نسخة الفيديو النصية
أي من العلاقات التي تبينها مجموعات الأزواج المرتبة الآتية لا يمثل دالة؟ حسنًا، لدينا أربعة خيارات هنا، كل منها عبارة عن مجموعة من الأزواج المرتبة، وكل منها عبارة عن علاقة، لكن ثلاثة فقط من هذه الأزواج الأربعة تمثل دالة أيضًا.
دعونا نتناول الخيارات واحدًا تلو الآخر، بدءًا من الخيار (أ). الخيار (أ) هو مجموعة الأزواج المرتبة سالب ثمانية، أربعة؛ وسالب تسعة، أربعة؛ و١٠، أربعة؛ و١١، أربعة. وهذا يعرف العلاقة. دعونا نذكر أنفسنا أولًا ما هي العلاقة. تعرف العلاقة بناء على مجموعتين، سأطلق عليهما ﺱ وﺹ. ولنر كيف يجري ذلك بكتابة عناصر العلاقة المعرفة بالمجموعة في الخيار (أ).
العنصر الأول من المجموعة هو الزوج المرتب سالب ثمانية، أربعة. وحقيقة أن المركبة الأولى من هذا الزوج المرتب هي سالب ثمانية توضح لنا أن سالب ثمانية يجب أن يندرج في المجموعة ﺱ، وحقيقة أن المركبة الثانية لهذا الزوج المرتب هي أربعة توضح لنا أن أربعة يجب أن يندرج في المجموعة ﺹ. لكن أكثر من ذلك، لم نعرف فقط من المعطيات أن سالب ثمانية وأربعة يقعان في هاتين المجموعتين. إننا نعرف أنه توجد علاقة بين هذين العنصرين. نمثل ذلك على المخطط باستخدام سهم، هكذا.
حسنًا، لننتقل إلى العنصر الثاني في المجموعة، وهو الزوج المرتب سالب تسعة، أربعة. المركبة الأولى في الزوج المرتب هي سالب تسعة، إذن نكتب هذا في ﺱ. أما المركبة الثانية، أي أربعة، فقد وضعناها بالفعل في المجموعة ﺹ؛ فلسنا بحاجة إلى كتابتها مرة أخرى. كل ما علينا فعله هو تمثيل العلاقة باستخدام سهم. وقد فعلنا الأمر نفسه مع العنصرين الأخيرين في المجموعة وهما: ١٠، أربعة؛ و١١، أربعة.
الآن ربما يحتوي ﺱ على مركبات أخرى غير سالب ثمانية، وسالب تسعة، و١٠، و١١. قد تكون مجموعة الأعداد الصحيحة على سبيل المثال. وبالمثل، قد يكون ﺹ أكثر من مجرد مجموعة بها العدد أربعة. يمكن أن يكون مجموعة الأعداد الكلية. في الواقع، يمكن أن تمثل كلتا المجموعتين مجموعة الأعداد الحقيقية، لكننا حددنا هذه الأعداد، التي هي عناصر في هاتين المجموعتين المدرجتين في هذه العلاقة هنا. وهذا كل ما علينا فعله. هذه علاقة جيدة جدًّا، لكن السؤال هو هل تمثل دالة أيضًا.
لذا لنترك المخطط الآن ونلق نظرة على المجموعة. إذا كانت هذه دالة، فإن كل زوج مرتب يمثل زوجًا من القيم المدخلة والمخرجة لهذه الدالة. على سبيل المثال، الزوج المرتب الأول — سالب ثمانية، أربعة — يوضح لنا أن سالب ثمانية قيمة مدخلة لها قيمة مخرجة تعطى بواسطة الدالة وهي أربعة. عندما نتابع، نجد أن القيمة المدخلة سالب تسعة لها القيمة المخرجة أربعة أيضًا. وكذلك الحال بالنسبة إلى القيمة المدخلة ١٠، التي لها القيمة المخرجة أربعة. ويخبرنا آخر زوج من القيم المدخلة والمخرجة أن القيمة المدخلة ١١ تعطينا القيمة المخرجة أربعة.
بالرجوع إلى المخطط، يمكننا القول إن المجموعة ﺱ هي الآن مجموعة المدخلات لهذه الدالة، وتعرف أيضًا باسم مجال الدالة. والمجموعة ﺹ هي مجموعة مخرجات الدالة، التي تعرف أيضًا باسم مدى الدالة. وبالنظر إلى المخطط، نرى أن كل القيم المدخلة في المجال ينتج عنها قيمة مخرجة مختلفة في المدى، ولا توجد مشكلة على الإطلاق في ذلك. إذن، هذه دالة؛ الخيار (أ) يمثل دالة. لذا، فهي ليست الإجابة المطلوبة. لننتقل إلى الخيار الثاني، الخيار (ب).
الخيار (ب) عبارة عن مجموعة مشابهة من الأزواج المرتبة مطابقة لما كان لدينا من قبل، وسنتناول العملية نفسها لتمثيل هذه العلاقة باستخدام مخطط. إذن العنصر الأول في هذه المجموعة هو الزوج المرتب ثلاثة، أربعة. المركبة الأولى للزوج، أي ثلاثة، تندرج في المجموعة ﺱ؛ والمركبة الثانية، أي أربعة، تندرج في المجموعة ﺹ. وهما بالطبع مرتبطان. توجد علاقة بينهما، لذا نرسم سهمًا. بعد ذلك، لدينا العددان ١١، ثمانية. سنفعل الشيء نفسه، حيث العدد ١١ يندرج في المجموعة ﺱ، والعدد ثمانية يندرج في المجموعة ﺹ، ونرسم سهمًا بينهما.
