نسخة الفيديو النصية
تطبيقات على المتتابعات والمتسلسلات الهندسية
في هذا الدرس، سنرى العديد من المسائل الحياتية التي تتضمن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية. كما سنطبق كل ما نعرفه عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية لمحاولة حل هذه المسائل الحياتية. وسنرى كيف نوجد النسبة المشتركة، وكيف نوجد الصيغة الصريحة للحد النوني، ورتبة حدود معينة في المتتابعات وقيمتها، وكيف نوجد مجموع عدد معين من الحدود في المتتابعة.
قبل أن نبدأ في حل المسائل الحياتية، دعونا نسترجع كل ما نعرفه عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية. أولًا، نعلم أن المتتابعات الهندسية تبدأ بقيمة ابتدائية، وعادة ما نشير إلى ذلك بـ ﺃ. بعد ذلك، في المتتابعة الهندسية، نعلم أنه توجد دائمًا نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين، وعادة ما نسمي هذا بالنسبة ﺭ. وعلى نحو مكافئ، يمكننا ضرب الحد السابق في ﺭ لنحصل على الحد التالي في المتتابعة.
وبالإضافة إلى ذلك، يمكننا أيضًا استخدام صيغة لمساعدتنا في إيجاد معلومات عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية. إذا اعتبرنا أن ﺣﻥ هو الحد النوني في متتابعة هندسية لها قيمة ابتدائية ﺃ والنسبة بين أي حدين متتاليين ﺭ، فإننا نعرف أن ﺣﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. لأن كل ما علينا فعله هو ضرب القيمة الابتدائية في ﺭ عدد ﻥ ناقص واحد من المرات للحصول على الحد النوني في المتتابعة.
بعد ذلك، نعلم أيضًا أنه يمكننا إيجاد النسبة بين أي حدين متتاليين في المتتابعة الهندسية بحساب خارج قسمة حدين متتاليين. ﺭ سيساوي ﺣﻥ زائد واحد مقسومًا على ﺣﻥ، وبالطبع، شريطة أن يكون ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا. ورأينا أيضًا كيف نوجد مجموع الحدود ﻥ الأولى في المتتابعة الهندسية. ونشير إليه بـ ﺟﻥ. وقد أوضحنا أن مجموع الحدود ﻥ الأولى لهذه المتتابعة الهندسية يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ مقسومًا على واحد ناقص ﺭ. وتجدر الإشارة إلى بضعة أمور متعلقة بهذه الصيغة. أولًا، لا تصح هذه الصيغة عندما تساوي قيمة ﺭ واحدًا؛ لأننا سنقسم بذلك على صفر. لكن إذا كان ﺭ يساوي واحدًا، فإن المتتابعة الهندسية ستساوي ﺃ على نحو متكرر. لذا، بطبيعة الحال، لا نفكر فيها على أساس أنها متتابعة هندسية.
بعد ذلك، توجد صيغة مكافئة نحصل عليها بضرب البسط والمقام في سالب واحد، وهي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد الكل على ﺭ ناقص واحد. وهاتان الصيغتان ستعطيان الإجابة الصحيحة لأي قيمة لـ ﺭ لا تساوي واحدًا. ولكن في المعتاد، نستخدم الصورة الأولى عندما تكون قيمة ﺭ أقل من واحد، ونستخدم الصورة الثانية عندما يكون ﺭ أكبر من واحد. ومع ذلك، يرجع الأمر إلى التفضيل الشخصي في اختيار الصيغة التي تريد استخدامها.
وأخيرًا، رأينا كيف نجمع عددًا لا نهائيًّا من الحدود لمتتابعة هندسية معًا. عادة ما نشير إلى هذا بالرمز ﺟ∞. ونعرف أنه يساوي ﺃ مقسومًا على واحد ناقص ﺭ، إذا كانت القيمة المطلقة للأساس ﺭ أقل من واحد. وإذا كانت القيمة المطلقة لـ ﺭ أكبر من أو تساوي واحدًا، فإن المتسلسلة تكون متباعدة. لكن ثمة تنبيه صغير في هذا الشأن. يتعين علينا التأكد من أن قيمة ﺃ لا تساوي صفرًا؛ وإلا فستكون المتتابعة صفرًا على نحو متكرر. لكننا عادة لا نفكر فيها، على أي حال، على أساس أنها متتابعة هندسية.
هيا نتناول بعض الأمثلة على كيفية تطبيق كافة هذه القوانين لإيجاد معلومات عن المسائل الحياتية.
انضمت داليا إلى شركة براتب ابتدائي قدره ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي. تتلقى زيادة في الراتب بنسبة ٢٫٥٪ بعد كل سنة كاملة تقضيها في العمل. الإجمالي الذي تحصل عليه داليا خلال ﻥ سنة يمثل متسلسلة هندسية. ما أساس المتسلسلة الهندسية؟ اكتب صيغة لـ ﺟﻥ، المبلغ الإجمالي بفئة دولار أمريكي، الذي تحصل عليه داليا في ﻥ سنة في الشركة. بعد مرور ٢٠ سنة من العمل في الشركة، تركت داليا العمل. استخدم الصيغة لحساب المبلغ الإجمالي الذي حصلت عليه في الشركة.
يتضمن السؤال جزءًا آخر سنتناوله لاحقًا. في هذا السؤال، لدينا مسألة حياتية تتضمن المبلغ الذي ستحصل عليه داليا في شركة ما خلال فترة من الزمن. علمنا أن داليا تحصل على راتب ابتدائي قدره ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي، وأنها تتلقى زيادة راتب تبلغ ٢٫٥ بالمائة بعد كل سنة كاملة تقضيها في العمل. وفي الواقع، هذه معلومات كافية لتحديد أن المبلغ الذي تكسبه خلال ﻥ من السنوات سيشكل متسلسلة هندسية. ولكن، يعطينا السؤال أيضًا هذه المعلومة.
علينا تحديد النسبة المشتركة لهذه المتسلسلة الهندسية. لفعل ذلك، علينا أولًا أن نتذكر أنه عندما نقول نسبة المتسلسلة الهندسية، فإننا نعني نسبة المتتابعة الهندسية التي تكون هذه المتسلسلة الهندسية. وتذكر أيضًا أنه في المتتابعات الهندسية، لكي نحصل على الحد التالي في المتتابعة، علينا ضرب الحد الذي يسبقه في نسبة مشتركة ما نطلق عليها ﺭ. نشير إلى القيمة الابتدائية للمتتابعة بـ ﺃ، ونشير إلى النسبة المشتركة بـ ﺭ. وعندما نجمع هذه معًا، لأننا نجمع حدود متتابعة هندسية معًا، نطلق على ذلك متسلسلة هندسية.
وتذكر أنه مذكور في السؤال أن إجمالي المبلغ المالي الذي تكسبه داليا خلال ﻥ من السنوات في العمل لدى الشركة هو متسلسلة هندسية. إذن، كل حد في هذه المتسلسلة يمثل بالفعل المبلغ المالي الذي تكسبه داليا كل سنة. توجد بضع طرق مختلفة لإيجاد هذه النسبة. تتمثل الطريقة الأولى في حساب خارج قسمة حدين متتاليين. دعونا إذن نوجد حدين من هذه الحدود المتتالية. يمكننا إيجاد القيمة الابتدائية بإيجاد المبلغ الذي ستكسبه داليا في السنة الأولى من عملها في الشركة. كما هو مذكور في السؤال؛ المبلغ يساوي ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي.
نريد بعد ذلك إيجاد المبلغ الذي تحصل عليه داليا في السنة الثانية من العمل لدى الشركة. تذكر أنه في تلك المرحلة، ستكون قد عملت لمدة سنة كاملة في الشركة، وبالتالي ستكون قد حصلت على زيادة في الراتب قدرها ٢٫٥ بالمائة. وتوجد بضع طرق مختلفة لحساب هذه القيمة. على سبيل المثال، يمكننا كتابة ذلك على صورة ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي زائد ٢٫٥ بالمائة من ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي. لكن، سنكتب ذلك على صورة ٢٨٠٠٠ دولار مضروبًا في ١٫٠٢٥.
