فيديو السؤال: اشتقاق تركيبات من دوال كثيرات حدود ودوال جذرية باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة | نجوى فيديو السؤال: اشتقاق تركيبات من دوال كثيرات حدود ودوال جذرية باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة | نجوى

فيديو السؤال: اشتقاق تركيبات من دوال كثيرات حدود ودوال جذرية باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات العامة المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ = ٤ﺱ الجذر التربيعي لـ (ﺱ + ٦) عند (−٢‎، −١٦).

٠٧:٥٨

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي أربعة ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ستة عند النقطة التي إحداثياتها: سالب اثنين، سالب ١٦.

لنلق نظرة على هذه الدالة ﺹ. يمكننا ملاحظة أنها تتكون من حاصل ضرب عاملين. فهي تساوي أربعة ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ستة. وبما أن الأس في هذا العامل الثاني يساوي نصفًا، فلا يمكننا توزيع الأقواس ببساطة لتحويل ذلك إلى دالة كثيرة الحدود.

بدلًا من ذلك، سنحتاج إلى استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. تنص هذه القاعدة على أنه لدالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لحاصل ضربهما ﻉﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. إننا نضرب كل دالة في مشتقة الدالة الأخرى ونجمعها معًا. إذن نعرف ﻉ بأنه أحد العاملين لدينا. سنفترض أن ﻉ يساوي أربعة ﺱ. ونعرف ﻕ على أنه العامل الآخر، أي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ستة، الذي قلنا بالفعل إنه يمكن التعبير عنه بـ ﺱ زائد ستة أس نصف.

ثم نحتاج إلى إيجاد مشتقة كل منهما على حدة. يتسم إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ بأنه مباشر. لذا يمكننا استخدام قاعدة القوة للاشتقاق. يمكننا التفكير في أربعة ﺱ على أنه أربعة ﺱ أس واحد. إذن، للاشتقاق، نضرب في الأس واحد، ثم نطرح واحدًا من الأس؛ ما يعطينا أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في ﺱ أس صفر. ‏ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. إذن، لدينا أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي أربعة.

‏ﺩﻕ على ﺩﺱ أكثر تعقيدًا؛ لأن ﻕ دالة مركبة. إنها دالة لدالة أخرى. يكون لدينا الدالة ﺱ زائد ستة ثم نأخذ جذرها التربيعي. لإيجاد هذه المشتقة إذن، نحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﻕ دالة لدالة أخرى 𝑧، وهي نفسها دالة في ﺱ، فإن مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﻕ بالنسبة إلى 𝑧 مضروبة في مشتقة 𝑧 بالنسبة إلى ﺱ. لقد غيرت الحروف عما قد تراه عادة. نراها عادة مكتوبة بدلالة ﻉ؛ لأننا بالفعل لدينا ﻉ معرفة بأنها دالة أخرى في هذا السؤال.

إذن، يمكننا تعريف هذا المتغير الجديد ﻱ. سنفترض أن ﻱ يساوي ﺱ زائد ستة. هذا هو الجزء الداخلي من الدالة المركبة. ‏ﻕ إذن سيساوي ﻱ أس نصف. إذن، ﻕ دالة في ﻱ. وﻱ هو دالة في المتغير ﺱ. ثم نوجد مشتقة كل منهما على حدة، ويمكن إيجاد كلتيهما باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. مشتقة ﻱ بالنسبة إلى ﺱ هي ببساطة واحد. ومشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻱ هي نصف مضروبًا في ﻱ أس سالب نصف.

بتطبيق قاعدة السلسلة، نجد أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﺩﻕ على ﺩﻱ مضروبًا في ﺩﻱ على ﺩﺱ. أي ما يساوي نصف ﻱ أس سالب نصف مضروبًا في واحد. لكن بالطبع الضرب في واحد ليس له أي تأثير. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة واحد على اثنين ﻱ أس نصف. وأخيرًا، علينا أن نتذكر التراجع عن خطوة التعويض. لذا، علينا أن نكتب ﺩﻕ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ. نجد أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ستة أس نصف. لقد عوضنا عن ﻱ بـ ﺱ زائد ستة.

الآن قد تتمكن أيضًا من إيجاد هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوة العامة للاشتقاق بدلًا من قاعدة السلسلة. والتي تنص على أنه إذا كانت لدينا دالة ما ﺩﺱ أس ﻥ، فإن مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد. فالأمر يشبه إلى حد كبير قاعدة القوة للاشتقاق. لكن لدينا هذا العامل الإضافي ﺩ شرطة ﺱ. هذه هي مشتقة الدالة ﺩﺱ.

إذن، بالنسبة إلى الدالة ﻕ لدينا، ستكون الدالة ﺩ لـﺱ تساوي ﺱ زائد ستة. إذن باستخدام القاعدة القوة العامة، نجد أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻥ، أي نصف، مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ، أي مشتقة ﺱ زائد ستة، أي واحد، مضروبًا في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وهو ما يساوي ﺱ زائد ستة أس سالب نصف. بالطبع، يمكن كتابة هذه على الصورة واحد على اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ستة أس نصف، وهو ما أوجدناه بالفعل لمشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة السلسلة. لذا، فإن كلتا الطريقتين صحيحتان.

في كلتا الحالتين، بعد أن أصبح لدينا ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ، علينا العودة إلى صيغة قاعدة الضرب. لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. فنحصل على أربعة ﺱ مضروبًا في واحد على اثنين في ﺱ زائد ستة أس نصف، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة أربعة ﺱ على اثنين في ﺱ زائد ستة أس نصف. زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. هذا يساوي أربعة مضروبًا في ﺱ زائد ستة أس نصف. يمكننا التبسيط بالقسمة على العامل المشترك اثنين في الحد الأول. وقد يكون من المفيد أيضًا إعادة كتابة أسس الأس نصف المذكورة على صورة جذر تربيعي. لدينا هنا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ على الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ستة زائد أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ستة.

وأخيرًا، نتذكر أنه لم يطلب منا إيجاد تعبير عام للمشتقة الأولى. مطلوب منا فقط إيجاد قيمتها عند نقطة معينة. فتصبح الخطوة الأخيرة هي التعويض بقيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة، أي سالب اثنين، في تعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ. وعند فعل ذلك، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين مضروبًا في سالب اثنين على الجذر التربيعي لسالب اثنين زائد ستة زائد أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب اثنين زائد ستة. وهذا يبسط إلى سالب أربعة على الجذر التربيعي لأربعة زائد أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لأربعة. والآن، الجذر التربيعي لأربعة هو اثنان. لدينا سالب أربعة على اثنين زائد أربعة مضروبًا في اثنين. وهذا يساوي سالب اثنين زائد ثمانية، أي ما يساوي ستة.

في هذا السؤال، كان علينا استخدام أكثر من قاعدة للاشتقاق، وهي قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة المنهجية أو قاعدة الضرب وقاعدة القوة العامة. لكننا عندما فعلنا ذلك، وجدنا أن المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي أربعة ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ستة عند النقطة التي إحداثياتها هي سالب اثنين، سالب ١٦، تساوي ستة.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية