فيديو السؤال: إيجاد متجه عزم المحصلة لقوتين حول نقطة الأصل في ثلاثة أبعاد الرياضيات

في الشكل، إذا كانت القوتان ﻕ_١ = −٧ﺱ − ﺹ + ٣ﻉ، ﻕ_٢= −٧ﺱ + ٨ﺹ − ٦ﻉ تؤثران على النقطة ﺃ؛ حيث ﻕ_١، ﻕ_٢ مقيستان بالنيوتن، فأوجد متجه عزم المحصلة حول النقطة ﻭ بالنيوتن سنتيمتر.

١١:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الشكل، إذا كانت القوتان ﻕ واحد تساوي سالب سبعة ﺱ ناقص ﺹ زائد ثلاثة ﻉ ، وﻕ اثنان تساوي سالب سبعة ﺱ زائد ثمانية ﺹ ناقص ستة ﻉ تؤثران على النقطة ﺃ؛ حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان مقيستان بالنيوتن، فأوجد متجه عزم المحصلة حول النقطة ﻭ بالنيوتن سنتيمتر.

في الشكل الآتي، لدينا ما يشبه ثلاثة أنابيب متصلة بعضها ببعض. وقد وضع هذا الجسم على مجموعة من محاور ثلاثية الأبعاد. لدينا المحور ﺱ الذي يشير إلى اليمين، والمحور ﺹ الذي يشير لأعلى، والمحور ﻉ الذي يشير إلى خارج الشاشة. لدينا أيضًا بعض القياسات التي تصف ارتفاع الجسم وعرضه وعمقه. كما يمكننا أن نلاحظ أن النقطتين ﻭ وﺃ محددتان على الشكل. النقطة ﻭ هي نقطة الأصل لهذه المحاور. ويخبرنا السؤال بأن النقطة ﺃ هي النقطة التي تؤثر عليها القوتان ﻕ واحد وﻕ اثنان.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد متجه عزم المحصلة حول النقطة ﻭ. لذلك، يمكننا تقسيم هذا السؤال إلى جزأين. أولًا: علينا إيجاد المحصلة. وفور إيجاد المحصلة، علينا إيجاد متجه العزم الناتج عن هذه المحصلة حول النقطة ﻭ. في هذا السؤال، بما أنه لا توجد سوى قوتين مؤثرتين، وهما ﻕ واحد وﻕ اثنان، فإننا نعلم أن المحصلة يجب أن تشير إلى محصلة هاتين القوتين.

حسنًا، لإيجاد محصلة القوتين، علينا إيجاد مجموع متجهيهما. بعبارة أخرى: القوة المحصلة أو الكلية ﺡ تساوي مجموع ﻕ واحد وﻕ اثنين. إذا بدأنا بمركبتي ﺱ، فسنجد أن المركبة ﺱ للقوة ﻕ واحد تساوي سالب سبعة ﺱ ، والمركبة ﺱ للقوة ﻕ اثنين تساوي سالب سبعة ﺱ أيضًا. ومجموع هاتين المركبتين يساوي سالب ١٤ﺱ . بعد ذلك، عندما ننظر إلى مركبتي ﺹ للقوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين، نجد أن المركبة ﺹ للقوة ﻕ واحد تساوي سالب ﺹ والمركبة ﺹ للقوة ﻕ اثنين تساوي موجب ثمانية ﺹ . ومجموع هاتين المركبتين هو موجب سبعة ﺹ . وأخيرًا، بالنظر إلى مركبتي ﻉ، نجد أن لدينا موجب ثلاثة ﻉ وسالب ستة ﻉ ، ومجموعهما يساوي سالب ثلاثة ﻉ . إذن هذه هي القوة المحصلة.

يمكننا تمثيل هذه الفكرة عن طريق رسم متجهات القوة على الشكل. بما أن القوتين ﻕ واحدًا وﻕ اثنين تؤثران على النقطة نفسها، فإن تأثيرهما الكلي على النظام يساوي تأثير القوة المحصلة لهما ﺡ. وهذا يعني أنه عندما نوجد متجه العزم الناتج عن هذه المحصلة حول النقطة ﻭ، فإننا في الواقع سنوجد العزم الكلي الناتج عن القوتين معًا.

