نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏ قضيب منتظم وزنه ١١١ نيوتن يرتكز في مستوى رأسي بطرفه العلوي ﺃ على حائط رأسي أملس، وبطرفه السفلي ﺏ على أرض أفقية خشنة. إذا كان القضيب في حالة اتزان نهائي عند ميله بزاوية قياسها ٣٠ درجة مع المستوى الأفقي، فأوجد معامل الاحتكاك ﻡﺱ بين القضيب والأرض، ورد فعل الحائط ﺭﺃ عند طرف القضيب العلوي ﺃ لأقرب منزلتين عشريتين.
قبل إجراء أي عمليات حسابية هنا، سنبدأ برسم مخطط جسم حر. تذكر أن هذا مخطط بسيط يمثل كل القوى الممكنة التي تعنينا. لدينا هنا قضيب منتظم يرتكز بطرفه العلوي ﺃ على الحائط وبطرفه السفلي ﺏ على الأرض الأفقية. وحقيقة أن الحائط رأسي والأرض أفقية تعني أنهما متعامدان. فيلتقيان عند زاوية ٩٠ درجة.
نعلم كذلك من المعطيات أن القضيب منتظم ويزن ١١١ نيوتن. هذا يعني أنه يؤثر لأسفل بقوة مقدارها ١١١ نيوتن. ولأن القضيب منتظم، يمكننا اعتبار أنه يؤثر عند منتصفه بالضبط. في الواقع ليس معطى لنا طول القضيب. ولذا سنفترض أنه يساوي اثنين ﺱ. وسنجعل وحدته المتر. هذا يعني أن قوة الوزن ١١١ نيوتن المتجهة لأسفل تؤثر عند مسافة ﺱ متر من أي من الطرفين.
نعلم من المعطيات أن هذا القضيب يميل بزاوية قياسها ٣٠ درجة مع المستوى الأفقي. وعندما يحدث ذلك يكون القضيب في حالة اتزان نهائي. هذا يعني أنه في حالة اتزان، ولكنه على وشك الانزلاق. وبما أن الأرض خشنة فهذا يعني أنها تؤثر بقوة احتكاك على القضيب نفسه. وقوة الاحتكاك هذه ستؤثر دائمًا في عكس الاتجاه الذي يحاول الجسم الانزلاق فيه. إذن فهي تؤثر في هذا المخطط يمينًا. في الواقع توجد قوتان أخريان علينا تمثيلهما.
نعلم من قانون نيوتن الثالث للحركة أنه بما أن القضيب يؤثر بقوة معينة على الأرض والحائط، فلا بد أن يؤثر كل من الأرض والحائط بقوة رد فعل عمودي على القضيب. ونمثلهما بالرمزين ﺭﺏ وﺭﺃ، على الترتيب. والآن بعد أن عرفنا كل القوى ذات الصلة، يمكننا البدء في إجراء بعض العمليات الحسابية. تستند العمليات الحسابية التي سنجريها إلى حقيقة أن القضيب في حالة اتزان. ونعلم أنه لكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يساوي مجموع كل القوى المؤثرة على هذا الجسم صفرًا.
في مسائل كهذه نفكر عادة في هذه القوى من حيث الاتجاه. يمكننا القول إن مجموع القوى المؤثرة أفقيًّا في الاتجاه ﺱ يساوي صفرًا، ومجموع القوى المؤثرة رأسيًّا في الاتجاه ﺹ يساوي صفرًا أيضًا. نعلم أيضًا أنه لكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يساوي مجموع عزوم القوى صفرًا أيضًا؛ حيث نحسب العزم بضرب القوة في المسافة العمودية لخط عمل هذه القوة من النقطة التي يحاول الجسم أن يدور حولها.
