فيديو الدرس: محصلة القوى المستوية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة مجموعة قوى تؤثر على نقطة ما. لعلنا نتذكر أن هناك طرقًا كثيرة يمكن استخدامها لإعادة صياغة القوى. وعادة ما يكون من السهل التعامل مع نظام قوى كبير ومعقد عن طريق اختزاله بحيث يشمل عددًا من المسائل الأبسط. نسمي هذه العملية «تحليل القوى» أو «أنظمة القوى». وهي إحدى طرق تبسيط نظام القوى المؤثرة على جسم ما، والذي يبدو من المستحيل التعامل معه ما لم نستخدم هذه الطريقة.

في هذا الفيديو، ما يعنينا في المقام الأول هو أنظمة القوى المستوية. عندما نتحدث عن هذا النوع من أنظمة القوى، فإننا نتحدث عن نظام تكون فيه القوى مؤثرة في مستوى واحد. وقد تكون تلك القوى متوازية أو متعامدة، أو حتى تؤثر بزاوية ميل. في تلك الحالات، سيكون علينا استخدام حساب المثلثات لتحليلها إلى مركباتها المختلفة؛ عادة بدلالة المركبتين الأفقية والرأسية. ثم بمجرد القيام بذلك وتحديد اتجاه موجب بالطبع، يمكننا إيجاد محصلة القوى. وهي مجموع القوى بمركبتيها.

لذا سنبدأ بتناول مثال على كيفية إجراء ذلك. وسنتناول كيفية تطبيق حساب المثلثات القائمة الزاوية على نظام للقوى معطى بالصورة المتجهة.

محصلة القوى ﻕ واحد يساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ نيوتن، وﻕ اثنان يساوي خمسة ﺱ ناقص سبعة ﺹ نيوتن، وﻕ ثلاثة يساوي اثنين ﺱ زائد تسعة ﺹ نيوتن تكون الزاوية 𝜃 مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. أوجد ﺣ، مقدار المحصلة، وقيمة ظا 𝜃.

لدينا ثلاث قوى متجهة في هذا السؤال. هذه القوى المتجهة معطاة بدلالة المركبتين ﺱ وﺹ. ‏‏‎ﺱ وﺹ متجها وحدة، ويؤثر أحدهما عموديًا على الآخر. ونقول بوجه عام إن متجه الوحدة ﺱ يؤثر في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، بينما يؤثر متجه الوحدة ﺹ في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ.

في الواقع، مطلوب منا حساب بعض المعلومات عن محصلة هذه القوى. ونتذكر بالطبع أن محصلة عدد من القوى هي ببساطة المجموع الاتجاهي لتلك القوى. لذا، سنجمع المتجهات ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين زائد ﻕ ثلاثة. يمكننا القول إذن إن محصلة القوى الثلاثة ستكون عبارة عن متجه واحد بدلالة ﺱ وﺹ. ونحسب قيمة هذا المتجه بجمع سالب أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ، وخمسة ﺱ ناقص سبعة ﺹ، واثنين ﺱ زائد تسعة ﺹ.

بالطبع لجمع عدد من المتجهات، فإننا ببساطة نجمع مركباتها المنفردة. سنبدأ بتناول مركبات ﺱ. وهي سالب أربعة ﺱ زائد خمسة ﺱ زائد اثنين ﺱ. سالب أربعة زائد خمسة زائد اثنين يساوي ثلاثة. إذن، نعرف أن المركبة ﺱ لمتجه محصلة القوى تساوي ثلاثة. بعد ذلك نجمع مركبات ﺹ، وهي اثنان وسالب سبعة وتسعة، لنجد أن المركبة ﺹ لمتجه محصلة القوى تساوي أربعة. وبالطبع الوحدة هنا هي نيوتن أيضًا. إذن، هذه هي محصلة القوى.

لكننا في الواقع نريد إيجاد قيمة ﺣ، وهو مقدار المحصلة. ولعلنا نتذكر أنه، كنتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس، مقدار المتجه الذي مركبته ﺱ هي ﺃ ومركبته ﺹ هي ﺏ، يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه. إذن، فهو يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. لذا، فإن هذا يعني أن مقدار المحصلة سيساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع. ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي ٢٥. وسنوجد الجذر التربيعي الموجب لـ ٢٥، وهو ما يساوي ببساطة خمسة. يقاس متجه المحصلة بوحدة النيوتن، ومن ثم فإن مقدار هذا المتجه يجب أن يكون بوحدة النيوتن أيضًا. إذن، يمكننا القول إن مقدار المحصلة يساوي خمسة نيوتن.

