساوي موجب ثلاثة. وهذا يعني أن المتجه 𝐀 يساوي 𝐢 زائد ثلاثة في 𝐣.
لنتناول مثالًا آخر، هذا المتجه 𝐁 له مركبة في اتجاه 𝑥 مقدارها سالب اثنين، ومركبة في اتجاه 𝑦 مقدارها سالب واحد. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن 𝐁 يساوي سالب اثنين في 𝐢 ناقص 𝐣. إذن، التعبير عن المتجهات الثنائية الأبعاد بدلالة متجهي الوحدة 𝐢 و𝐣 يقدم لنا طريقة لوصف المركبات الأفقية بدلالة 𝐢 والمركبات الرأسية بدلالة 𝐣، كل على حدة. ويمكننا استخدام هذا لمساعدتنا في جمع المتجهات معًا. لجمع المتجهات معًا باستخدام صيغة متجه الوحدة، كل ما علينا فعله هو جمع المركبات الأفقية والمركبات الرأسية كل على حدة. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى جميع المتجهات التي نجمعها معًا، نجمع مركبات 𝐢 لإيجاد مركبة متجه المحصلة في اتجاه 𝐢، ونجمع مركبات 𝐣 لإيجاد مركبة متجه المحصلة في اتجاه 𝐣.
لنفترض أن لدينا متجهين 𝐀 و𝐁، وكليهما معبر عنه باستخدام صيغة متجه الوحدة. لنفترض أن 𝐀 يساوي أربعة 𝐢 زائد تسعة 𝐣، و𝐁 يساوي سبعة 𝐢 زائد خمسة 𝐣. لنفترض أننا نريد جمع هذين المتجهين معًا لإيجاد متجه المحصلة 𝐕. حسنًا، لفعل ذلك نبدأ بجمع مركبتي 𝐢 معًا. أربعة 𝐢 زائد سبعة 𝐢 يساوي 11𝐢. بعد ذلك، نجمع مركبتي 𝐣 معًا. تسعة 𝐣 زائد خمسة 𝐣 يساوي 14𝐣. إذن، هنا متجه المحصلة 𝐕 يساوي 11𝐢 زائد 14𝐣؛ وهذا يعني أن متجه المحصلة له مركبة أفقية مقدارها 11، ومركبة رأسية مقدارها 14.
دعونا نتناول مثالًا مختلفًا. هذه المرة، 𝐀 يساوي ثلاثة 𝐢 زائد خمسة 𝐣، و𝐁 يساوي أربعة 𝐢 ناقص ستة 𝐣. الفرق الكبير في هذا المثال هو أن أحد المتجهين له مركبة سالبة. فمركبة المتجه 𝐁 في اتجاه 𝑦 تساوي سالب ستة 𝐣. ولكن حتى وإن كنا نتعامل مع مركبات سالبة، فإننا لا نزال نجمع مركبات 𝐢، ومركبات 𝐣 كلًّا على حدة. علينا فقط أن نأخذ في الاعتبار أي إشارات سالبة.
نبدأ بمركبتي 𝐢، لدينا ثلاثة 𝐢 زائد أربعة 𝐢، وهو ما يعطينا سبعة 𝐢. وبالنظر الآن إلى مركبتي 𝐣، لدينا خمسة 𝐣 زائد سالب ستة 𝐣. خمسة 𝐣 زائد سالب ستة 𝐣 يساوي خمسة 𝐣 ناقص ستة 𝐣، وهو ما يعطينا سالب واحد 𝐣. وأبسط طريقة يمكننا بها كتابة ذلك هي سالب 𝐣. لذا فإن متجه المحصلة في المجمل، أي 𝐕، في هذه الحالة، يساوي سبعة 𝐢 ناقص 𝐣.
لنلق نظرة الآن على مثالين لجمع المتجهات، حيث نجمع في أحدهما المتجهات بيانيًّا، ونجمعها في الآخر باستخدام صيغة متجه الوحدة.
أي المتجهات 𝐏، 𝐐، 𝐑، 𝐒، 𝐓 الموضحة في الشكل يساوي 𝐀 زائد 𝐁؟
إذن لدينا هنا شكل يوضح سبعة متجهات، بما في ذلك المتجهان 𝐀 و𝐁. ومطلوب منا أن نحدد أي من المتجهات الخمسة الأخرى 𝐏، 𝐐، 𝐑، 𝐒، 𝐓، سيساوي مجموع 𝐀 و𝐁. بما أن المتجهات معطاة لنا في صورة بيانية، ممثلة بأسهم زرقاء، إذن يمكننا جمعها معًا بيانيًّا باستخدام طريقة الرأس للذيل. في طريقة الرأس للذيل، ينقل أحد المتجهين حتى يصبح ذيله عند رأس المتجه الآخر. ويرسم متجه المحصلة من ذيل المتجه غير المنقول إلى رأس المتجه المنقول.
في هذه المسألة، نريد جمع المتجهين 𝐀 و𝐁 معًا. لذا، دعونا نترك المتجه 𝐀 ثابتًا ونحرك المتجه 𝐁 بحيث يقع ذيله عند رأس المتجه 𝐀، مع التأكد من أن كلتا المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه 𝐁 اللتين رسمناهما الآن تماثلان مركبتي المتجه الأصلي 𝐁. في هذه الحالة، تكون المركبة الأفقية وحدتين إلى اليمين، والمركبة الرأسية ثلاث وحدات لأعلى. يمكننا الآن رسم متجه المحصلة، أي المتجه الذي يساوي 𝐀 زائد 𝐁. يرسم هذا المتجه من ذيل المتجه 𝐀 غير المنقول إلى رأس المتجه المنقول 𝐁.
يمكننا أن نلاحظ أن متجه المحصلة له نفس اتجاه ومقدار المتجه 𝐐. بعبارة أخرى، إنه يساوي المتجه 𝐐. وهذا يعني أن المتجه 𝐐 يساوي مجموع 𝐀 و𝐁. إذن، من بين المتجهات الخمسة المرسومة في الشكل، 𝐏، 𝐐، 𝐑، 𝐒، 𝐓، المتجه 𝐐، هو الذي يساوي 𝐀 زائد 𝐁.
والآن، لنتناول مثالًا آخر يمكننا فيه جمع المتجهات باستخدام صيغة متجه الوحدة.
لدينا المتجهان 𝐀 و𝐁. 𝐀 يساوي اثنين 𝐢 زائد ثلاثة 𝐣، 𝐁 يساوي سبعة 𝐢 زائد خمسة 𝐣. احسب 𝐀 زائد 𝐁.
في هذه المسألة، كتب المتجهان 𝐀 و𝐁 بخط عريض لتوضيح أنهما متجهان. وعند كتابة الحل، يمكننا أن نشير إلى أن 𝐀 و𝐁 متجهان برسم نصف سهم فوق كل منهما. وبالمثل، كتب متجها الوحدة 𝐢 و𝐣 بخط عريض في المسألة. لكن عندما نكتب هذين المتجهين في الحل، فإننا نرسم علامة هات فوقهما للإشارة إلى أنهما متجها وحدة. عندما نجمع المتجهات المعبر عنها بصيغة متجه الوحدة، مثل 𝐀 و𝐁، علينا أن نتذكر أن نجمع مركبتي 𝐢 ومركبتي 𝐣 كلًّا على حدة.
قد يكون من المفيد كتابة المتجهين أحدهما فوق الآخر مع وضع علامة زائد بحيث تكون مركبتا 𝐢 ومركبتا 𝐣 متحاذيتين رأسيًّا. بجمع المتجهين 𝐀 و𝐁 معًا، نحصل على متجه المحصلة. ويمكننا أن نسمي متجه المحصلة هذا. لنسمه 𝐕. لإيجاد مركبتي 𝐕، نبدأ بجمع مركبتي 𝐢 لكل من 𝐀 و𝐁. اثنان 𝐢 زائد سبعة 𝐢 يساوي تسعة 𝐢. بعد ذلك، نجمع مركبتي 𝐣 معًا، ثلاثة 𝐣 زائد خمسة 𝐣 يساوي ثمانية 𝐣. إذا كان المتجه 𝐀 يساوي اثنين 𝐢 زائد ثلاثة 𝐣، والمتجه 𝐁 يساوي سبعة 𝐢 زائد خمسة 𝐣، فإن 𝐀 زائد 𝐁 يساوي تسعة 𝐢 زائد ثمانية 𝐣.
وبهذا نكون تناولنا مثالين، والآن دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. رأينا أنه يمكننا جمع المتجهات معًا بيانيًّا باستخدام طريقة الرأس للذيل. وعرفنا أيضًا كيف نجمع المتجهات معًا باستخدام صيغة متجه الوحدة. وعندما نفعل ذلك، علينا جمع مركبتي 𝐢 معًا، ومركبتي 𝐣 معًا، كل على حدة.
مصر
الهند
المملكة العربية السعودية
المملكة المتحدة
الولايات المتحدة