إذن دعونا نبدأ بالحقيقة الأولى. وهي أن مجموع كل القوى يساوي صفرًا. سنبدأ بتحليل القوى أفقيًّا ورأسيًّا. وسنبدأ بالاتجاه الرأسي. دعونا نسم هذا ﻕﺹ. دعونا نفترض أن الاتجاه لأعلى هو الاتجاه الموجب، بحيث تؤثر القوة ﺭﺏ في الاتجاه الموجب، وتؤثر القوة التي مقدارها ١١١ نيوتن في الاتجاه السالب. ومن ثم يمكننا القول إن مجموع القوى المؤثرة رأسيًّا في هذا المخطط هو ﺭﺏ ناقص ١١١. ولقد ذكرنا أن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. إذن ﺭﺏ ناقص ١١١ يساوي صفرًا. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭﺏ بإضافة ١١١ إلى كلا الطرفين. وبذلك نحصل على ﺭﺏ تساوي ١١١ أو ١١١ نيوتن.
دعونا نكرر هذه العملية مع القوى المؤثرة في الاتجاه الأفقي. سنسميها ﻕﺱ. وسنحدد الاتجاه الذي تؤثر فيه قوة الاحتكاك على أنه موجب. وبذلك يمكننا القول إن مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه هو قيمة قوة الاحتكاك عند النقطة ﺏ ناقص قوة رد الفعل عند النقطة ﺃ. ومرة أخرى هذا يساوي صفرًا. كيف يساعدنا ذلك إذن؟ فلدينا الآن قيمتان مجهولتان. ولكن يمكننا تذكر صيغة تساعدنا في حساب قيمة قوة الاحتكاك.
نعلم أن الاحتكاك يحسب بضرب ﻡﺱ في ﺭ. ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك. وهو يشير بالأساس إلى مدى خشونة الجسم. أما ﺭ فهي قوة رد الفعل العمودي عند هذه النقطة. وبما أن قوة الاحتكاك تؤثر عند النقطة ﺏ على القضيب، يمكننا القول إن ﻡﺱﺭ يساوي ﻡﺱ في ﺭﺏ. ومن ثم تصبح المعادلة ﻡﺱ في ﺭﺏ ناقص ﺭﺃ يساوي صفرًا. ولكن تذكر أننا وجدنا أن ﺭﺏ تساوي ١١١ نيوتن. إذن تصبح هذه المعادلة ١١١ﻡﺱ ناقص ﺭﺃ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭﺃ بإضافة ﺭﺃ إلى كلا الطرفين. وبذلك نجد أن ﺭﺃ تساوي ١١١ﻡﺱ.
حتى الآن، لم نصل إلى أي نتائج مهمة. ولكن يمكننا الاحتفاظ بكل هذه المعلومات لما بعد. والآن سنتناول عزوم القوى. نعلم أن مجموع هذه العزوم يساوي صفرًا. إذن دعونا نحتفظ بالمعلومات الأساسية على الشاشة ونفرغ بعض المساحة.
سنختار نقطة يمكننا أخذ العزوم حولها. يمكننا اختيار أي نقطة على القضيب، ولكن بما أن القوى المؤثرة عند النقطة ﺏ أكثر من القوى المؤثرة عند النقطة ﺃ، فسنأخذ العزوم حول النقطة ﺏ. سنعتبر أيضًا أن عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجب، كما هو موضح. لعلنا نتذكر أن العزوم تحسب بضرب قيمة القوة في المسافة العمودية لخط عمل القوة إلى النقطة التي يحاول الجسم أن يدور حولها. إذن علينا هنا إيجاد قيمة القوة ومسافتها العمودية من خط العمل إلى النقطة ﺏ.
نعلم أنه لا تعنينا أي قوة من القوى المؤثرة عند النقطة ﺏ؛ لأن هذه القوى تبعد مسافة صفر متر عن النقطة ﺏ. ومن ثم فإن عزومها تساوي صفرًا. لذا، بدلًا من ذلك، ننتقل إلى قوة الوزن المتجهة لأسفل التي تساوي ١١١ نيوتن. لإيجاد عزم هذه القوة علينا حساب مركبتها التي تؤثر عموديًّا على القضيب. ولذلك نضيف مثلثًا قائم الزاوية كما هو موضح. قياس الزاوية المحصورة في هذا المثلث يساوي ٣٠ درجة. وبما أننا نريد إيجاد مركبة القوة العمودية على القضيب، فدعونا نطلق على هذا الطول ﺹ.
