فيديو الدرس: الأحداث المتنافية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الأحداث المتنافية ونوجد احتمالاتها. قبل البدء، يجب التأكد من أنك بالفعل على دراية بكيفية إيجاد احتمالات الأحداث البسيطة والقواعد الأساسية للاحتمال. سوف نبدأ باسترجاع بعض الرموز التي سنحتاجها خلال هذا الفيديو. وسوف نستخدم أيضًا أشكال «فن» للمساعدة على توضيحها. لكن لا تقلق إذا لم تكن على دراية بأشكال «فن». فهي ليست أساسية لفهم هذا الموضوع.

لوصف احتمال وقوع حدث واحد نطلق عليه ﺃ، نستخدم الرمز ﻝﺃ، وقد نراه أيضًا في بعض الأحيان مكتوبًا ﻝ. نستخدم إما الترميز ﺃ بار أو ﺃ شرطة لتمثيل الحدث المكمل للحدث ﺃ. الحدث المكمل هو جميع النواتج في فضاء العينة التي لا تنتمي إلى الحدث نفسه. لذا، على سبيل المثال، في حالة إلقاء حجر نرد ذي ستة أوجه، فإن الحدث المكمل للحصول على العدد ستة هو كل النواتج الأخرى. أي الحصول على أي من الأعداد من واحد إلى خمسة. من المهم أيضًا تذكر أن مجموع احتمالي وقوع حدث ما والحدث المكمل له يساوي واحدًا؛ لأن الحدث والحدث المكمل له يشملان فضاء العينة بأكمله دون أي تداخل.

إذا كان لدينا حدثان ﺃ وﺏ، فإننا نستخدم هذا الرمز هنا لتمثيل احتمال وقوع الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ أو كليهما إذا كان ذلك ممكنًا. هذا الرمز هنا هو رمز الاتحاد، والذي قد نكون بالفعل على دراية به من ترميز المجموعة. يمكننا قراءة هذا «احتمال ﺃ اتحاد ﺏ» أو «احتمال ﺃ أو ﺏ». مرة أخرى، بالنسبة للحدثين ﺃ وﺏ، يمثل احتمال وقوع كلا الحدثين باستخدام هذا الرمز هنا. يطلق على هذا الرمز تقاطع حدثين؛ لذا يمكننا قراءة ذلك إما على صورة احتمال ﺃ تقاطع ﺏ أو احتمال وقوع ﺃ وﺏ.

وأخيرًا، الحدث ﺃ ناقص ﺏ يحوي كل العناصر في فضاء العينة التي تنتمي إلى ﺃ لكنها لا تنتمي إلى ﺏ. هذا يكافئ تقاطع الحدث ﺃ والحدث المكمل للحدث ﺏ. باستخدام مثال حجر النرد مرة أخرى، إذا كان ﺃ هو مجموعة النواتج التي تمثل الأعداد الأولية، أي اثنين وثلاثة وخمسة، وﺏ هو مجموعة النواتج التي تمثل الأعداد الزوجية، أي اثنين وأربعة وستة، فإن ﺃ ناقص ﺏ يساوي المجموعة التي تحتوي على العنصرين ثلاثة وخمسة. وهي تمثل جميع العناصر الموجودة في المجموعة ﺃ لكنها ليست في المجموعة ﺏ. وبذلك، نكون قد حذفنا العنصر اثنين لأنه يقع أيضًا في المجموعة ﺏ.

ينبغي أن نتذكر هنا قاعدة أساسية تنص بصفة عامة على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال تقاطع ﺃ وﺏ. سنحتاج إلى استخدام كل من هذه الرموز وهذه القواعد في الأمثلة. ومن ثم، إذا كان هناك أي رمز لم تكن على دراية به من قبل، تعرف عليه الآن. دعونا الآن ننتقل إلى الجزء الجديد، وهو مصطلح «الحدثان المتنافيان». يقال بصورة غير رياضية إن الحدثين ﺃ وﺏ متنافيان إذا لم يكن وقوعهما ممكنًا في الوقت نفسه، أو إذا كان وقوع أحدهما يمنع وقوع الآخر. وبصفة أساسية، ما نعنيه هو عدم وجود تداخل بين الحدثين.

على سبيل المثال، في حجر النرد، يكون ظهور عدد أقل من اثنين وعدد أكبر من أربعة حدثين متنافيين؛ حيث لا يوجد أي تداخل بين هذين الحدثين، فلا يوجد أي أعداد في حجر النرد أو في أي مكان آخر أقل من اثنين وأكبر من أربعة في الوقت نفسه. بصياغة رياضية أكثر، يكون الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين إذا كان ﺃ تقاطع ﺏ يساوي المجموعة الخالية 𝜙. هذا يعني أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي صفرًا؛ لأنه من المستحيل وقوع كلا الحدثين معًا. إذا كنا نستخدم شكل «فن» لتناول حدثين متنافيين، فعلينا تمثيلهما باستخدام دائرتين منفصلتين؛ لأنه كما رأينا لا يوجد تقاطع بين الحدثين. دعونا نتناول مثالًا بسيطًا لهذا.

