فيديو السؤال: إيجاد الفترة التي يقع فيها حاصل الضرب القياسي لمتجهي وحدة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃ، وﺏ متجهي وحدة، ففي أي فترة يقع ﺃ ضرب قياسي ﺏ، أي، حاصل الضرب القياسي لـ ﺃ وﺏ؟

من الناحية الهندسية، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ، أي، ﺃ ضرب قياسي ﺏ، هو مقدار المتجه ﺃ في مقدار المتجه ﺏ في جتا الزاوية 𝜃 بينهما. تخبرنا المسألة أن ﺃ وﺏ متجها وحدة. ومتجهات الوحدة هي متجهات مقدارها واحد.

وباستخدام هذه المعلومة، نجد أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ هو واحد في واحد في جتا 𝜃، وهو ما يساوي بالطبع جتا 𝜃. وبالتالي، فإن الفترة التي يقع فيها حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ هي نطاق القيم التي يمكن لـ جتا 𝜃 اتخاذها.

وبالنظر إلى التمثيل البياني لـ جتا 𝜃، يمكننا أن نرى أنه يتراوح بين سالب واحد وواحد، وبالتالي، يكون سالب واحد أقل من أو يساوي جتا 𝜃، الذي بدوره أقل من أو يساوي واحدًا. ونحن نستخدم علامة أقل من أو يساوي هنا وليس علامة أقل من فقط، لأن القيمتين العظميين سالب واحد وواحد تحققهما الدالة، وبالتالي، يدخلان في نطاق دالة جيب التمام.

ويوجد طريقة أخرى لصياغة ذلك، ألا وهي القول إن جتا 𝜃 يقع في الفترة من سالب واحد إلى واحد، حيث نستخدم الأقواس المربعة لتوضيح أن الطرفين سالب واحد وواحد ينتميان لهذه الفترة. فيمكن لقيمة جتا 𝜃 أن تكون سالب واحد أو واحد.

وإذ توصلنا إلى أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ هو جتا 𝜃، فبالتأكيد يجب أن يقع حاصل الضرب القياسي لهما في هذه الفترة. هل هذا هو الجواب إذن؟ حسنًا، علينا أن نتأكد أولًا من عدم وجود أي شرط بشأن 𝜃.

في حالة تقييد 𝜃 لتقع بين ٦٠ درجة و١٢٠ درجة، عندئذ تتراوح قيمة دالة جيب تمام 𝜃، أي جتا 𝜃، بين سالب ٠٫٥ و٠٫٥، وهي في الواقع فترة أصغر. لكن في الواقع، يمكن للزاوية 𝜃 أن تتخذ أي قيمة من صفر وحتى ١٨٠ درجة، وبالتالي، يمكن لحاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ، وهو جتا 𝜃، أن يتخذ أي قيمة من سالب واحد إلى واحد، بما فيها سالب الواحد والواحد.