فيديو الدرس: مركز ثقل القضيب المنتظم الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مركز كتلة قضيب منتظم. في مجال الجاذبية المنتظم، مركز الكتلة، الذي يسمى أحيانًا مركز الثقل، هو النقطة الوحيدة التي تؤثر عندها قوة الجسم ووزنه. بعبارة أخرى، يمكننا افتراض أن كتلة الجسم تكون مركزة عند مركز الكتلة كما لو كانت جسيمًا. وإذا دعمنا جسمًا جاسئًا عند مركز كتلته، فسيكون متوازنًا تمامًا عند هذه النقطة الواحدة. في حالة الأجسام الجاسئة التي لها كثافة ثابتة، يقع مركز الكتلة عند المركز الهندسي لهذه الأجسام.

فكيف يمكننا تعميم ذلك على القضبان المنتظمة؟ حسنًا، القضيب المنتظم هو جسم خطي له كثافة طولية ثابتة. ومركز كتلته يقع عند نقطة منتصفه. هذا التعريف يعني أن القضيب المنتظم سيكون متزنًا تمامًا عند نقطة منتصفه، كما هو موضح بالشكل. ومن ثم فهذا يعني أنه يمكننا التعامل مع كتلة قضيب منتظم على أنها جسيم يقع عند نقطة المنتصف. والآن، عند التعامل مع نظام من الكتل يتضمن واحدًا أو أكثر من القضبان المنتظمة، يمكننا إيجاد مركز كتلة هذا النظام عن طريق التعامل مع تلك القضبان باعتبارها جسيمات، وإيجاد مركز كتلة النظام الناتج.

لذا دعونا نذكر أنفسنا بصيغة إيجاد مركز الكتلة لنظام من الجسيمات في المستوى الإحداثي. مركز كتلة أي نظام من الجسيمات هو متوسط موضع الجسيمات والمرجح حسب كتلتها. بعبارة أخرى، إذا كانت الكتلة ﻙﻥ إحداثياتها ‪ﺱﻥ‬‏، ‪ﺹﻥ‬‏، فإن الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة يساوي المجموع ﻙﻥ في ﺱﻥ مقسومًا على المجموع ﻙﻥ. والإحداثي ﺹ يساوي المجموع ﻙﻥ في ﺹﻥ مقسومًا على المجموع ﻙﻥ. والآن بعد أن أصبح لدينا الصيغ والتعريفات المختلفة، سنتناول مثالًا حول كيفية إيجاد مركز كتلة نظام يتضمن قضيبًا مثبتة فيه أوزان عند كل طرف.

القطعة المستقيمة ﺃﺏ قضيب منتظم طوله أربعة سنتيمترات، وكتلته أربعة كيلوجرامات. ثبتت كتلة مقدارها خمسة كيلوجرامات عند ﺃ، وثبتت كتلة أخرى مقدارها واحد كيلوجرام عند ﺏ. أوجد المسافة من مركز ثقل النظام إلى ﺃ.

أول معلومة لدينا هي أن القضيب، الذي تمثله القطعة المستقيمة ﺃﺏ، هو قضيب منتظم. نعلم، بالطبع، أن القضيب المنتظم له كثافة ثابتة. إذن مركز كتلة هذا القضيب يقع عند نقطة المنتصف. لنستخدم هذه المعلومة والمعلومات عن الكتلتين المثبتتين عند ﺃ وﺏ لتمثيل هذا في شكل توضيحي. الأمر التالي الذي يمكننا فعله هو رسم خط إحداثي للإشارة إلى موضع هذه الكتل بالنسبة إلى المستوى الإحداثي. دعونا نتخيل أن النقطة ﺃ تقع عند نقطة الأصل، وأن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تقع على طول المحور ﺱ، كما هو موضح.