إذا رمي حجر نرد مرة واحدة، فما احتمال ظهور عدد فردي وعدد زوجي معًا؟

الحدثان في هذا السؤال متنافيان؛ لأن هذين الحدثين لا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه. ليس هناك أعداد فردية وزوجية معًا. تقاطع هذين الحدثين ﺃ وﺏ يساوي المجموعة الخالية. وبما أنه لا يوجد أي عناصر في المجموعة ﺃ تقاطع ﺏ، فإن احتمال وقوع هذا يساوي صفرًا. إذن، من المستحيل أن يكون لدينا عدد فردي وزوجي معًا.

ومن ثم، عرفنا أنه في حالة الحدثين المتنافيين، يكون احتمال وقوع الحدثين معًا أو احتمال تقاطعهما يساوي صفرًا. لكن ماذا عن احتمال وقوع أحد الحدثين أو الآخر؟ حسنًا، دعونا نرجع إلى حجر النرد مرة أخرى لمعرفة ما إذا كان يمكننا التوصل إلى قاعدة.

سنفترض أن ﺃ هو حدث ظهور عدد فردي، وﺏ هو حدث ظهور العدد ستة. هذان الحدثان متنافيان؛ لأن العدد ستة ليس عددًا فرديًّا، فلا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه. قائمة جميع النواتج الممكنة في فضاء العينة هي الأعداد الصحيحة من واحد إلى ستة. وبما أننا نفترض أن حجر النرد منتظم، فإن كل ناتج احتماله متساو ويساوي سدسًا. يوجد ثلاثة أعداد فردية في حجر النرد، فاحتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي ثلاثة على ستة. يوجد عدد ستة واحد فقط في حجر النرد، إذن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي سدسًا.

عندما نفكر في ﺃ اتحاد ﺏ، والذي يمكننا التفكير فيه باعتباره ﺃ أو ﺏ، فإن ما يعنينا هو أي ناتج يمثل جزءًا من الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ. وهو أي ناتج رسمنا حوله دائرة بغض النظر عن اللون الذي استخدمناه. أربعة نواتج من ستة مرسوم حولها دائرة، أي إن الاحتمال يساوي أربعة أسداس. وربما تلاحظ أن هذا يساوي مجموع احتمالي وقوع كل من الحدثين ﺃ وﺏ على حدة، وهذه ليست مصادفة. فهذا يوضح ما نطلق عليه قاعدة الجمع للأحداث المتنافية، لكن لا يثبتها. احتمال ﺃ اتحاد ﺏ، والذي يمكننا أيضًا اعتباره احتمال وقوع ﺃ أو ﺏ، يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ.

يمكننا أيضًا تمثيل ذلك على شكل «فن» إن كان هذا سيساعدنا. بما أن الحدثين ﺃ وﺏ متنافيان، فإننا نمثلهما باستخدام دائرتين منفصلتين. وإذا فكرنا في كل دائرة لها احتمال، فيمكننا إيجاد الاحتمال الكلي لوقوع الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ بجمع احتمالات كل منهما معًا. والآن، من المهم تذكر أنه لا يمكننا تطبيق هذه القاعدة إلا على الأحداث المتنافية. إذا كانت الأحداث غير متنافية، فسيصبح لدينا دوائر متداخلة في شكل «فن»؛ ومن ثم سنحتاج إلى قاعدة مختلفة.

والآن، قد تكون قادرًا على إيجاد طريقة يمكننا من خلالها تعديل قاعدة الجمع بحيث تصلح للأحداث غير المتنافية. لكن ذلك خارج نطاق هذا الفيديو. دعونا نتناول الآن مثالًا لكيفية تطبيق قاعدة الجمع على الأحداث المتنافية.

‏ﺃ وﺏ حدثان متنافيان لهما الاحتمالان احتمال ﺃ يساوي عشرًا، واحتمال ﺏ يساوي خمسًا. أوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ.