ما زلنا بحاجة إلى إيجاد قيمة ظا 𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية التي يصنعها متجه المحصلة مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. هيا نرسم هذا ونر كيف سيبدو. ها هو متجه المحصلة. إنه يساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ. بما أن المركبة الأفقية ﺱ تساوي ثلاث وحدات والمركبة الرأسية ﺹ تساوي أربع وحدات، فيمكننا رسم مثلث قائم الزاوية بالقياسات ثلاث وأربع وحدات كما هو موضح. ولقد أوجدنا بالفعل المحصلة، وهي تساوي خمسة نيوتن. ‏‏𝜃 هي هذه الزاوية هنا. إنها الزاوية التي يصنعها متجه محصلة القوى، أي الخط الأصفر، مع الجزء الموجب من المحور ﺱ.

لدينا هنا مثلث قائم الزاوية نعلم قياسات أضلاعه الثلاثة. لذا، لإيجاد قياس الزاوية المحصورة، سنستخدم حساب المثلثات القائمة الزاوية. ونلاحظ أن طول الضلع المجاور للزاوية المحصورة يساوي ثلاث وحدات، وطول الضلع المقابل لها يساوي أربع وحدات. يمكننا إذن استخدام نسبة ظل الزاوية لإيجاد قيمة 𝜃. وبما أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإن ظا 𝜃 هنا يساوي أربعة على ثلاثة. وبهذا نكون قد انتهينا من الحل.

ويمكننا، إذا طلب منا، أن نوجد قيمة 𝜃 بإيجاد الدالة العكسية أو الدالة العكسية لـ ظا لطرفي المعادلة. لكن كان المطلوب منا هو إيجاد قيمة ظا 𝜃، وبذلك نكون قد انتهينا من الحل. إذن، قيمة ﺣ هي خمسة نيوتن، وظا 𝜃 يساوي أربعة على ثلاثة.

حسنًا، هذا عظيم. لقد رأينا كيف نوجد محصلة القوى المستوية المعطاة على الصورة المتجهة. ورأينا أيضًا كيف نستنتج معلومات من ذلك. لكن ماذا سنفعل لو كان لدينا شكل وقوى مؤثرة بزاوية ميل؟ في المثال التالي، سنكتشف ذلك.

جسم تؤثر عليه قوة مقدارها ١٠ نيوتن أفقيًا، وقوة مقدارها ٢٥ نيوتن رأسيًا لأعلى، وقوة مقدارها خمسة نيوتن تؤثر عليه بزاوية ٤٥ درجة مع المحور الأفقي، كما هو موضح بالشكل. ما مقدار القوة المحصلة الوحيدة المؤثرة على الجسم، وما قياس الزاوية التي يصنعها متجه هذه القوة المؤثرة مع المحور الأفقي؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية واحدة.

كما هو موضح في السؤال، لدينا ثلاث قوى. لدينا قوة مقدارها ٢٥ نيوتن تؤثر رأسيًا لأعلى، وقوة مقدارها ١٠ نيوتن تؤثر أفقيًا في اتجاه اليمين، وقوة مقدارها خمسة نيوتن تؤثر بزاوية ميل. مطلوب منا في السؤال إيجاد بعض المعلومات عن القوة المحصلة الوحيدة المؤثرة على الجسم.

لكن ثمة مشكلة صغيرة هنا. لدينا هنا قوى مستوية. وجميعها تؤثر في مستوى واحد. ولدينا قوتان متعامدتان. لكن لدينا أيضًا هذه القوة التي تؤثر بزاوية ميل. وعلينا أن نأخذ في الاعتبار أن هذه القوة المؤثرة بزاوية ميل ستكون لها مركبة تؤثر أفقيًا، ومركبة تؤثر رأسيًا. لذا، سنحلل هذه القوة التي تساوي خمسة نيوتن إلى مركبتيها الأفقية والرأسية. وعندما نفعل ذلك، سنتمكن من إيجاد محصلة المركبات الأفقية ومحصلة المركبات الرأسية. وذلك لأن القوة المحصلة لقوتين أو أكثر تساوي المجموع الاتجاهي لهذه القوى.

