نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نتعرف على المتجهات المتوازية والمتعامدة في الفضاء الثنائي الأبعاد. تذكر أنه إذا فكرنا في المستقيمات، فسنجد أن المستقيمين المتوازيين هما مستقيمان لا يتقاطعان أبدًا. كما أن المستقيمين المتعامدين هما مستقيمان يتقاطعان عند زوايا قائمة. لنبدأ بتذكير أنفسنا بالمتجهات وتناول كيفية التعرف على المتجهات المتوازية.
لنبدأ بالنظر إلى هذا المتجه ﻉ. يمكننا كتابة هذا المتجه بدلالة مركبتيه الأفقية والرأسية على صورة المتجه اثنين، واحد. يمكننا الآن أن نرسم بعض المتجهات الأخرى، لنفترض أن هذا المتجه ﺃ، الذي يمكننا كتابته بدلالة مركبتيه الأفقية والرأسية على صورة أربعة، اثنين. كما يمكننا أن نرسم متجهًا آخر، وهو المتجه ﺏ، الذي يشبه المتجه ﻉ، عدا أنه يشير إلى الاتجاه المعاكس. يمكننا كذلك أن نرسم متجهًا أخيرًا، وهو المتجه ﺟ، على صورة سالب ستة، سالب ثلاثة.
ما الذي نلاحظه في المتجهات الأربعة التي رسمناها؟ حسنًا، جميعها متوازية. إن جميع هذه المتجهات مضاعفات قياسية لبعضها بعضًا. على سبيل المثال، إذا ضربنا المتجه ﻉ في اثنين، فسنحصل على المتجه ﺃ. كذلك إذا فكرنا في كيفية الانتقال من المتجه ﻉ إلى المتجه ﺏ، فإنه يمكننا أن نضرب المتجه ﻉ في سالب واحد لنحصل على المتجه ﺏ. يمكننا أن نكتب تعريفًا منهجيًّا للمتجهات المتوازية على النحو الآتي. يمكننا أن نقول إنه لأي متجهين ﻉ وﻕ، فإنهما يكونان متوازيين إذا كان ﻉ يساوي ﻙ في ﻕ لكمية قياسية ما ﻙ، حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. إذا نظرنا إلى الشكل التوضيحي وتأملنا المتجهين ﺏ وﺟ، فيمكننا كتابة المتجه ﺏ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺟ. كما يمكننا إيجاد أن ﻙ في هذه الحالة يساوي ثلثًا.
لكن إذا لم يكن لدينا شكل توضيحي، ولم تكن لدينا أي معطيات عن طولي ﺏ أو ﺟ، فسنعلم أنهما لابد أن يكونا متوازيين لأنهما مضاعفان قياسيان أحدهما للآخر. سنتناول الآن بعض الأسئلة. وفي السؤال الأول، سنتعرف على ما إذا كان المتجهان المعطيان متوازيين أم لا.
صواب أم خطأ: المتجهان ﺃ يساوي اثنين، واحد، وﺏ يساوي ستة، ثلاثة متوازيان. الخيار (أ) صواب أم الخيار (ب) خطأ.
في هذا السؤال، لدينا معطيات عن المتجهين ﺃ وﺏ، ومطلوب منا إيجاد ما إذا كان هذان المتجهان متوازيين. نتذكر أن المتجهين يكونان متوازيين إذا كان أحدهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر. إذا كان المتجهان ﺃ وﺏ متوازيين، فيمكننا كتابة أن المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ لكمية قياسية ما ﻙ، حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. بمعلومية المعطيات عن المتجهين ﺃ وﺏ، يمكننا التعويض بها في هذه المعادلة والتحقق مما إذا كانت صحيحة. ربما تلاحظ أن المتجه ﺏ مضاعف صحيح للمتجه ﺃ. لكن يستحق الأمر التحقق من المركبتين ﺱ وﺹ كل على حدة.