وهذا يكفي لإيجاد النسبة المشتركة. لكن ثمة أمرًا جديرًا بالذكر هنا. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد المبلغ المكتسب في السنة الثالثة. فستحصل داليا، مرة أخرى، على زيادة راتب ٢٫٥ بالمائة مقابل العمل لمدة سنة كاملة أخرى، وهو ما يعني أن علينا إذن زيادة المبلغ المكتسب في السنة الثانية بنسبة ٢٫٥ بالمائة. ويتعين علينا مجددًا ضرب ذلك في ١٫٠٢٥. وهذا ينطبق بالطبع على أي عدد من السنين. ولهذا السبب يشكل هذا متسلسلة هندسية.
والآن، توجد بضع طرق مختلفة لإيجاد النسبة ﺭ. على سبيل المثال، يمكننا قسمة المبلغ المكتسب في السنة الثانية على المبلغ المكتسب في السنة الأولى. لكن نلاحظ أيضًا أننا نضرب في ١٫٠٢٥ في كل مرة. وهذا يكفي للإجابة عن السؤال. النسبة المشتركة لهذه المتتابعة الهندسية ﺭ تساوي ١٫٠٢٥.
الجزء الثاني من هذا السؤال يطلب منا كتابة صيغة تعبر عن ﺟﻥ، أي إجمالي المبلغ بالدولار الذي تكسبه داليا خلال ﻥ من السنوات في الشركة. تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا الإجابة عن هذا السؤال مباشرة باستخدام الصيغة التي لدينا لحساب مجموع متسلسلة هندسية. لكن، لنوضح أولًا سبب صحة ذلك. في هذه الحالة، ﺟﻥ هو إجمالي المبلغ بالدولار الذي تحصل عليه داليا خلال ﻥ من السنوات في الشركة. لإيجاد هذه القيمة، علينا جمع المبلغ الذي ستحصل عليه في السنة الأولى مع المبلغ الذي ستحصل عليه في السنة الثانية، حتى نصل إلى المبلغ الذي ستحصل عليه في السنة ﻥ.
في السنة الأولى، أوضحنا بالفعل أنها ستحصل على ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي. وفي السنة الثانية، ستحصل على زيادة راتب تبلغ ٢٫٥ بالمائة. إذن، ستحصل على ٢٨٠٠٠ مضروبًا في ١٫٠٢٥. وبجمع هذين معًا، نحصل على المبلغ الذي ستحصل عليه خلال سنتين من العمل في الشركة. وبالطبع، نعلم أن هذا ينطبق على أي عدد من السنوات، لذا يمكننا المتابعة هكذا حتى نصل إلى المبلغ الذي ستحصل عليه في السنة ﻥ. وعند هذه المرحلة، ستكون قد عملت لمدة ﻥ ناقص واحد سنة كاملة في الشركة. إذن، ستحصل على زيادة راتب ٢٫٥ بالمائة ﻥ ناقص واحد من المرات. إذن، المبلغ الذي تحصل عليه في السنة ﻥ هو ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي مضروبًا في ١٫٠٢٥ أس ﻥ ناقص واحد.
وكما أوضحنا سابقًا، هذه متسلسلة هندسية قيمتها الابتدائية ﺃ هي ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي، والنسبة بين الحدود المتتالية ﺭ هي ١٫٠٢٥. ولدينا صيغة لإيجاد مجموع عدد ﻥ من الحدود الأولى في أي متسلسلة هندسية. ﺟﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد الكل على ﺭ ناقص واحد. إذن، نعوض عن ﺃ بـ ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي وعن ﺭ بـ ١٫٠٢٥ في هذه الصيغة، فنحصل على ﺟﻥ يساوي ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي مضروبًا في ١٫٠٢٥ أس ﻥ ناقص واحد الكل على ١٫٠٢٥ ناقص واحد.
