نسخة الفيديو النصية
أي مما يأتي يمكن أن يكون التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ تساوي اثنين ﺱ في جا اثنين 𝜋ﺱ على الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد؟
لدينا هنا خمسة تمثيلات بيانية يمكن أن يمثل أي منها الدالة اثنان ﺱ جا اثنين 𝜋ﺱ على الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. هناك بعض الخطوات التي يمكننا القيام بها لتحديد أي تمثيل من التمثيلات البيانية يعنينا. في البداية، سنجعل الدالة لدينا تساوي صفرًا. وهذا سيوضح موضع أي جزء مقطوع من المحور ﺱ. بعبارة أخرى، اثنان ﺱ جا اثنين 𝜋ﺱ يساوي صفرًا.
حسنًا، هذه الدالة هي في الواقع حاصل ضرب دالتين منفردتين. إنها حاصل ضرب اثنين ﺱ في جا اثنين 𝜋ﺱ. ولكي يكون حاصل ضرب دالتين يساوي صفرًا، يجب أن تكون إحدى هاتين الدالتين تساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا قول إن اثنين ﺱ يساوي صفرًا أو جا اثنين 𝜋ﺱ يساوي صفرًا.
دعونا نقسم المعادلة الأولى على اثنين، وبذلك يكون ﺱ يساوي صفرًا. ويمكننا حل المعادلة الثانية جبريًّا، أو يمكننا ببساطة التفكير في شكل منحنى دالة الجيب. نحن نعلم أن التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي جا ﺱ يبدو بهذا الشكل. ونلاحظ أنها تساوي صفرًا عند سالب 𝜋 وصفر و𝜋 واثنين 𝜋.
إننا نعلم أنه بما أن دالة الجيب دورية، فإن قيم ﺱ هذه ستتكرر. سيكون لدينا سالب اثنين 𝜋، وسالب ثلاثة 𝜋، وهكذا. نحن نعلم حقيقة أن اثنين 𝜋ﺱ يمكن أن يساوي سالب اثنين 𝜋 وسالب 𝜋 وصفرًا و𝜋 واثنين 𝜋. سنقسم الطرفين على اثنين 𝜋. ونجد بذلك أن ﺱ يساوي سالب واحد وسالب نصف وصفرًا ونصفًا وواحدًا.
ما يعنينا الآن بالطبع هو قيم ﺱ فقط على الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. لذا، فإننا لا نحتاج إلى التفكير في أي نقاط أخرى. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى أن هناك خمسة أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ بواسطة الدالة. وهي سالب واحد وسالب نصف وصفر ونصف وواحد.
في الحقيقة، يمكننا الإجابة عن السؤال لدينا بمجرد النظر إلى التمثيلات البيانية المعطاة. لكننا سنتناول بعض الخيارات البديلة. يمكننا التفكير في قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ بجعل ﺱ يساوي صفرًا وإيجاد ﺩ لصفر. حسنًا، ﺩ لصفر يساوي صفرًا. وبذلك، نحن نعرف الآن موضع الجزء المقطوع من المحور ﺹ في التمثيل البياني. لكن ماذا عن نقاط التحول أو النقاط الحرجة في التمثيل البياني؟
إننا نعلم أن النقاط الحرجة لأي دالة هي نقاط تكون فيها المشتقة الأولى، ﺩ شرطة ﺱ، إما تساوي صفرًا وإما تكون غير موجودة. إذن، دعونا نوجد المشتقة الأولى للدالة لدينا. بما أن الدالة هي حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، فسنستخدم قاعدة الضرب. سنجعل ﻉ يساوي اثنين ﺱ، وﻕ يساوي جا اثنين 𝜋ﺱ. ومن ثم، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين. نحن نعلم أيضًا أننا إذا اشتققنا جا ﺱ، فسنحصل على جتا ﺱ. ومن ثم، فإن مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين 𝜋 في جتا اثنين 𝜋ﺱ.
تنص قاعدة الضرب على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، ﻉ وﻕ، تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وفي الحالة لدينا، هذا يساوي اثنين جا اثنين 𝜋ﺱ زائد أربعة 𝜋ﺱ في جتا اثنين 𝜋ﺱ. حسنًا، هذه دالة معرفة بالفعل لجميع قيم ﺱ. لذا، سنساويها بصفر ونحل لإيجاد قيمة ﺱ.
هذه ليست معادلة سهلة الحل. لذلك، سنستخدم الآلة الحاسبة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﺱ يساوي موجب وسالب ٠٫٧٨١ وهكذا مع توالي الأرقام، وموجب وسالب ٠٫٣٢٢. يوجد حل آخر، وهو ﺱ يساوي صفرًا. وهذا يخبرنا بقيمة الإحداثي ﺱ لأي نقطة حرجة.
نلاحظ أن لدينا إجمالي خمس نقاط حرجة أو نقاط تحول. ومن ثم، فإننا نبحث عن التمثيل البياني الذي يكون فيه الجزء المقطوع من المحور ﺱ عند سالب واحد وسالب نصف وصفر ونصف وواحد. ويكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند صفر. وتكون هناك خمس نقاط حرجة عند موجب وسالب ٠٫٧٨١٩، وﺱ يساوي موجب وسالب ٠٫٣٢٢، وﺱ يساوي صفرًا. في الواقع، التمثيل البياني الوحيد الذي يفي بهذا المعيار هو (أ). إذن، يمكننا قول إن التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ يساوي اثنين ﺱ جا اثنين 𝜋ﺱ هو (أ).