بما أن طول القضيب يساوي أربعة سنتيمترات، فإذا افترضنا أن السنتيمترات هي وحدة الطول، فإن النقطة ﺏ يجب أن تكون إحداثياتها: أربعة، صفر. بعد ذلك، يمكن إيجاد نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ عن طريق حساب مجموع فرادى الإحداثيات، والقسمة على اثنين. إذن، لدينا صفر زائد أربعة مقسومًا على اثنين وصفر زائد صفر مقسومًا على اثنين، وهو ما يعطينا الإحداثيات: اثنين، صفر. في الحقيقة، لا يهمنا إلا قيمة إحداثيات ﺱ. لكننا أكملنا قيمة إحداثيات ﺹ لاعتبارات الاكتمال فحسب.

بعد ذلك، نتذكر أنه إذا كان أي نظام من الجسيمات له كتلة ﻙﻥ عند الإحداثيات ﺱﻥ، ﺹﻥ فإن إحداثيات ﺱ وﺹ لمركز الكتلة ستكون كما هو موضح. وبما أن مراكز الكتلة الثلاثة التي نركز عليها تقع على طول المحور ﺱ، فسنستخدم فقط العملية الحسابية لإحداثيات ﺱ. هيا نبدأ بإيجاد مجموع حاصل ضرب ﻙﻥ وﺱﻥ. كتلة الجسيم ﺃ تساوي خمسة كيلوجرامات، وإحداثيها ﺱ يساوي صفرًا. كتلة القضيب المنتظم أربعة كيلوجرامات، ويقع مركز كتلته عند النقطة اثنين، صفر. وأخيرًا، كتلة الوزن عند النقطة ﺏ تساوي كيلوجرامًا واحدًا، ويقع على بعد أربع وحدات على طول المحور ﺱ. لذا، فإن مجموع ﻙﻥ في ﺱﻥ هو ١٢ أو ١٢ كيلوجرام سنتيمتر.

مقام الكسر هو المجموع ﻙﻥ. وهذا ببساطة هو مجموع كتل كل الأجسام في النظام. إنه خمسة زائد أربعة زائد واحد، وهو ما يساوي ١٠، أو ١٠ كيلوجرامات. مركز الكتلة هو خارج قسمة هاتين القيمتين، إذن هو ١٢ مقسومًا على ١٠، أو ١٫٢. إذن، الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة هو ١٫٢. وفي الواقع، نعرف أن هذا القياس بالسنتيمترات. بما أن هذه النقطة تقع على المحور ﺱ وأن النقطة ﺃ تقع عند نقطة الأصل، فإن المسافة من مركز الكتلة أو مركز ثقل النظام إلى ﺃ تساوي ١٫٢ سنتيمتر.

في هذا المثال، تمكنا من تحديد مركز الكتلة لهذا النظام من خلال اعتبار أن كتلة القضيب المنتظم تتركز عند نقطة المنتصف. يمكننا استخدام هذه الطريقة نفسها عندما يكون لدينا نظام من قضبان متعددة منتظمة.

عندما يرتبط عدد من القضبان المنتظمة معًا، فإنها تكون جسمًا جاسئًا، وهو ما نسميه إطارًا سلكيًّا. بعد ذلك، يمكننا إيجاد مركز كتلة إطار سلكي عن طريق التعامل مع كتلة كل قضيب باعتبار أنها تتركز عند نقطة منتصفه. ثم يقودنا هذا إلى نظام من الجسيمات يتطابق مركز كتلته مع مركز كتلة الإطار السلكي. وجدير بالملاحظة أيضًا أنه إذا كانت لكل قضيب في الإطار السلكي الكثافة نفسها، فلا تؤثر قيمة هذه الكثافة على مركز الكتلة. ولذلك، يمكننا إغفالها تمامًا من العمليات الحسابية التي نجريها. بناء على هذه المعلومات، هيا نوضح كيف نوجد مركز كتلة نظام من القضبان المنتظمة.