بالمساواة بين مركبتي ﺱ، نجد أن لدينا اثنان يساوي ستة ﻙ. وبقسمة الطرفين على ستة، نحصل على سدسان يساوي ﻙ. وبالتبسيط، نحصل على ثلث يساوي ﻙ أو ﻙ يساوي ثلثًا. ولكي يكون هذان المتجهان متوازيين، يلزم عند المساواة بين مركبتي ﺹ، أن نحصل على قيمة ﻙ نفسها. لنتأكد من ذلك. عند المساواة بين مركبتي ﺹ، نحصل على واحد يساوي ثلاثة ﻙ. بقسمة الطرفين على ثلاثة، نحصل على ثلث يساوي ﻙ، وهو ما يعني بالطبع أن ﻙ يساوي ثلثًا. يمكننا إذن أن نقول إن المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ؛ لأنه يمكننا كتابة المتجه ﺃ يساوي ثلثًا في المتجه ﺏ. ومن ثم، يمكننا اختيار الإجابة صواب؛ لأن عبارة «المتجهان ﺃ وﺏ متوازيان» صحيحة.
توجد طريقة بديلة للإجابة عن هذا السؤال هي تمثيل هذين المتجهين على مخطط. المتجه ﺃ معطى على الصورة اثنان، واحد، والمتجه ﺏ معطى على الصورة ستة، ثلاثة. نلاحظ بمجرد النظر أن المتجهين ﺃ وﺏ متوازيان، وهو ما يؤكد الإجابة بأن العبارة صحيحة.
سنتناول الآن كيفية التعرف على المتجهات المتعامدة. نقول إن المتجهين ﻉ يساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﻕ يساوي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، متعامدان إذا كان حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي صفرًا. نتذكر هنا أنه يمكننا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ بإيجاد حاصل ضرب ﺱ واحد في ﺱ اثنين وإضافته إلى حاصل ضرب ﺹ واحد في ﺹ اثنين. إذن، لننظر كيف يمكننا استخدام هذا التعريف لمساعدتنا على التعرف على المتجهات المتعامدة.
أي أزواج المتجهات الآتية متعامدة؟ الخيار (أ) المتجه اثنان، صفر والمتجه ثلاثة، سالب ستة. الخيار (ب) المتجه واحد، أربعة، والمتجه اثنان، ثمانية. الخيار (ج) المتجه صفر، سبعة، والمتجه صفر، تسعة. أم الخيار (د) المتجه ثلاثة، صفر والمتجه صفر، ستة.
لنبدأ بتذكر كيفية التعرف على ما إذا كانت المتجهات متعامدة. إذا كان لدينا متجهان ﻉ وﻕ متعامدان، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي صفرًا. يمكننا أن نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد حاصل الضرب القياسي بأن نقول إنه إذا كان المتجه ﻉ يساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد، والمتجه ﻕ يساوي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فإن حاصل الضرب القياسي ﻉﻕ يساوي ﺱ واحد في ﺱ اثنين زائد ﺹ واحد في ﺹ اثنين. إذن، في كل من هذه الخيارات، من (أ) إلى (د)، سنوجد حاصل الضرب القياسي، وإذا كان يساوي صفرًا، فإن هذا الزوج من المتجهات سيكون متعامدًا. إذن، لنبدأ بالمتجهين المعطيين في الخيار (أ). ويمكننا أن نحدد قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، على الرغم من أنه لا يهم المتجه الذي نختاره لكل من قيمتي ﺱ واحد وﺹ واحد.
لإيجاد حاصل الضرب القياسي، سيصبح لدينا اثنان في ثلاثة زائد صفر في سالب ستة. بإيجاد قيمة ذلك، اثنان في ثلاثة يعطينا ستة. وعلينا الانتباه؛ لأن صفرًا في سالب ستة يساوي صفرًا. ستة زائد صفر يبسط إلى ستة. إذن، هل وجدنا أن حساب حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا؟ لا، لا يساوي صفرًا. ومن ثم فإن المتجهين المعطيين في الخيار (أ) ليسا متعامدين. يمكننا اتباع الخطوات نفسها مع المتجهين المعطيين في الخيار (ب). عندما نحسب حاصل الضرب القياسي في هذه الحالة، يصبح لدينا واحد في اثنين زائد أربعة في ثمانية. واحد في اثنين يساوي اثنين، وأربعة في ثمانية يساوي ٣٢. وبجمعهما معًا، نحصل على القيمة ٣٤. وبما أن حاصل الضرب القياسي هذا لا يساوي صفرًا، فإن المتجهين المعطيين في الخيار (ب) ليسا متعامدين.