حتى الآن جيد جدًّا. ماذا عن ثلاثة، ١٢ ؟ حسنًا، العدد ثلاثة يندرج في المجموعة ﺱ. حسنًا، لدينا بالفعل ثلاثة في المجموعة ﺱ؛ لسنا بحاجة إلى كتابته مرة أخرى. لدينا العدد ١٢، أي المركبة الثانية، لا بد أن يندرج في المجموعة ﺹ. ونرسم سهمًا بينهما. وأخيرًا، ١١، ١١. إذن، العدد ١١ وهو المركبة الأولى يعني أن العدد ١١ يقع في المجموعة الأولى ﺱ، وهو موجود لدينا بالفعل، والعدد ١١ وهو المركبة الثانية في الزوج المرتب يوضح لنا أنه علينا كتابة العدد ١١ في المجموعة ﺹ أيضًا، إذن هذا العدد ١١ مختلف، لأنه ينتمي إلى مجموعة مختلفة. وقد أوضحنا أن هذه العناصر مرتبطة بهذا الشكل.
أود التشديد على أن هذه علاقة جيدة تمامًا. في الحقيقة، أي مجموعة من الأزواج المرتبة هي علاقة جيدة تمامًا يمكنك تكوينها كالحال هنا. لكن السؤال هو عما إذا كانت تمثل دالة أيضًا. تذكر أنه يمكن تعريف الدالة على أنها مجموعة الأزواج المرتبة التي تمثل القيم المدخلة والمخرجة لهذه الدالة. فالزوج المرتب الأول — ثلاثة، أربعة — في هذه المجموعة، على سبيل المثال، يوضح لنا أنه عندما نعوض بالقيمة المدخلة ثلاثة في هذه الدالة تعطينا القيمة المخرجة أربعة. إذن إذا كانت الدالة تسمى ﺩ، فسنكتب ﺩ لثلاثة يساوي أربعة.
يوضح لنا الزوج المرتب التالي أن ﺩ١١، أي القيمة المدخلة، يساوي ثمانية، أي القيمة المخرجة. حسنًا، ماذا عن الزوج المرتب الثالث؟ القيمة المدخلة ثلاثة ينتج عنها القيمة المخرجة ١٢، وبذلك فإن ﺩ لثلاثة يساوي ١٢. لكن انتظر، لقد قلنا للتو إن ﺩ لثلاثة يساوي أربعة. كيف يكون ذلك منطقيًّا؟ كيف يمكن لـ ﺩ لثلاثة أن يساوي أربعة و١٢ أيضًا؟ حسنًا، لا يمكن.
يمكننا أن نلاحظ الأمر نفسه على المخطط. لدينا ثلاثة يرتبط بكل من أربعة و١٢، إذن يوجد سهمان من العدد ثلاثة على اليمين. مرة أخرى، هذا ينطبق على العلاقة، لكن لا ينطبق على الدالة. لا يمكن أن يكون ﺩ لثلاثة يساوي أربعة و١٢؛ إذن فهذه المجموعة من الأزواج المرتبة لا تعرف دالة. ونتيجة لذلك، يكون الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة. هذه هي مجموعة من الأزواج المرتبة التي تعرف علاقة لكنها لا تمثل دالة.
في النهاية، هيا نر طريقة سريعة لمعرفة إذا ما كانت مجموعة من الأزواج المرتبة تمثل دالة. انظرإلى المركبات الأولى لهذه الأزواج المرتبة؛ ثلاثة، و١١، وثلاثة، و١١، ستلاحظ بعض التكرار هنا. بعض المدخلات مكررة مرتين، على سبيل المثال ثلاثة، وترتبط بمخرجات مختلفة؛ أربعة و١٢، و١١ ترتبط بكل من ثمانية و١١. لذا، إذا رأيت تكرارًا في المركبات الأولى من الأزواج المرتبة، فهذا يعني أنها لن تكون دالة.
وإذا كان لدينا مخطط يمثل علاقة، كما هو موضح بالأسفل، فيمكنك أن تسأل عما إذا كان هذا يمثل دالة أيضًا بالنظر إليه باعتباره مخططًا سهميًّا. وكما رأينا سابقًا، يرتبط العدد ثلاثة بكل من العددين أربعة و١٢. كان يوجد سهمان يخرجان من العدد ثلاثة من جهة اليمين متجهان إلى مجموعة المخرجات التي لدينا على اليسار، وبالطبع هذا غير منطقي. إذا كان يوجد سهمان أو أكثر يخرجان من أي عنصر في الجانب الأيمن، فسنلاحظ أن هذه العلاقة ليست دالة.
يمكنك الرجوع إلى ما ذكرناه سابقًا في الفيديو لترى أن هاتين المشكلتين لم تحدثا مع الخيار (أ)، الذي يمثل دالة، لذا كان ذلك جيدًا. ويمكنك أيضًا التحقق من أن الخيارين (ج) و(د) يمثلان دالتين. يمكنك التحقق من أنه في كل من هذه الخيارات في كل مجموعة، لا تتكرر المركبة الأولى في هذه الأزواج المرتبة أبدًا. ويمكنك التحقق من أنه عند رسم مخطط لهذه العلاقات، لا يوجد على الإطلاق أكثر من سهم يخرج من أي قيمة مدخلة من الجانب الأيمن.