لتحليل القوة التي مقدارها خمسة نيوتن إلى مركبتيها الأفقية والرأسية، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية كما هو موضح. سنسمي المركبة الأفقية لهذه القوة ﺱ، والمركبة الرأسية سنسميها ﺹ. مقدار هذه القوة يساوي خمسة نيوتن. حسنًا، ذلك هو طول الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية. بعد ذلك، يمكننا استخدام مصطلحات حساب المثلثات لتسمية المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٤٥ درجة. الضلع ﺱ هو الضلع المجاور للزاوية المحصورة. والضلع المسمى ﺹ هو الضلع المقابل لها. ونحن نعرف أن طول الوتر يساوي خمسة نيوتن.

لحساب المركبة الأفقية ﺱ، سنوجد علاقة تربط بين طول الضلع المجاور وطول الوتر، وذلك باستخدام نسبة جيب التمام. وبالتعويض بما نعرفه عن المثلث في هذه الصيغة، نحصل على جتا ٤٥ درجة يساوي ﺱ على خمسة. لإيجاد قيمة ﺱ، نضرب طرفي المعادلة في خمسة. ونجد أن ﺱ يساوي خمسة في جتا ٤٥ درجة. نحن نعلم أن جتا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. إذن، ﺱ يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين، وذلك بوحدة النيوتن.

علينا تكرار هذه العملية لإيجاد قيمة ﺹ. هذه المرة، سنستخدم نسبة الجيب لأنها العلاقة التي تربط طول الضلع المقابل بطول الوتر. وبالتعويض بما نعرفه في الصيغة، نحصل على جا ٤٥ يساوي ﺹ على خمسة. مرة أخرى، نضرب طرفي هذه المعادلة في خمسة. ونجد أن ﺹ يساوي جا ٤٥ درجة، وهو ما يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين نيوتن.

من المثير للاهتمام أن قيمتي ﺱ وﺹ متساويتان. وإذا عدنا إلى المثلث القائم الزاوية، فسنجد أنه كان بإمكاننا توفير بعض الوقت. إنه مثلث قائم الزاوية، قياس إحدى زواياه ٤٥ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية الثالثة، وهي الزاوية الموجودة عند قمة المثلث هنا، لا بد أن يساوي ٤٥ درجة أيضًا. وبذلك، يكون هذا المثلث متساوي الساقين، ويجب أن يكون ﺱ وﺹ متساويين. من هنا، نعرف أن قيمة كل من ﺱ وﺹ تساوي خمسة جذر اثنين على اثنين.

مهمتنا التالية هي إيجاد المجموع الاتجاهي لكل القوى. ولفعل ذلك، سنحتاج إلى تحديد اتجاه موجب. وكما هو متعارف عليه في المستوى ﺱﺹ، من المنطقي أن يكون الاتجاه الأفقي ناحية اليمين هو الاتجاه الموجب لـ ﺱ، وأن الاتجاه الرأسي لأعلى يكون الاتجاه الموجب لـ ﺹ.

دعونا نبدأ بالنظر إلى مجموع القوى المؤثرة أفقيًا. لدينا قوة مقدارها ١٠ نيوتن، ثم لدينا المركبة الأفقية للقوة التي مقدارها خمسة نيوتن. مجموعهما هو ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين. لاحظ أنه بما أن القوة التي مقدارها خمسة نيوتن تؤثر في اتجاه اليمين لأعلى، يمكننا استنتاج أن المركبة الأفقية تؤثر في الاتجاه الموجب. دعونا نكرر هذه العملية مع الاتجاه الرأسي. لدينا القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن والمركبة الرأسية للقوة التي مقدارها خمسة نيوتن. مرة أخرى، هذه المركبة الرأسية لا بد أن تؤثر لأعلى، لذا فهي موجبة. إذن مجموع القوى في هذا الاتجاه يساوي ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين. وعلى الرغم من أن هذا ليس ضروريًا، يمكننا كتابة ذلك على الصورة المتجهة. نلاحظ أن متجه المحصلة ﺣ بوحدة النيوتن يساوي ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺱ زائد ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺹ.

