فيديو: إيجاد الفترة التي يقع فيها حاصل الضرب القياسي لمتجهي وحدة

إذا كان ‪𝐀‬‏، ‪𝐁‬‏ متجهي وحدة، ففي أي فترة يقع ‪𝐀 ⋅ 𝐁‬‏؟

٠٢:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان 𝐀، و𝐁 متجهي وحدة، ففي أي فترة يقع 𝐀 ضرب قياسي 𝐁، أي، حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 و𝐁؟

من الناحية الهندسية، حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐀 و𝐁، أي، 𝐀 ضرب قياسي 𝐁، هو مقدار المتجه 𝐀 في مقدار المتجه 𝐁 في cos الزاوية 𝜃 بينهما. تخبرنا المسألة أن 𝐀 و𝐁 متجها وحدة. ومتجهات الوحدة هي متجهات مقدارها واحد.

وباستخدام هذه المعلومة، نجد أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐀 و𝐁 هو واحد في واحد في cos 𝜃، وهو ما يساوي بالطبع cos 𝜃. وبالتالي، فإن الفترة التي يقع فيها حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐀 و𝐁 هي نطاق القيم التي يمكن لـ cos 𝜃 اتخاذها.

وبالنظر إلى التمثيل البياني لـ cos 𝜃، يمكننا أن نرى أنه يتراوح بين سالب واحد وواحد، وبالتالي، يكون سالب واحد أقل من أو يساوي cos 𝜃، الذي بدوره أقل من أو يساوي واحدًا. ونحن نستخدم علامة أقل من أو يساوي هنا وليس علامة أقل من فقط، لأن القيمتين العظميين سالب واحد وواحد تحققهما الدالة، وبالتالي، يدخلان في نطاق دالة جيب التمام.

ويوجد طريقة أخرى لصياغة ذلك، ألا وهي القول إن cos 𝜃 يقع في الفترة من سالب واحد إلى واحد، حيث نستخدم الأقواس المربعة لتوضيح أن الطرفين سالب واحد وواحد ينتميان لهذه الفترة. فيمكن لقيمة cos 𝜃 أن تكون سالب واحد أو واحد.

وإذ توصلنا إلى أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐀 و𝐁 هو cos 𝜃، فبالتأكيد يجب أن يقع حاصل الضرب القياسي لهما في هذه الفترة. هل هذا هو الجواب إذن؟ حسنًا، علينا أن نتأكد أولًا من عدم وجود أي شرط بشأن 𝜃.

في حالة تقييد 𝜃 لتقع بين 60 درجة و120 درجة، عندئذ تتراوح قيمة دالة جيب تمام 𝜃، أي cos 𝜃، بين سالب 0.5 و0.5، وهي في الواقع فترة أصغر. لكن في الواقع، يمكن للزاوية 𝜃 أن تتخذ أي قيمة من صفر وحتى 180 درجة، وبالتالي، يمكن لحاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐀 و𝐁، وهو cos 𝜃، أن يتخذ أي قيمة من سالب واحد إلى واحد، بما فيها سالب الواحد والواحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.