هذان الحدثان متنافيان، وبالتالي يمكننا تذكر قاعدة الجمع. احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي مجموع احتمالي وقوع كل منهما على حدة. إنه احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ. في هذا السؤال، نجد أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي عشرًا زائد خمس. نكتب هذا الكسر الذي يمثل خمسًا على صورة كسر مكافئ له مقامه ١٠. وهو يساوي عشرين. ثم بجمع الاحتمالين، نحصل على ثلاثة أعشار. إذن، بتطبيق قاعدة الجمع على الأحداث المتنافية، وجدنا أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أعشار.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية تطبيق قاعدة الجمع هذه على مسألة أكثر تعقيدًا.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان متنافيان. إذا كان احتمال ﺃ بار يساوي ٠٫٦١، واحتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٧٦، فأوجد احتمال ﺏ.

أولًا، نتذكر أن ﺃ بار يعني الحدث المكمل للحدث ﺃ، وأن رمز الاتحاد يعني أننا بصدد وقوع الحدث ﺃ أو ﺏ. وبما أن هذين الحدثين متنافيان، فيمكننا تذكر قاعدة الجمع. احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ. ونعلم احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. فهو معطى في السؤال؛ إنه ٠٫٧٦. ونريد إيجاد احتمال ﺏ. لكن للقيام بذلك، سيكون علينا أولًا إيجاد احتمال ﺃ.

يمكننا إيجاد ذلك إذا تذكرنا أن مجموع احتمالي وقوع الحدث ومكمله دائمًا يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن احتمال ﺃ زائد ٠٫٦١، أي قيمة الاحتمال المعطاة في السؤال لاحتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ، يساوي واحدًا. وبذلك، فإن احتمال ﺃ يساوي واحدًا ناقص ٠٫٦١، وهو ما يساوي ٠٫٣٩. بالتعويض مرة أخرى في قاعدة الجمع، نجد أن ٠٫٧٦ يساوي ٠٫٣٩ زائد احتمال ﺏ. إذن، احتمال ﺏ يساوي ٠٫٧٦ ناقص ٠٫٣٩، وهو ما يساوي ٠٫٣٧. تذكر أنه لا يمكن تطبيق قاعدة الجمع هذه إلا إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين.

في المسألة التالية، سنحتاج إلى تطبيق أحد قوانين دي مورجان. وينص هذا القانون على أنه لأي حدثين ﺃ وﺏ، ولا يشترط أن يكونا حدثين متنافيين، فإن اتحاد الحدث المكمل للحدث ﺃ والحدث المكمل للحدث ﺏ يساوي مكملة تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. قد يكون من المفيد تمثيل ذلك على شكل «فن». وتذكر أن الحدثين لا يشترط أن يكونا متنافيين هنا. الحدث المكمل للحدث ﺃ هو أي شيء لا يقع ضمن الدائرة ﺃ. الحدث المكمل للحدث ﺏ هو أي شيء لا يقع ضمن الدائرة ﺏ. اتحاد هاتين المنطقتين هو أي مساحة وضعنا فيها نقطة، ألا وهي فضاء العينة بالكامل ما عدا ﺃ تقاطع ﺏ. لقد ظللنا كل شيء آخر، إذن هذه عبارة عن مكملة ﺃ تقاطع ﺏ.

إذا كان ﺃ وﺏ حدثين متنافيين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، فأوجد احتمال الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث المكمل للحدث ﺏ.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكر أحد قوانين دي مورجان: الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث المكمل للحدث ﺏ يساوي مكملة ﺃ تقاطع ﺏ. ومن ثم، يترتب على ذلك أن احتمال الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث المكمل للحدث ﺏ سيساوي احتمال مكملة ﺃ تقاطع ﺏ. والآن، ينطبق هذا القانون دائمًا. لكن هذين الحدثين الموضحين في هذا السؤال متنافيان. ونعرف أنه بالنسبة إلى الحدثين المتنافيين، تقاطعهما يساوي المجموعة الخالية. هذا يعني أن مكملة تقاطعهما يساوي فضاء العينة بالكامل، واحتماله يساوي واحدًا.

أو يمكننا القول، بصياغة رياضية أكثر، إن احتمال مكملة ﺃ تقاطع ﺏ يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. هذا يساوي واحدًا ناقص صفر، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، بتذكر قانون دي مورجان وأنه بالنسبة للحدثين المتنافيين يكون احتمال تقاطعهما يساوي صفرًا، نجد أنه بالنسبة للحدثين المتنافيين ﺃ وﺏ، يكون احتمال الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث المكمل للحدث ﺏ يساوي واحدًا.

دعونا نتناول الآن مثالًا سنستخدم فيه قاعدة احتمال مختلفة.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان متنافيان. إذا كان احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي ٠٫٥٢، فأوجد احتمال ﺃ.