والآن بعد أن عرفنا القوة المحصلة، علينا إيجاد مقدار تلك القوة المحصلة، وقياس الزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الأفقي. إذا لم يكن اتجاه الزاوية من المعطيات، فسنفترض أننا نحسب الزاوية من المحور الأفقي الموجب؛ أي الجزء الموجب من المحور ﺱ. حسنًا، تذكر أن مقدار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه. إذن، مقدار هذه القوة يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين الكل تربيع زائد ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين الكل تربيع. هذا يعطينا ٣١٫٥٨، ولأقرب منزلة عشرية واحدة يساوي ٣١٫٦ نيوتن. وبذلك يكون لدينا مقدار محصلة القوى. لكن ماذا عن قياس الزاوية التي يصنعها متجه القوة المحصلة مع المحور الأفقي؟

دعونا نرسم متجه محصلة القوى ﺣ. نحن نعرف الآن المركبتين الأفقية والرأسية لهذا المتجه. وبهذا، يمكننا استخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد قياس الزاوية التي يصنعها متجه المحصلة مع المحور الأفقي الموجب. لنطلق على هذه الزاوية 𝜃. بالنسبة للزاوية المحصورة، فإننا نعرف طول الضلعين المقابل والمجاور. لذا سنستخدم نسبة الظل. ونجد هنا أن ظا 𝜃 يساوي ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين مقسومًا على ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين. وإذا حسبنا قيمة ذلك الكسر، نحصل على ٢٫١٠٨ وهكذا مع توالي الأرقام. لإيجاد قيمة 𝜃، علينا ببساطة إيجاد الدالة العكسية أو الدالة العكسية لـ ظا لطرفي هذه المعادلة. إذن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لظل ٢٫١٠٨ وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ٦٤٫٦٢٣. وبالتقريب إلى منزلة عشرية واحدة، نحصل على ٦٤٫٦. إذن مقدار القوة المحصلة الوحيدة هو ٣١٫٦ نيوتن، وقياس الزاوية التي تصنعها مع المحور الأفقي هو ٦٤٫٦ درجة.

من المهم جدًا في هذه المرحلة ملاحظة أنه في حين أن عملية إيجاد مقدار المحصلة ثابتة بشكل عام، فإن عملية إيجاد قياس الزاوية التي تصنعها مع المحور الأفقي الموجب ليست كذلك. فإذا كانت كلتا المركبتين الأفقية والرأسية لمتجه المحصلة موجبتين، يمكننا استخدام حقيقة أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي الدالة العكسية لظل المركبة ﺹ مقسومًا على المركبة ﺱ. ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك، فسيكون من المنطقي حقًا أن نرسم مخططًا ونرى أين تقع القوة المحصلة. سيكون بمقدورنا استخدام نسبة الظل، لكن قد نحتاج إلى إجراء بعض عمليات الجمع أو الطرح من ١٨٠.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكن أن تساعدنا معرفة مقدار المحصلة في إيجاد قيم ناقصة.

تؤثر قوى مستوية مقاديرها ﻭ نيوتن وثمانية جذر ثلاثة نيوتن وجذر ثلاثة نيوتن وتسعة جذر ثلاثة نيوتن على جسم كما هو موضح في الشكل. إذا كان مقدار محصلتها تسعة جذر ثلاثة نيوتن، فأوجد قيمة ﻭ.

لدينا هنا معطيات عن مقدار محصلة القوى الأربع المستوية، حيث مقدار المحصلة يساوي بالطبع المجموع الاتجاهي لهذه القوى. المشكلة هنا هي أن إحدى هذه القوى هي ﻭ، وهي ما نحاول إيجاده. إذن، ما سنفعله هو تحليل كل قوة من القوى إلى مركبتين متعامدتين. بعد ذلك، سنوجد المجموع الاتجاهي لهذه القوى ثم نوجد المقدار لهذا المجموع ونساويه بتسعة جذر ثلاثة. دعونا نعرف الاتجاه الذي تؤثر فيه القوة ﻭ على أنه الاتجاه الأفقي الموجب. وسيكون الاتجاه الرأسي الموجب عموديًا على هذا، ويؤثر لأعلى.

هيا نبدأ بتحليل القوى في الاتجاه الأفقي. نحن نعلم أن ﻭ تؤثر في هذا الاتجاه. لكن علينا إيجاد المركبة الأفقية للقوى ثمانية جذر ثلاثة وتسعة جذر ثلاثة وجذر ثلاثة. سنرسم مثلثًا قائم الزاوية للقوة ثمانية جذر ثلاثة. إننا نعلم أن المركبة الأفقية ستؤثر في اتجاه اليمين، والمركبة الرأسية ستؤثر لأعلى. وبعد ذلك يمكننا استخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية لنجد أن طول الضلع المجاور، وهو المركبة الأفقية، يساوي ثمانية جذر ثلاثة جتا ٦٠، وطول الضلع المقابل، أي المركبة الرأسية، يساوي ثمانية جذر ثلاثة جا ٦٠.