وكل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا المقدار في المقام، لدينا ١٫٠٢٥ ناقص واحد، وهو ما يساوي ٠٫٠٢٥. كل ما علينا فعله، بعد ذلك، أن نقسم ٢٨٠٠٠ على ٠٫٠٢٥. وإذا حسبنا ذلك، نحصل على ١١٢٠٠٠٠، وبهذا نحصل على الإجابة النهائية. ﺟﻥ، أي إجمالي المبلغ بالدولار الذي ستحصل عليه داليا خلال ﻥ من السنوات في العمل بالشركة، يساوي ١١٢٠٠٠٠ مضروبًا في ١٫٠٢٥ أس ﻥ ناقص واحد دولار أمريكي.
يطلب منا الجزء الثالث في السؤال تحديد المبلغ الذي ستحصل عليه داليا إذا تركت الشركة بعد ٢٠ سنة. ومطلوب منا فعل ذلك باستخدام الصيغة التي لدينا. وهذا لأنه يمكننا حساب المبلغ الذي تحصل عليه كل سنة، ثم جمع كل ذلك معًا. ومع ذلك، من الأسهل كثيرًا استخدام صيغة ﺟﻥ. تذكر أنه بما أننا نحسب المبلغ الذي تحصل عليه بعد ٢٠ سنة من العمل في الشركة، فإن قيمة ﻥ ستكون ٢٠.
إذن، نعوض بـ ﻥ يساوي ٢٠ في صيغة ﺟﻥ التي توصلنا إليها في السؤال السابق. فنحصل على ﺟ٢٠ يساوي ١١٢٠٠٠٠ مضروبًا في ١٫٠٢٥ أس ٢٠ ناقص واحد دولار. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار وقربنا الإجابة لأقرب سنت، فسنحصل على ٧١٥٢٥٠ دولارًا و ٤١ سنتًا.
لكن ما زال علينا الإجابة عن جزء أخير من هذا السؤال، لذا هيا نفرغ بعض المساحة.
يطلب منا الجزء الأخير من هذا السؤال شرح لماذا سيكون المبلغ الفعلي الذي حصلت عليه مختلفًا عن المبلغ المحسوب باستخدام الصيغة. الخيار (أ) أنفقت جزءًا من المال خلال ٢٠ سنة. الخيار (ب) قيمة الدولار تتغير مع الوقت. الخيار (ج) ستكون النسبة المئوية للمبلغ الفعلي مختلفة مقارنة بالمبلغ المحسوب باستخدام الصيغة. الخيار (د) ستكون القيمة الابتدائية للمبلغ الفعلي مختلفة مقارنة بالمبلغ المحسوب باستخدام الصيغة. أو الخيار (هـ) عند اللزوم، سيقرب الراتب السنوي الجديد.
ينطوي الجزء الأخير من هذا السؤال على مسألة مثيرة للاهتمام. إذا كانت داليا ستحسب المبلغ الذي يجب أن تحصل عليه باستخدام الصيغة التي لدينا، فستجد أن إجابتها ستختلف عن المبلغ الفعلي الذي حصلت عليه. لدينا هنا خمسة خيارات ممكنة لمعرفة سبب ذلك. يمكننا الإجابة عن هذا مباشرة من طريقتنا المتبعة في حل المسألة. لكن، دعونا نتناول الخيارات الخمسة أولًا.
يخبرنا الخيار (أ) أنها ستكون قد أنفقت جزءًا من المال خلال ٢٠ سنة. مع أن هذا صحيح؛ فمن المرجح أن تكون قد أنفقت بالفعل جزءًا من المال خلال ٢٠ سنة، فهذا لن يؤثر على إجمالي المبلغ الذي حصلت عليه خلال مدة الـ ٢٠ سنة. بل سيؤثر في الواقع على إجمالي المبلغ الذي تبقى لها. إذن، الخيار (أ) ليس الإجابة الصحيحة.
