فيديو السؤال: تحديد نظام من المعادلات الممثلة على صورة معادلة مصفوفية معطاة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي نظام من أنظمة المعادلات الآتية يمكن تمثيله على صورة المعادلة المصفوفية للمصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، وهي: صفر، سالب اثنين، وثلاثة، سالب أربعة؛ مضروبة في المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد، وهي: ﺱ، ﺹ؛ يساوي المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد، وهي: خمسة، سالب ستة؟ الخيار أ: سالب اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة، وسالب اثنين ﺹ يساوي خمسة. الخيار ب: سالب اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي سالب ستة. الخيار ج: سالب اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ستة. الخيار د: سالب اثنين ﺹ يساوي خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ستة. الخيار هـ: سالب اثنين ﺹ يساوي خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي سالب ستة.

في هذا السؤال، لدينا خمسة أنظمة من المعادلات الخطية، وعلينا تحديد أي من هذه الأنظمة ممثلة على صورة معادلة مصفوفية معطاة. يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها الإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة كل نظام من أنظمة المعادلات في صورة معادلة مصفوفية، ثم مقارنة ذلك بالمعادلة المصفوفية المعطاة. ومع أن هذه الطريقة مجدية، فإن علينا إعادة كتابة خمسة أنظمة مختلفة في صورة معادلات مصفوفية. بدلًا من ذلك، من الأسهل إعادة كتابة المعادلة المصفوفية المعطاة في صورة نظام من المعادلات الخطية.

يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة. لفعل ذلك، نتذكر أن علينا ضرب كل عنصر في كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في العنصر المناظر له في أعمدة المصفوفة الثانية، ثم نجمع النواتج. لنبدأ بتطبيق هذه العملية على الصف الأول من المصفوفة الأولى. نلاحظ أن المصفوفة الثانية بها عمود واحد فقط، من ثم لدينا صفر في ﺱ زائد سالب اثنين في ﺹ. سيكون هذا إذن العنصر الذي يوجد في الصف الأول والعمود الأول من هذه المصفوفة.

ونحن نعلم أن عدد صفوف المصفوفة الناتجة سيساوي عدد صفوف المصفوفة الأولى في عملية الضرب، كما أن عدد أعمدتها سيساوي عدد أعمدة المصفوفة الثانية في عملية الضرب. وهذا يعني أن المصفوفة الناتجة ستكون رتبتها اثنان في واحد. ونحن نعلم ذلك بالفعل؛ لأننا نعلم أن حاصل الضرب هذا يجب أن يساوي المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ وهي: خمسة، سالب ستة. يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار بملاحظة أن صفرًا في ﺱ يساوي صفرًا. إذن، نحصل على سالب اثنين ﺹ.

يمكننا اتباع العملية نفسها مع الصف الثاني من المصفوفة الأولى والعمود الوحيد في المصفوفة الثانية. نحصل على ثلاثة ﺱ، ونضيف إلى هذا سالب أربعة ﺹ. وهذا يعني أن العنصر الموجود في الصف الثاني في حاصل ضرب هاتين المصفوفتين يساوي ثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺱ. يخبرنا السؤال أن حاصل ضرب هاتين المصفوفتين يجب أن يساوي المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ وهي خمسة، سالب ستة. هذا يعني أنه يمكننا جعل هاتين المصفوفتين متساويتين.

نتذكر بعد ذلك أنه لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن تكون لهما الأبعاد نفسها، ويجب أن تكون جميع العناصر المتناظرة متساوية. نحن نعلم بالفعل أن أبعاد هاتين المصفوفتين متساوية؛ لأنهما مصفوفتان من الرتبة اثنان في واحد. لكن يمكننا استخدام حقيقة أن هاتين المصفوفتين متساويتان لمساواة عناصرهما المتناظرة. وهذا يعطينا معادلتين، واحدة لكل عنصر. سالب اثنين ﺹ لا بد أن يساوي خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ لا بد أن يساوي سالب ستة. نلاحظ إذن أن نظام المعادلات هذا يطابق النظام المعطى في الخيار هـ.

جدير بالذكر أيضًا أنه لا يمكن أن يكون أي من الخيارات الأخرى صحيحًا. بالنسبة إلى الخيارات الثلاثة الأولى، نلاحظ أن المعادلة الأولى هي سالب اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة بدلًا من خمسة. هذه المعادلة ليست من مضاعفات المعادلة سالب اثنين ﺹ يساوي خمسة، لذا لا يمكن أن يكون أي من هذه الخيارات صحيحًا. بالمثل، في الخيار د، نلاحظ أن المعادلة ثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ستة ليست من مضاعفات المعادلة ثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي سالب ستة. من ثم، الإجابة الصحيحة هي الخيار هـ فقط. نظام المعادلات الذي يمكن تمثيله على صورة المعادلة المصفوفية المعطاة هو سالب اثنين ﺹ يساوي خمسة، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي سالب ستة.