يوضح الشكل سلكًا منتظمًا ﺃﺏﺟﺩ طوله ١٠ سنتيمترات، حيث ﺃﺏ يساوي ﺏﺟ يساوي اثنين ﺟﺩ يساوي أربعة سنتيمترات. أوجد إحداثيات مركز ثقل السلك بالنسبة إلى المحورين ﺏﺃ وﺏﺟ.

سنبدأ بتذكر أن مركز كتلة القضيب المنتظم يقع عند نقطة منتصفه. والآن، في الواقع، لدينا نظام من القضبان المنتظمة. إذن ما يمكننا فعله هو أن نتعامل مع كتلة كل قضيب على أنها تتركز عند نقطة منتصفه. ونتذكر، بالطبع، أنه إذا كانت لكل قضيب في الإطار السلكي الكثافة نفسها، فإن قيمة تلك الكثافة لا تؤثر في الواقع على مركز الكتلة. لاحظ أن ﺹ منتظم، أي إن القضبان لها توزيع كتلة ثابت، حيث سنعتبر أن ﺃﺏ هو القضيب الأول، وﺏﺟ هو القضيب الثاني، وﺟﺩ هو القضيب الثالث. وهذا يعني أن كتلهم تتناسب مع أطوالهم. ونعرف أن كل قضيب له الكثافة نفسها. لذا، إذا عرفنا طول كل قضيب، أو بعبارة أخرى طول كل قطعة مستقيمة، فيمكننا بسهولة إيجاد كتلته. لإيجاد طول كل قضيب، سنستخدم حقيقة أن ﺃﺏ يساوي ﺏﺟ يساوي اثنين ﺟﺩ يساوي أربعة سنتيمترات.

بتحديد الكثافة الخطية لكل قضيب على أنها تساوي كيلوجرامًا واحدًا لكل سنتيمتر، فإن ذلك يعني أن كتلة القطعة المستقيمة ﺃﺏ تساوي أربعة كيلوجرامات. وبالمثل، كتلة القطعة المستقيمة ﺏﺟ، أو القضيب ﺏﺟ، تساوي أيضًا أربعة كيلوجرامات. كتلة القطعة المستقيمة ﺟﺩ تساوي نصفًا في أربعة كيلوجرامات. وهي نصف؛ لأننا نعلم أن اثنين ﺟﺩ يساوي أربعة سنتيمترات، إذن ﺟﺩ يساوي نصف أربعة. لذلك، فإن كتلة ﺟﺩ تساوي كيلوجرامين اثنين.

مهمتنا التالية هي إيجاد مركز كتلة كل قطعة سلك على حدة. والآن إذا استخدمنا وحدة الطول باعتبارها الإحداثيات في نظام الإحداثيات، يمكننا إيجاد إحداثيات كل نقطة. إذن، بما أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تساوي أربعة سنتيمترات، يمكن اعتبار إحداثيات النقطة ﺃ هي صفر، أربعة. إحداثيات النقطة ﺟ هي أربعة، صفر. إحداثيات النقطة ﺩ هي أربعة، سالب اثنين. وبالطبع، النقطة ﺏ تقع عند نقطة الأصل، إذن إحداثياتها هي صفر، صفر. هذا سيساعدنا في حساب نقطة المنتصف لكل قطعة مستقيمة. نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ هي مجموع كل إحداثي مقسومًا على اثنين. إذن هذا يساوي صفرًا زائد صفر مقسومًا على اثنين، وأربعة زائد صفر مقسومًا على اثنين، وهو: صفر، اثنان. بالطريقة نفسها، إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺏﺟ هي اثنان، صفر، وإحداثيات نقطة منتصف ﺟﺩ هي أربعة، سالب واحد.