يشير الخيار (ب) إلى أن الإجابة الصحيحة يجب أن تكون أن المبلغ الإجمالي الذي حصلت عليه خلال ٢٠ سنة سيكون مختلفًا لأن قيمة الدولار تتغير مع الزمن. وبالطبع، نعرف أن هذا صحيح لأن قيمة الدولار ستتغير مع الزمن. لكن، طوال الـ ٢٠ سنة التي عملت فيها داليا في الشركة، كانت تحصل على الراتب بالدولار. إذن، من المستبعد أن تغير قيمة الدولار من إجمالي المبلغ المالي الذي حصلت عليه في أي وقت من الأوقات لأنها كانت تتقاضى دائمًا الراتب بالدولار على أي حال. إذن، الخيار (ب) غير صحيح. فهو لن يغير إجمالي المبلغ الذي حصلت عليه. ومع ذلك، يمكن القول بأن ذلك سيغير قيمة المبلغ الذي حصلت عليه، لكن ليس إجمالي المبلغ.
يذكر الخيار (ج) أنه كان يجب أن نستخدم نسبة مئوية مختلفة عندما كنا نحسب باستخدام الصيغة. نعرف أن هذا أيضًا لن يكون صحيحًا لأننا علمنا من المعطيات أن راتبها سيزيد كل سنة بنسبة ٢٫٥ بالمائة، واستخدمنا هذه القيمة طوال الوقت. إذن، لا يمكن أن يكون الخيار (ج) صحيحًا لأننا نعلم أن راتبها يزيد بنسبة ٢٫٥ بالمائة كل سنة.
يذكر الخيار (د) أنه كان علينا استخدام قيمة ابتدائية مختلفة لهذه الصيغة. ومرة أخرى، نعلم أن هذا غير صحيح لأننا نعلم من السؤال أن الراتب الابتدائي هو ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي. إذن، بعد سنة كاملة في العمل، ستحصل على ٢٨٠٠٠ دولار. هذه ستكون القيمة الابتدائية. لذا، فإن الخيار (د) أيضًا لا يمكن أن يكون صحيحًا.
هذا يتركنا إذن مع الخيار (هـ) الذي يذكر أنه، عند اللزوم، سيقرب الراتب السنوي الجديد. دعونا نناقش لماذا قد يغير ذلك المبلغ الفعلي الذي حصلت عليه. لتسليط الضوء على ذلك، دعونا نحسب مبلغ المال الذي ستربحه كل سنة من عملها في الشركة. هيا نبدأ بالسنة الأولى. وبالطبع، في السنة الأولى، تحصل على راتبها الابتدائي ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي. في السنة الثانية، ستحصل على ٢٨٠٠٠ دولار أمريكي زائد زيادة راتب ٢٫٥ بالمائة. إذن، هذا يساوي ٢٨٠٠٠ في ١٫٠٢٥. وإذا حسبنا هذه القيمة، فسنحصل على ٢٨٧٠٠ دولار أمريكي بالضبط.
دعونا نفعل الشيء نفسه مع السنة الثالثة والرابعة. في السنة الثالثة، سنحسب أنها حصلت على ٢٨٠٠٠ دولار مضروبًا في ١٫٠٢٥ تربيع، وفي السنة الرابعة، ٢٨٠٠٠ دولار مضروبًا في ١٫٠٢٥ تكعيب. وإذا حسبنا ذلك، فسنجد أن راتبها في السنة الثالثة يساوي ٢٩٤١٧ دولارًا و ٥٠ سنتًا. وفي السنة الرابعة، حصلنا على ٣٠١٥٢ دولارًا و ٩٣ سنتًا. لكننا نحصل أيضًا على ٠٫٧٥ سنت إضافية. وهنا ستبدأ المشكلة في الظهور؛ لأنه يتعذر على الشركة أن تعطيها ٠٫٧٥ سنت. إذن، على الأرجح، ستقرب الشركة المبلغ وتعطيها ٣٠١٥٢ دولارًا و ٩٤ سنتًا.