لإجراء ذلك، دعونا نتذكر أن متجه العزم ﺟ الناتج عن قوة تؤثر على نقطة ما يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الإزاحة ﺭ ومتجه القوة ﻕ. ‏ﺭ متجه إزاحة النقطة التي تؤثر عليها القوة، بالنسبة إلى النقطة التي نحسب حولها العزوم. في هذا السؤال، نريد حساب العزم حول نقطة الأصل ﻭ والقوى المؤثرة على النقطة ﺃ. إذن ﺭ هو متجه الإزاحة الذي ينقلنا من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ. وبما أننا نريد إيجاد العزم الناتج عن المحصلة، فإن متجه القوة الذي سنستخدمه هو ﺡ، الذي حسبناه بالفعل.

إذا أردنا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﺡ، علينا أولًا إيجاد مركبات المتجه ﺭ. ويمكننا إجراء ذلك باستخدام القياسات المعطاة في الشكل. وبما أننا أوجدنا القوة المحصلة، دعونا نحذف ﻕ واحدًا وﻕ اثنين من الشكل، ليصبح أكثر وضوحًا.

لإيجاد متجه الإزاحة ﺭ، دعونا نفكر كيف ننتقل من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ. وإحدى الطرق التي يمكننا من خلالها فعل ذلك هي أن نتخيل الانتقال خلال هذا النظام المكون من ثلاثة أنابيب. بالبدء من نقطة الأصل، يمكننا الانتقال إلى أعلى الأنبوب الأول. ويمكننا أن نلاحظ من الشكل أن هذه إزاحة قدرها ١٢ سنتيمترًا في اتجاه ﺹ الموجب. والانتقال من هنا إلى نهاية الأنبوب التالي سيتضمن إزاحة قدرها ثمانية سنتيمترات في اتجاه ﻉ الموجب. وأخيرًا، سيتضمن الانتقال من هنا إلى النقطة ﺃ إزاحة قدرها تسعة سنتيمترات في اتجاه ﺱ الموجب. إذن إجمالًا، متجه الإزاحة ﺭ به المركبة ﺱ تساوي موجب تسعة سنتيمترات، والمركبة ﺹ تساوي موجب ١٢ سنتيمترًا، والمركبة ﻉ تساوي موجب ثمانية سنتيمترات.

وباستخدام صيغة المتجهات، نجد أن ﺭ يساوي تسعة ﺱ زائد ١٢ﺹ زائد ثمانية ﻉ . ومن ثم، يمكننا الآن إيجاد متجه العزم الكلي بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﺡ. يمكننا أن نلاحظ هنا أنه بما أن ﺭ معبر عنه بالسنتيمترات، وﺡ معبر عنه بوحدة النيوتن، فعند حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﺡ، سنعبر عن الناتج بوحدة النيوتن سنتيمتر، وهي الوحدة المطلوب استخدامها في السؤال.

لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين، علينا إيجاد محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة؛ حيث عناصر الصف العلوي تكون متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ . والعناصر الموجودة في الصف الأوسط هي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ للمتجه ﺭ، معبرًا عنها دون متجهات الوحدة. والعناصر الموجودة في الصف السفلي هي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ للمتجه ﺡ، معبرًا عنها أيضًا دون متجهات الوحدة.

لاحظ أن ترتيب كتابة هذه المتجهات أمر مهم. فالمتجه الأول يكون في الصف الأوسط، والمتجه الثاني يكون في الصف السفلي. هذا يعني أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﺡ لا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺡ وﺭ. لذا، علينا أن ننتبه إلى أن نتذكر ترتيب متجه الإزاحة ومتجه القوة عندما نكتب هذه المعادلة.