دعونا نكرر ذلك مع القوة جذر ثلاثة. بما أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، فإن قياس الزاوية المحصورة هذه المرة يساوي ٦٠ درجة. وبعد ذلك نلاحظ أن طول الضلع المقابل لها، أي المركبة الرأسية التي تؤثر لأعلى، يساوي جذر ثلاثة جا ٦٠. وطول الضلع المجاور، أي المركبة الأفقية المؤثرة في اتجاه اليسار، يساوي جذر ثلاثة جتا ٦٠. ثمة مثلث آخر نحن مهتمون به. لدينا هنا القوة تسعة جذر ثلاثة. ويمكننا رسم مثلث على يسار متجه القوة هذا، لكننا رسمنا بالفعل الكثير من الأشياء هنا. لذا، سنرسم مثلثًا على اليمين كما هو موضح.

إننا نعلم أن قياس هذه الزاوية يساوي ٦٠ درجة. لذا، لا بد أن يكون قياس الزاوية المحصورة ٣٠ درجة. ومجددًا سنحللها إلى مركبتيها الأفقية والرأسية. نحصل بذلك على تسعة جذر ثلاثة جتا ٣٠ للمركبة الرأسية، وتسعة جذر ثلاثة جا ٣٠ للمركبة الأفقية.

والآن بعد أن حللنا كل هذه القوى، دعونا نوجد مجموع القوى المؤثرة في الاتجاه الأفقي. لدينا ﻭ تؤثر في اتجاه موجب زائد ثمانية جذر ثلاثة جتا ٦٠. تلك هي مركبة القوة ثمانية جذر ثلاثة التي تؤثر في الاتجاه الأفقي. ثم نطرح جذر ثلاثة جتا ٦٠ لأنها تؤثر باتجاه اليسار، وتسعة جذر ثلاثة جا ٣٠. باستخدام حقيقة أن كلًا من جا ٣٠ وجتا ٦٠ يساوي نصفًا، نبسط هذا إلى ﻭ زائد ثمانية جذر ثلاثة في نصف ناقص جذر ثلاثة في نصف ناقص تسعة جذر ثلاثة في نصف. ويبسط كل ذلك إلى ﻭ ناقص الجذر التربيعي لثلاثة.

دعونا نفعل الأمر نفسه في الاتجاه الرأسي. إننا نعرف أن لدينا ثمانية جذر ثلاثة جا ٦٠ تؤثر لأعلى، أي في الاتجاه الموجب، وجذر ثلاثة جا ٦٠. لكن في الاتجاه المعاكس، لدينا تسعة جذر ثلاثة جتا ٣٠. لذا، سنطرح ذلك من المجموع. هذه المرة، سنستخدم حقيقة أن كلًا من جا ٦٠ وجتا ٣٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبذلك نحصل على ثمانية جذر ثلاثة في جذر ثلاثة على اثنين زائد جذر ثلاثة في جذر ثلاثة على اثنين ناقص تسعة جذر ثلاثة في جذر ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. وذلك مفيد جدًا؛ لأنه يمكننا الآن إيجاد مقدار المحصلة بسهولة شديدة.

بما أن القوة تؤثر في اتجاه واحد فقط، فإن مقدار المحصلة لا بد أن يكون ﻭ ناقص جذر ثلاثة. ولكننا نعلم من المعطيات أن مقدار المحصلة يساوي تسعة جذر ثلاثة. إذن يمكننا كتابة معادلة بسيطة لـ ﻭ. وهي ﻭ ناقص الجذر التربيعي لثلاثة يساوي تسعة جذر ثلاثة. وسنحل المعادلة لإيجاد قيمة ﻭ بإضافة جذر ثلاثة إلى كلا الطرفين. وبذلك، نجد أن ﻭ يساوي ١٠ جذر ثلاثة؛ أي ١٠ جذر ثلاثة نيوتن.

سنراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا أن القوى المستوية هي قوى تؤثر في مستوى واحد فقط. وأن محصلة مجموعة من القوى المستوية تساوي المجموع الاتجاهي لكل تلك القوى. وعرفنا كذلك أنه إذا كانت القوى معطاة بالصورة المتجهة، فسيكون ذلك سهلًا ومباشرًا. لكن إذا لم تكن كذلك، فعلينا تقسيمها إلى اتجاهين متعامدين، وعادة ما يكونا ﺱ وﺹ. وهذا يسمح لنا بحل المسائل التي تتضمن المحصلة. وبالطبع عندما نفعل ذلك، يجب ألا ننسى تحديد الاتجاه الموجب.