ومع ذلك، فإن الصيغة تجمع المبلغ المحدد الذي يحسب كل سنة، في حين أن المبلغ الفعلي الذي اكتسبته انطوى على استخدام القيمة الفعلية التي حصلت عليها. وهذا التقريب قد يجعل الصيغة خاطئة في هذه الحالة. تجدر الإشارة إلى أن هذا يصح فقط عند التعامل بالدولار والسنت، لأنه لا يمكننا في هذه الحالة إعطاء ٠٫٧٥ سنت. لكن هذه ليست الحال دائمًا. فعلى سبيل المثال، إذا كنا نتعامل مع الطول، فيمكننا الاستمرار في الانخفاض إلى الحد الذي نريده. ولهذا السبب، من المهم جدًّا، عند التعامل مع المسائل الحياتية، الإلمام بكافة الأشياء التي تتعامل معها.
استطعنا إثبات أن المبلغ الذي حصلت عليه كان مختلفًا عن المبلغ الذي حسبناه باستخدام الصيغة بناء على الخيار (هـ)، عند اللزوم، سيقرب الراتب السنوي الجديد.
لنتناول الآن مثالًا مختلفًا لمسألة حياتية تتضمن متتابعات ومتسلسلات هندسية.
أنتج منجم ذهب ٢٢٥٧ كيلوجرامًا في السنة الأولى، لكن انخفض الإنتاج بنسبة ١٤ بالمائة سنويًّا. أوجد إجمالي كمية الذهب المنتجة في السنة الثالثة وإجمالي كمية الذهب على مدار الثلاث سنوات. وقرب الإجابة لأقرب كيلوجرام.
في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن منجم للذهب. علمنا أنه في السنة الأولى للإنتاج، أنتج منجم الذهب ٢٢٥٧ كيلوجرامًا. لكننا نعلم أن هذا المقدار انخفض بنسبة ١٤ بالمائة سنة تلو الأخرى. يطلب منا السؤال إيجاد أمرين. يطلب منا إيجاد كمية الذهب الذي ينتج في السنة الثالثة للإنتاج، بالإضافة إلى إيجاد إجمالي الكمية المنتجة في الثلاث سنوات الأولى. وعلينا تقريب الإجابتين لأقرب كيلوجرام.
في الواقع توجد طريقتان مختلفتان للإجابة عن هذا السؤال. الطريقة الأولى تتمثل في إيجاد هذه القيم مباشرة بناء على المعلومات المعطاة لنا في السؤال. إذ يذكر لنا السؤال أنه في السنة الأولى، ينتج منجم الذهب ٢٢٥٧ كيلوجرامًا من الذهب. يمكننا معرفة كمية الذهب المنتجة في السنة الثانية بتذكر أن هذه الكمية ستنخفض بنسبة ١٤ بالمائة كل سنة. توجد بضع طرق مختلفة لإيجاد قيمة الانخفاض الذي يبلغ ١٤ بالمائة.
تتمثل إحدى الطرق في الضرب في واحد ناقص ٠٫١٤. وتجدر الإشارة هنا إلى أننا نطرح ٠٫١٤ لأنه انخفاض. علينا إذن الطرح، ونحصل على ٠٫١٤؛ لأن الأساس ﺭ، يساوي ١٤، وعلينا قسمته على ١٠٠. ما نريد قوله هنا إن الانخفاض الذي يبلغ ١٤ بالمائة يعادل الضرب في ٠٫٨٦. ومن ثم، فإن كمية الذهب المنتجة في المنجم في السنة الثانية هي ٢٢٥٧ مضروبًا في ٠٫٨٦ كيلوجرام. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك بالضبط، ومن ثم نحصل على ١٩٤١٫٠٢ كيلوجرامًا. وعلينا ألا نقرب الإجابة حتى نهاية السؤال، لذا سنتركها كما هي بالضبط.
بعد ذلك، سيكون علينا فعل الأمر نفسه تمامًا مع السنة الثالثة. مرة أخرى، يذكر السؤال أن المنجم سينتج في السنة الثالثة ذهبًا أقل بنسبة ١٤ بالمائة من إنتاجه في السنة الثانية. إذن، أحد الأمور التي يمكننا فعلها هو ضرب كمية الذهب التي حصلنا عليه في السنة الثانية في ٠٫٨٦. لكن، في الواقع من السهل ضرب هذا المقدار في ٠٫٨٦. بضرب هذا المقدار في ٠٫٨٦ والتبسيط، نحصل على ٢٢٥٧ مضروبًا في ٠٫٨٦ تربيع كيلوجرام. بحساب قيمة هذا المقدار بالضبط، نحصل على ١٦٦٩٫٢٧٧٢ كيلوجرامًا.