بالنسبة إلى هذه الزاوية المحصورة، نجد أن ﺹ هو الضلع المجاور. ونعلم أن طول الوتر يساوي ١١١ نيوتن. لذا سنستخدم نسبة جيب التمام. جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور على الوتر. وبالتعويض بالمعلومات التي نعرفها عن المثلث في هذه الصيغة، نحصل على جتا ٣٠ درجة يساوي ﺹ على ١١١. وإذا ضربنا في ١١١ نجد أن ﺹ يساوي ١١١ في جتا ٣٠. وجتا ٣٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين. ومن ثم يمكننا تبسيط ذلك أكثر لنحصل على ١١١ في جذر ثلاثة على اثنين. نلاحظ هنا أن العزم سيكون سالبًا؛ لأن هذه القوة تحاول تدوير القضيب في اتجاه دوران عقارب الساعة. القوة في المسافة هنا يساوي ١١١ جذر ثلاثة على اثنين في ﺱ.
والآن سننتقل إلى قوة أخرى على هذا المخطط. هذه المرة علينا إيجاد مركبة قوة رد الفعل عند النقطة ﺃ العمودية على القضيب. لذا سنرسم مثلثًا آخر قائم الزاوية. لدينا زاوية محصورة قياسها ٣٠ درجة مرة أخرى. ويبدو هذا صحيحًا؛ لأننا نعرف أن الزاويتين المتبادلتين متساويتان في القياس. دعونا نطلق على ضلع المثلث الذي نحاول إيجاده ﻉ. ﻉ هو الضلع المقابل في هذا المثلث. وبالطبع لدينا مقدار يعبر عن الوتر. إذن سنستخدم نسبة الجيب هذه المرة. جا ٣٠ درجة هنا يساوي ﻉ على ﺭﺃ. وإذا ضربنا في ﺭﺃ، فسنحصل على ﻉ يساوي ﺭﺃ
جا ٣٠.
نعلم أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. إذن هذا يساوي نصف ﺭﺃ. والآن بعد أن حسبنا مركبة هذه القوة العمودية على القضيب، يمكننا إيجاد عزمها. تحاول القوة تدوير القضيب عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ولهذا سيكون العزم موجبًا. القوة في المسافة هنا يساوي نصف ﺭﺃ في اثنين ﺱ. ونعلم هنا بالطبع أن مجموع هذين العزمين يجب أن يساوي صفرًا. دعونا نفرغ بعض المساحة، ونر ما يمكننا فعله أيضًا.
لعلنا نلاحظ أن لدينا حاليًّا قيمتين مجهولتين في هذه المعادلة. وهما ﺱ وﺭﺃ. ولكن ﺱ واثنين ﺱ بعدان لأنهما يمثلان طول القضيب. ولهذا ﺱ لا يمكن أن يساوي صفرًا. هذا يعني أنه يمكننا قسمة المعادلة كلها على ﺱ. نصف ﺭﺃ في اثنين يساوي ﺭﺃ. وهكذا يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭﺃ بإضافة ١١١ جذر ثلاثة على اثنين إلى كلا الطرفين. إذن ﺭﺃ تساوي ١١١ في جذر ثلاثة على اثنين. وهذا يعطينا ٩٦٫١٢٨ مع توالي الأرقام. وبتقريب هذا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن ﺭﺃ تساوي ٩٦٫١٣ نيوتن.
والآن علينا إيجاد قيمة ﻡﺱ. ولذا سنعود إلى إحدى المعادلات السابقة. وهي ﺭﺃ تساوي ١١١ في ﻡﺱ. هذا يعني أن ١١١ﻡﺱ يجب أن يساوي ١١١ في جذر ثلاثة على اثنين. نوجد قيمة ﻡﺱ بقسمة كلا الطرفين على ١١١. إذن ﻡﺱ يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وهذا يساوي ٠٫٨٦٦ مع توالي الأرقام، أو ٠٫٨٧ لأقرب منزلتين عشريتين. وهكذا، ﺭﺃ تساوي ٩٦٫١٣ نيوتن، وﻡﺱ يساوي ٠٫٨٧.