بإضافة هذه الإحداثيات إلى الشكل الموضح، يمكننا أن نفرغ بعض المساحة ونحدد مركز كتلة النظام. نعلم أن مركز الكتلة يساوي مجموع ﺱﻥ ﻙﻥ، على المجموع ﻙﻥ، والمجموع ﺹﻥ ﻙﻥ، على المجموع ﻙﻥ. بعبارة أخرى، إحداثي مركز الكتلة هو متوسط إحداثي كل جسيم والمرجح حسب كتلته. لنر كيف يبدو هذا مع الإحداثي ﺱ. بسط هذا الكسر هو مجموع حواصل ضرب كل كتلة في الإحداثي ﺱ لمركزها. إذن، نحسب أربعة في صفر، وأربعة أخرى في اثنين، ثم نضرب اثنين في أربعة. بعد ذلك، المقام يساوي مجموع الكتل، أي أربعة زائد أربعة زائد اثنين. هذا يعطينا ١٦ على ١٠، وهو ما يبسط إلى ثمانية أخماس.

ويمكننا الآن تكرار هذه العملية مع الإحداثي ﺹ. هذه المرة، نستخدم الإحداثيات ﺹ لمركز الثقل. إذن، البسط يساوي أربعة في اثنين زائد أربعة في صفر زائد اثنين في سالب واحد. والمقام هو مجموع الكتل. إنها كتلة الإطار السلكي بأكمله. هذا يعطينا ستة على ١٠، الذي يبسط إلى ثلاثة أخماس. وبذلك، نجد أن إحداثيات مركز كتلة هذا النظام هي ثمانية أخماس، ثلاثة أخماس.

في المثال الأخير، سنوضح كيف نوجد المسافة بين مركز كتلة هيكل سلكي منتظم ونقطة محددة.

سلك رفيع منتظم على شكل شبه منحرف ﺃﺏﺟﺩ فيه قياس الزاوية ﺏ يساوي قياس الزاوية ﺟ، وهو ما يساوي ٩٠ درجة؛ وﺃﺏ يساوي ٤٩٤ سنتيمترًا؛ وﺏﺟ يساوي ١٠٥ سنتيمترات؛ وﺟﺩ يساوي ١٣٤ سنتيمترًا. أوجد المسافة بين مركز ثقل السلك والنقطة ﺏ، وقرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

قبل أن نحاول الإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ برسم شبه المنحرف ﺃﺏﺟﺩ. نعرف أن قياس الزاوية ﺏ وقياس الزاوية ﺟ يساويان ٩٠ درجة. وهذا يخبرنا بأن الضلعين ﺃﺏ وﺟﺩ يجب أن يكونا الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف. هيا نضف شبه المنحرف إلى المستوى الإحداثي. سنفترض أن النقطة ﺏ هي نقطة الأصل، بما أن هذه هي النقطة التي سنتعامل معها بعد قليل.

والآن، قبل أن نذهب إلى أبعد من ذلك، سنحسب طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ. وسنعرف أهمية ذلك بعد لحظات. بإضافة مثلث قائم الزاوية إلى الشكل، يمكننا في الواقع استخدام نظرية فيثاغورس لحساب قيمة ﺱ. وهذا يوضح لنا أن مربع طول الوتر، أي ﺱ تربيع، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين. حسنًا، قاعدة المثلث في الواقع تساوي ١٠٥ سنتيمترات. وارتفاعه يساوي الفرق بين ٤٩٤ و١٣٤. إذن، ﺱ تربيع يساوي ١٤٠٦٢٥. الجذر التربيعي لهذا يعطينا الطول ٣٧٥ سنتيمترًا.

وهذا مفيد جدًّا لأننا نعرف من المعطيات أن السلك منتظم، لذا فإن كل قضيب له الكثافة نفسها. ويمكننا تحديد كثافته الخطية بأنها كيلوجرام لكل سنتيمتر. ومن ثم يمكننا القول إنه بما أن القضبان لها توزيع كتلة ثابت، فإن كتلها تتناسب مع طولها. إذن، كتلة قطعة السلك بين ﺃ وﺏ تساوي ٤٩٤ كيلوجرامًا، وﺏﺟ يساوي ١٠٥ كيلوجرامات، وﺟﺩ يساوي ١٣٤ كيلوجرامًا، وﺃﺩ يساوي ٣٧٥ كيلوجرامًا.