بتطبيق الطريقة نفسها على المتجهين المعطيين في الخيار (ج)، نضرب صفرًا في صفر ونضيف ذلك إلى سبعة في تسعة، وهو ما يعطينا ٦٣. ٦٣ لا يساوي صفرًا، إذن، المتجهان في الخيار (ج) ليسا متعامدين. وأخيرًا، في الخيار (د)، كل من حاصلي ضرب ﺱ واحد، ﺱ اثنين، وﺹ واحد، ﺹ اثنين يساوي صفرًا. عندما نجمع هذين معًا، نحصل على صفر. وبما أننا أوجدنا حاصل الضرب القياسي للمتجهين الذي يساوي صفرًا، فإن هذين المتجهين المعطيين في الخيار (د) متعامدان. إذن، يمكننا اختيار الإجابة التي تقول بأن المتجه ثلاثة، صفر، والمتجه صفر، ستة، متعامدان.
يمكننا التأكد من ذلك برسم هذين المتجهين. يمكن تمثيل المتجه ثلاثة، صفر بمستقيم يتجه إلى اليمين بمقدار ثلاث وحدات، ولأعلى بمقدار صفر من الوحدات. ويمكن تمثيل المتجه، صفر، ستة بمستقيم يتجه أفقيًّا بمقدار صفر من الوحدات، ولأعلى بمقدار ست وحدات. المتجه الأول هو مستقيم أفقي، والمتجه الثاني هو مستقيم رأسي؛ مما يشير إلى أن هذين المتجهين متعامدان بالفعل، وهو ما يؤكد أن زوج المتجهات المتعامد هو المعطى في الخيار (د).
سنتناول الآن بعض الأسئلة الأخرى التي تتضمن متجهات متوازية ومتعامدة. في السؤال التالي، علينا إيجاد قيمة مجهولة في زوج من المتجهات المتوازية.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﺭ، ﺭ زائد اثنين، والمتجه ﺏ يساوي ثلاثة ﺭ، أربعة ﺭ ناقص واحد، فإن إحدى قيم ﺭ التي تجعل المتجه ﺃ يوازي المتجه ﺏ تساوي (فراغ). الخيار (أ) سبعة، أم الخيار (ب) خمسة، أم الخيار (ج) سالب خمسة، أم الخيار (د) سالب سبعة.
في هذا السؤال، لدينا في المعطيات متجهان ﺃ وﺏ. وتتضمن مركبتاهما هذه القيمة المجهولة ﺭ. علينا إيجاد إحدى قيم ﺭ التي تجعل المتجهين ﺃ وﺏ متوازيين. لنبدأ بتذكر ما يعنيه أن يكون لدينا متجهان متوازيان. في هذه الحالة، بما أن لدينا المتجهان ﺃ وﺏ، فيمكننا القول إنهما متوازيان إذا تمكنا من كتابة المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ لكمية قياسية ما ﻙ، حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. لنفترض إذن أن المتجهين يعتبران متجهين متوازيين بالقول إن المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ. يمكننا بعد ذلك كتابة قيمتي المتجهين المعطاتين. المتجه ﺃ يساوي ﺭ، ﺭ زائد اثنين، والمتجه ﺏ يساوي ثلاثة ﺭ، أربعة ﺭ ناقص واحد.
في الطرف الأيسر، نضرب ﻙ في كلتا مركبتي ﺱ وﺹ. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمتي مركبتي ﺱ. ومن ثم، سيكون لدينا ﺭ يساوي ثلاثة ﻙﺭ. بقسمة الطرفين على ﺭ، نجد أن واحدًا يساوي ثلاثة ﻙ. وبقسمة ثلاثة على ثلاثة، يصبح لدينا ثلث يساوي ﻙ، أو ﻙ يساوي ثلثًا. بعد ذلك، لنتناول مركبتي ﺹ. يمكننا كتابة أن ﺭ زائد اثنين يساوي ﻙ في أربعة ﺭ ناقص واحد. لقد توصلنا بالفعل إلى أن ﻙ يساوي ثلثًا، لذا لنعوض بذلك في المعادلة. ومن ثم، يصبح لدينا ﺭ زائد اثنين يساوي ثلثًا في أربعة ﺭ ناقص واحد. والآن، لنفك القوسين في الطرف الأيسر. ثلث مضروبًا في أربعة ﺭ يساوي أربعة أثلاث ﺭ، وثلث مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب ثلث.
يمكننا بعد ذلك طرح ﺭ من كلا الطرفين، مع تذكر أنه إذا كان لدينا أربعة أثلاث ﺭ وطرحنا منه ﺭ، فسيتبقى لدينا ثلث ﺭ. ثم يمكننا إضافة ثلث إلى كلا الطرفين، مع تذكر أن اثنين وثلث يساوي سبعة أثلاث. وأخيرًا، يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ثلاثة، ويتبقى لدينا سبعة يساوي واحد ﺭ أو ببساطة سبعة يساوي ﺭ. إذن، إحدى قيم ﺭ التي تجعل ﺃ موازيًا لـ ﺏ هي سبعة. إذن، الإجابة هي تلك المعطاة في الخيار (أ) سبعة. يمكننا التحقق من ذلك عن طريق التعويض بالقيمة سبعة في المتجهين ﺃ وﺏ. عندما ﺭ يساوي سبعة، فإن المتجه ﺃ سيساوي سبعة، وسبعة زائد اثنين يساوي تسعة. للمتجه ﺏ، عندما ﺭ يساوي سبعة، فإن ثلاثة في سبعة يساوي ٢١، وأربعة في سبعة يساوي ٢٨؛ وبطرح واحد منه سيساوي ٢٧.
إذن، هل المتجهان ﺃ وﺏ مضاعفان قياسيان؟ نعم، إنهما كذلك لأنه يمكننا كتابة أن المتجه ﺃ يساوي ثلث المتجه ﺏ. ومن ثم، تأكدنا من أنه عندما ﺭ يساوي سبعة، يكون المتجهان ﺃ وﺏ متوازيين. لكن لنتحقق مما إذا كان أي من الخيارات المعطاة في (ب) أو (ج) أو (د) لقيمة ﺭ سيجعل المتجهين ﺃ وﺏ متوازيين أيضًا. هذه المرة، سنأخذ القيمة المعطاة في خيار الإجابة لقيمة ﺭ، ثم نتحقق مما إذا كان المتجه ﺃ يوازي المتجه ﺏ.
بالنسبة للخيار (ب)، نتحقق من قيمة ﺭ تساوي خمسة. وبالتالي، المتجه ﺃ سيساوي خمسة، وخمسة زائد اثنين يساوي سبعة. والمتجه ﺏ سيساوي ثلاثة في خمسة، وهو ما يساوي ١٥، وأربعة في خمسة يساوي ٢٠ ناقص واحد يساوي ١٩. إذن، هل توجد قيمة قياسية ﻙ يكون عندها المتجه خمسة، سبعة يساوي ﻙ في المتجه ١٥، ١٩؟ حسنًا، لا، لا يوجد. إذا نظرنا إلى مركبتي ﺱ، فسنجد أن لدينا خمسة يساوي ١٥ﻙ. يعني هذا أن ﻙ يساوي ثلثًا. لكن ﻙ يساوي ثلثًا لا يناسب المعادلة سبعة يساوي ﻙ في ١٩. يعني هذا أنه عند ﺭ يساوي خمسة، لا يكون هذان المتجهان خمسة، سبعة، و١٥، ١٩ متوازيين. إذن، يمكننا استبعاد الخيار (ب).
لنتحقق من الخيار (ج). هذه المرة، نتحقق من قيمة ﺭ تساوي سالب خمسة. المتجه ﺃ سيساوي سالب خمسة، سالب ثلاثة، والمتجه ﺏ سيساوي سالب ١٥، سالب ٢١. مرة أخرى، لا توجد قيمة لـ ﻙ يكون عندها المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيار (ج) لأنه عندما ﺭ يساوي سالب خمسة، لا يكون هذان المتجهان متوازيين. وأخيرًا، في الخيار (د)، نتحقق من قيمة ﺭ تساوي سالب سبعة. عندما نعوض بهذه القيمة في المتجهين ﺃ وﺏ، مرة أخرى، لا توجد قيمة لـ ﻙ تجعل سالب سبعة، سالب خمسة وسالب ٢١، سالب ٢٩ متوازيين. وبهذا نكون قد استبعدنا الخيارات (ب) و (ج) و (د)، لتتبقى لدينا القيمة سبعة.
سنتناول الآن سؤالًا أخيرًا.
املأ الفراغ: المتجهان ﺃ يساوي واحدًا، اثنين، وﺏ يساوي سالب اثنين، واحدًا (فراغ).
أول ما علينا التحقق منه هو ما إذا كان المتجهان ﺃ وﺏ متوازيين. يمكننا أن نتذكر أن أي متجهين ﺃ وﺏ يكونان متوازيين إذا أمكن كتابة المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ لأي كمية قياسية ﻙ؛ حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. إذن، لنتحقق مما إذا كان هذا ينطبق على المتجهات المعطاة. هل توجد قيمة لـ ﻙ يكون عندها المتجه واحد، اثنان يساوي ﻙ في سالب اثنين، واحد؟ يمكننا تبسيط المتجه في الطرف الأيسر ليصبح على الصورة سالب اثنين ﻙ، ﻙ. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيم مركبتي ﺱ وﺹ كل على حدة، ومن ثم فإن مركبتي ﺱ تعطيانا واحد يساوي سالب اثنين ﻙ. بقسمة هذه المعادلة على سالب اثنين في كلا الطرفين، نحصل على سالب نصف يساوي ﻙ. إذن، ﻙ يساوي سالب نصف.
لنتناول مركبتي ﺹ. يعطينا هذه المعادلة اثنان يساوي ﻙ، أو بدلًا من ذلك، ﻙ يساوي اثنين. لكن لدينا هنا قيمتان مختلفتان لـ ﻙ، ما يعني أنه لا توجد قيمة لـ ﻙ يكون عندها المتجه ﺃ يساوي ﻙ في المتجه ﺏ. يعني هذا أن هذين المتجهين ليسا متوازيين، لذا دعونا نرى ماذا يمكن أن يكونا غير ذلك. لنتحقق مما إذا كانا متعامدين. نتذكر أنه إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي صفرًا، فإن هذين المتجهين متعامدان. لأي متجهين ﻉ يساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد وﻕ يساوي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فإن حاصل الضرب القياسي ﻉﻕ يساوي حاصل ضرب ﺱ واحد ﺱ اثنين زائد حاصل ضرب ﺹ واحد ﺹ اثنين.
لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ، علينا إيجاد واحد في سالب اثنين زائد اثنين في واحد. ويمكننا تبسيط ذلك إلى سالب اثنين زائد اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. بالنسبة لأي متجهين ﻉ وﻕ، فإنهما يكونان متعامدين إذا كان حاصل الضرب القياسي ﻉ في ﻕ يساوي صفرًا. لقد توصلنا إلى أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ الموضحين هنا يساوي صفرًا. يعني هذا أنه يمكننا ملء الفراغ. المتجهان ﺃ يساوي واحدًا، اثنين، وﺏ يساوي سالب اثنين، واحدًا متعامدان.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. علمنا أن المتجهين ﻉ وﻕ يكونان متوازيين إذا كان المتجه ﻉ يساوي ﻙ في المتجه ﻕ لأي كمية قياسية ﻙ، حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. وأخيرًا، علمنا أن المتجهين ﻉ وﻕ يكونان متعامدين إذا كان حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي صفرًا.