بالرجوع إلى العملية الحسابية، يمكننا الآن كتابة مركبات المتجهين ﺭ وﺡ. تذكر أننا نكتب هذه المركبات دون متجهات الوحدة الخاصة بها. لذا، لدينا في المتجه ﺭ المركبة ﺱ تساوي تسعة، والمركبة ﺹ تساوي ١٢، والمركبة ﻉ تساوي ثمانية. وفي المتجه ﺡ المركبة ﺱ تساوي سالب ١٤، والمركبة ﺹ تساوي سبعة، والمركبة ﻉ تساوي سالب ثلاثة.

سنحسب هذا المحدد على ثلاثة أجزاء. أولًا: لدينا متجه الوحدة ﺱ مضروبًا في ١٢ في سالب ثلاثة ناقص ثمانية في سبعة. بعد ذلك، نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في تسعة في سالب ثلاثة ناقص ثمانية في سالب ١٤. وأخيرًا: نضيف إلى ذلك متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في تسعة في سبعة ناقص ١٢ في سالب ١٤.

يمكننا الآن تبسيط كل من هذه الحدود. ‏١٢ في سالب ثلاثة يساوي سالب ٣٦. نطرح بعد ذلك ثمانية في سبعة، وهو ما يساوي ٥٦. وسالب ٣٦ ناقص ٥٦ يساوي سالب ٩٢، وهذا يعطينا سالب ٩٢ﺱ . بالنظر إلى الحد التالي، نجد أن تسعة في سالب ثلاثة يساوي سالب ٢٧. ثم نطرح ثمانية في سالب ١٤، وهو ما يساوي سالب ١١٢. طرح سالب ١١٢ هو بالطبع إضافة ١١٢. لذلك، سالب ٢٧ زائد ١١٢ يساوي ٨٥. إذن، إجمالًا، يمكن تبسيط هذا الحد إلى سالب ٨٥ﺹ .

والآن، بالنظر إلى الحد الثالث والأخير، نجد أن لدينا تسعة في سبعة، وهو ما يساوي ٦٣. ثم نطرح ١٢ في سالب ١٤، وهو ما يساوي سالب ١٦٨. إننا نطرح مرة أخرى عددًا سالبًا. وهذا يماثل إضافة ١٦٨. لذلك، ٦٣ زائد ١٦٨ يساوي ٢٣١. وعليه، هذا الحد الأخير يساوي ٢٣١ﻉ . وهذه هي الإجابة النهائية.

إذن عزم المحصلة الناتج حول النقطة ﻭ يساوي سالب ٩٢ﺱ ناقص ٨٥ﺹ زائد ٢٣١ﻉ . بما أننا عبرنا عن ﺭ بالسنتيمترات، وعن ﺡ بالنيوتن، فإننا سنعبر عن الناتج؛ وهو حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين، بوحدة النيوتن سنتيمتر.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان يمكننا الحصول على الإجابة نفسها بحساب العزم الناتج عن القوة ﻕ واحد، والعزم الناتج عن القوة ﻕ اثنين كل على حدة، ثم جمعهما معًا لإيجاد عزم المحصلة. ومع ذلك، فإن هذا كان سيستغرق وقتًا أطول؛ لأنه سيتضمن حساب حاصلي ضربين اتجاهيين، أحدهما للمتجه ﻕ واحد والآخر للمتجه ﻕ اثنين. وبما أن كلًّا من هاتين القوتين توثران عند النقطة نفسها، فمن الأسرع في هذه الحالة جمع هاتين القوتين معًا وإيجاد القوة المحصلة لهما، ثم حساب حاصل ضرب اتجاهي واحد فقط. لكن في الحالات التي تكون لدينا فيها قوى تؤثر على جسم ما عند نقاط مختلفة، فلن نتمكن حينها من استخدام هذه الطريقة المختصرة. وبدلًا من ذلك، سيكون علينا حساب العزم الناتج عن كل قوة على حدة، ثم جمع تلك العزوم معًا لإيجاد عزم المحصلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.