الخطوة التالية هي إيجاد مركز كتلة كل قضيب. نعلم أن مركز الكتلة يقع عند نقطة منتصف كل قضيب. إذن سنوجد إحداثيات كل نقطة منتصف. تقع القطعة المستقيمة ﺃﺏ على المحور ﺹ، ومن ثم فإن الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف سيساوي صفرًا. الإحداثي ﺹ لها يساوي متوسط الإحداثي ﺹ لكل من ﺃ وﺏ. إذن، لدينا ٤٩٤ زائد صفر مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي ٢٤٧. ثم القطعة المستقيمة ﺏﺟ تقع على المحور ﺱ. لذا الإحداثي ﺹ لنقطة المنتصف يساوي صفرًا. إذن، الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف يساوي نصف العدد ١٠٥، أي ٥٢٫٥.

للوصول إلى نقطة المنتصف لـ ﺟﺩ، نتحرك ١٠٥ وحدات على طول المحور ﺱ. ثم نتحرك بمقدار نصف ١٣٤ وحدة إلى أعلى. إذن الإحداثي ﺱ يساوي ١٠٥، والإحداثي ﺹ يساوي ٦٧. ثم لدينا نقطة المنتصف لـ ﺃﺩ. نقطة منتصف الإحداثي ﺱ هي ٥٢٫٥. مرة أخرى، تساوي نصف ١٠٥. إذن الإحداثي ﺹ لنقطة المنتصف، في الواقع، هو متوسط ٤٩٤ و١٣٤، أي ٣١٤. والآن، نتذكر أن إحداثيات مركز الكتلة هي متوسط إحداثيات كل جسيم والمرجحة حسب كتلتها.

سنبدأ إذن بحساب الإحداثي ﺱ لمركز كتلة النظام بأكمله. ثم نوجد البسط بإيجاد مجموع حواصل ضرب كل عنصر في الصف الأول والثاني في الجدول. المقام هو ببساطة الكتلة الكلية للنظام، ومن ثم فهو مجموع كل العناصر في الصف الأول نفسه. وهذا يعطينا ٣٩٢٧٠ على ١١٠٨.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونكرر هذا للإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. لإيجاد بسط الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة، نوجد مجموع حواصل ضرب العناصر في الصف الأول والصف الثالث. بعد ذلك، نقسم ذلك مرة أخرى على الكتلة الكلية. وهذا يعطينا ٢٤٨٧٤٦. لدينا إذن إحداثيات مركز الكتلة. وبالطبع، نريد إيجاد مسافة هذه النقطة من النقطة ﺏ. ونعرف أن النقطة ﺏ هي نقطة الأصل. سنستخدم صيغة المسافة، التي هي بالطبع مجرد صورة خاصة من نظرية فيثاغورس.

المسافة هي ببساطة الجذر التربيعي لمجموع مربعي الإحداثيين ﺱ وﺹ، وهو ما يساوي ٢٢٧٫٢٨. المسافة بين مركز ثقل السلك والنقطة ﺏ، لأقرب منزلتين عشريتين، هي ٢٢٧٫٢٨ سنتيمترًا.

هيا دعونا نراجع الآن المفاهيم الرئيسية في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن مركز كتلة قضيب منتظم يقع عند نقطة المنتصف. كما عرفنا أن الجسم الجاسئ الذي يتكون من عدة قضبان منتظمة يسمى الإطار السلكي. يمكن إيجاد مركز كتلة هذا الإطار السلكي عن طريق التعامل مع مركز كتلة كل قضيب في الإطار السلكي كما لو كان مركزًا عند نقطة منتصفه. بمجرد الحصول على هذه المعلومات، يمكننا استخدام الصيغ المعتادة لمساعدتنا في حساب مركز كتلة النظام.