أولًا، نتذكر أن الحدث ﺃ ناقص ﺏ يحوي كل عناصر فضاء العينة التي تنتمي إلى المجموعة ﺃ لكن لا تنتمي إلى المجموعة ﺏ. إنه يكافئ تقاطع الحدث ﺃ والحدث المكمل للحدث ﺏ. نتذكر أيضًا قاعدة عامة تنص على أن: احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال تقاطع ﺃ وﺏ. إذن، لدينا ٠٫٥٢ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

لكن لدينا في معطيات السؤال معلومة أساسية أخرى لم نستخدمها بعد. هذان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيان. ونعلم أنه بالنسبة للحدثين المتنافيين، يكون احتمال تقاطعهما يساوي صفرًا؛ لأنه لا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه. لذا، فإن احتمال ﺃ هو نفسه احتمال ﺃ ناقص ﺏ. إنه ٠٫٥٢.

في المثال الأخير، سنرى كيف نحسب الاحتمالات عندما يكون فضاء العينة هو اتحاد ثلاثة أحداث متنافية.

‏ﺃ وﺏ وﺟ ثلاثة أحداث متنافية في فضاء عينة ﻑ. إذا كان ﻑ يساوي اتحاد ﺃ، وﺏ، وﺟ، واحتمال ﺃ يساوي خمس احتمال ﺏ، واحتمال ﺟ يساوي أربعة في احتمال ﺃ، فأوجد احتمال ﺏ اتحاد ﺟ.

أول معلومة أساسية معطاة هي أن فضاء العينة يساوي اتحاد هذه الأحداث الثلاثة المتنافية. هذا يعني أن هذه الأحداث الثلاثة تقسم فضاء العينة بالكامل دون أي تداخل. ومن ثم، فإن مجموع احتمالات وقوعها يساوي واحدًا. علمنا أيضًا من معطيات السؤال أن احتمال ﺃ يساوي خمس احتمال ﺏ، واحتمال ﺟ يساوي أربعة في احتمال ﺃ، أي أربعة أخماس في احتمال ﺏ. يمكننا إذن تكوين معادلة باستخدام احتمال ﺏ فقط. خمس احتمال ﺏ زائد احتمال ﺏ زائد أربعة أخماس احتمال ﺏ يساوي واحدًا.

إذا بسطنا ذلك، فسيصبح لدينا خمس، وواحد، وأربعة أخماس باعتبارها المعاملات. إذن، لدينا ضعف احتمال ﺏ يساوي واحدًا. وبقسمة الطرفين على اثنين، نجد أن احتمال ﺏ يساوي نصفًا. والآن، يطلب منا السؤال إيجاد احتمال ﺏ اتحاد ﺟ، وبالتالي علينا تذكر قاعدة جمع الحدثين المتنافيين. وهي تنص على أن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتمالي وقوع كل منهما على حدة. نحن نعلم احتمال ﺏ. إنه يساوي نصفًا، لذا علينا فقط حساب احتمال ﺟ.

لقد عبرنا من قبل عن احتمال ﺟ على صورة أربعة أخماس احتمال ﺏ، أي أربعة أخماس مضروبًا في نصف، وهو ما يساوي أربعة أعشار. إذن، باستخدام قاعدة الجمع للحدثين المتنافيين، يكون احتمال ﺏ اتحاد ﺟ يساوي نصفًا زائد أربعة أعشار. وبالتفكير في النصف، باعتباره الكسر المكافئ لخمسة أعشار، نجد أن الاحتمال الكلي يساوي تسعة أعشار. تذكر أنه يمكننا فقط تطبيق قاعدة الجمع، والاستعانة بحقيقة أن مجموع الاحتمالات الثلاثة يساوي واحدًا لأن الأحداث الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ متنافية.

دعونا نراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. الحدثان ﺃ وﺏ متنافيان إذا لم يكن وقوعهما ممكنًا في الوقت نفسه، أو إذا لم يوجد تداخل بين الحدثين. بعبارة رياضية أكثر، تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي المجموعة الخالية 𝜙. وبذلك، فإن احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي صفرًا. ينص قانون الجمع للحدثين المتنافيين على أن احتمال اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ يساوي مجموع احتمالي وقوع كل منهما على حدة، أي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ.

وجدنا أيضًا أنه بالنسبة للحدثين المتنافيين، فإن احتمال ﺃ ناقص ﺏ، أي احتمال وقوع الحدث ﺃ وعدم وقوع الحدث ﺏ، يماثل تمامًا احتمال ﺃ وهو تعديل للقاعدة العامة التي تنص على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. هذا لأنه بالنسبة للحدثين المتنافيين، يكون احتمال تقاطعهما يساوي صفرًا. ويمكننا استخدام هذه القواعد مع المزيد من قواعد الاحتمال الأساسية، مثل القواعد المتعلقة بالأحداث المكملة، لحل العديد من مسائل الأحداث المتنافية.