يمكننا الآن استخدام هذه القيم الثلاث للإجابة عن السؤال. أولًا، يمكننا إيجاد كمية الذهب المنتجة في السنة الثالثة عن طريق تقريب هذا العدد لأقرب كيلوجرام. وهو ما يساوي ١٦٦٩ كيلوجرامًا. بعد ذلك، يمكننا إيجاد إجمالي كمية الذهب المنتجة في ثلاث سنوات بجمع هذه القيم الثلاث معًا. وبهذا يكون لدينا ٢٢٥٧ كيلوجرامًا زائد ١٩٤١٫٠٢ كيلوجرامًا زائد ١٦٦٩٫٢٧٧٢ كيلوجرامًا. وبحساب قيمة هذا المقدار، سنحصل على ٥٨٦٧٫٢٩٧٢ كيلوجرامًا. وللتقريب لأقرب كيلوجرام، نلاحظ أن المنزلة العشرية الأولى هي اثنان، ومن ثم علينا التقريب لأسفل لنحصل على ٥٨٦٧ كيلوجرامًا.
لكن، ماذا كان سيحدث إذا أردنا إيجاد كمية الإنتاج في المزيد من السنوات الأخرى؟ يتضح لنا أن هذه الطريقة كانت مجدية حقًّا لأننا أردنا فقط حساب السنوات الثلاث الأولى. وإذا طلب منا إيجاد عدد أكبر من السنوات في هذا المثال، فكنا سنلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام. أننا، في كل سنة، نضرب في نسبة ثابتة تساوي ٠٫٨٦. وتذكر أنه، في المتتابعات، إذا ضربنا في نسبة ثابتة للحصول على الحد التالي في المتتابعة، فإننا نطلق على ذلك متتابعة هندسية.
إذن، الذهب المنتج في المنجم بعد ﻥ من السنوات يشكل متتابعة هندسية قيمتها الابتدائية ﺃ، تساوي ٢٢٥٧ كيلوجرامًا، وأساسها ﺭ، يساوي ٠٫٨٦. يمكننا بعد ذلك استخدام معلوماتنا عن المتتابعات الهندسية لإيجاد كمية الذهب المنتجة بعد عدد ﻥ من السنوات في المنجم، وإجمالي كمية الذهب المنتجة بعد عدد ﻥ من السنوات. سنعوض بـ ﻥ يساوي ثلاثة، وقيمة كل من ﺃ وﺭ في الصيغتين لإيجاد هذين المقدارين. وبعد التقريب، نحصل على الإجابات نفسها التي حصلنا عليها من قبل. ﺃ ثلاثة يساوي ١٦٦٩ كيلوجرامًا، وﺟ ثلاثة يساوي ٥٨٦٧ كيلوجرامًا.
لنراجع الآن النقاط الأساسية التي جاءت في هذا الفيديو. أولًا، العديد من المسائل الحياتية تتضمن متتابعات ومتسلسلات هندسية. علمنا أيضًا أنه إذا تسنى لنا تحويل أي من هذه المسائل الحياتية إلى مسألة تتضمن متتابعة أو متسلسلة هندسية، فيمكننا إذن استخدام أي من النتائج التي نعرفها عن المتتابعات أو المتسلسلات الهندسية لمساعدتنا في الإجابة عن هذه الأسئلة. وأخيرًا، يجب أن نتحقق دائمًا من أن الإجابات التي نحصل عليها منطقية في الموقف الحياتي المعطى. على سبيل المثال، في بعض الأحيان، تتضمن العمليات الحسابية التي نجريها قيمًا لأعداد غير صحيحة للتعدادات السكانية. ويتعين علينا دومًا مراعاة مدى تأثير هذا على الإجابة النهائية التي نحصل عليها.
