نسخة الفيديو النصية
بسط الدالة ﻥ ﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ٣٤٣ على اثنين ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ في ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩، وعين مجالها.
بالنظر إلى ﻥ ﺱ جيدًا، نلاحظ أنها في الواقع حاصل ضرب دالتين كسريتين، وبالطبع الدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. لنذكر أنفسنا إذن كيف نوجد المجال عندما نتعامل مع دالة هي نفسها مركبة من دالتين أو أكثر. نذكر أنفسنا أولًا أن المجال هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة فقط. وعندما نتعامل مع مجال دالة مركبة من مجموعة من الدوال، فإنه يكون عبارة عن تقاطع مجالات هذه الدوال. لذا إذا عرفنا الكسر الأول ليكون ﺩ ﺱ وكذلك الكسر الثاني، فإننا نعلم أنه علينا إيجاد مجال كل من هاتين الدالتين على حدة، ثم إيجاد تقاطعهما لإيجاد مجال ﻥ ﺱ. سنقوم بهذه الخطوة قبل تبسيط الكسر.
لنبدأ بالتفكير في مجال الدالة ﺩ ﺱ. ذكرنا أن ﺩ ﺱ دالة كسرية. ويمكننا أن نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا. إذن، مجال ﺩ ﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا قيم ﺱ التي تجعل اثنين ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ يساوي صفرًا. لإيجاد قيم ﺱ هذه، علينا حل المعادلة اثنين ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ يساوي صفرًا. بما أن الطرف الأيمن يحتوي على العامل المشترك اثنين ﺱ، يمكننا التحليل لنحصل على اثنين ﺱ في ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا. إذن، لكي يكون حاصل ضرب هذين المقدارين يساوي صفرًا، يجب أن يكون أي من هذين المقدارين يساوي صفرًا. أي إما أن يكون اثنين ﺱ يساوي صفرًا، ما يعني أن ﺱ يساوي صفرًا وإما أن يكون ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا، ما يعني أن ﺱ يساوي سالب سبعة.
هاتان هما قيمتا ﺱ اللتان نختار استبعادهما من مجال الدالة. إذن، مجال الدالة ﺩ ﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب سبعة وصفر. لنكرر هذه العملية مع الدالة ﺭ ﺱ. مرة أخرى، هي دالة كسرية. ولذا فإن مجالها سيكون مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا هذه القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. ولإيجاد هذه القيم التي علينا استبعادها، نساوي المقام بصفر ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. إذن، ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ يساوي صفرًا. هذا المقدار، ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩، لا يمكن تحليله. لأنه لا يوجد عددان حاصل ضربهما يساوي ٤٩ ومجموعهما يساوي سالب سبعة. في الحقيقة، يمكننا التحقق من ذلك أكثر بالنظر إلى مميز هذه المعادلة التربيعية.
بالنسبة إلى المعادلة التربيعية التي تكون على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، فإن المميز يكون ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ. إذن، في هذه الحالة، فهو يساوي سالب سبعة تربيع ناقص أربعة في واحد في ٤٩. هذا يساوي سالب ١٤٧. وهذا عدد سالب. فهو أصغر من الصفر. ويعني ذلك أن المعادلة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ يساوي صفرًا ليس لها حلول حقيقية. أي إنه لا توجد قيم لـ ﺱ تجعل ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ يساوي صفرًا. وهذا جيد لأنه لا توجد قيم لـ ﺱ علينا أن نستبعدها من المجال. وعليه، فإن مجال ﺭ ﺱ هو ببساطة مجموعة الأعداد الحقيقية. إذن، يمكننا الآن تحديد مجال ﻥ ﺱ. إنه تقاطع المجالين. بعبارة أخرى، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب سبعة وصفر.
والآن بعد أن أصبح لدينا مجال الدالة ﻥ ﺱ، أصبحنا جاهزين للتبسيط. لنستخدم الصورة التحليلية لمقام ﺩ ﺱ بدلًا من المقام نفسه، وهي اثنان ﺱ في ﺱ زائد سبعة. نفعل ذلك لأننا عندما نبسط دالة ما، فإننا نريد التحليل حيثما أمكن. سيسمح لنا ذلك فيما بعد بتحديد العوامل المشتركة التي يمكننا حذفها معًا. لقد ذكرنا سابقًا أن ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ لا يمكن تحليله، وكذلك المقدار ﺱ زائد ثلاثة. لكن ماذا عن ﺱ تكعيب زائد ٣٤٣؟ حسنًا، نعلم أن ٣٤٣ يساوي سبعة تكعيب. إذن، يمكننا استخدام صيغة مجموع مكعبين. يعني ذلك أنه يمكن كتابة ﺱ تكعيب زائد ﺹ تكعيب على الصورة ﺱ زائد ﺹ في ﺱ تربيع ناقص ﺱﺹ زائد ﺹ تربيع.
لتحديد كيفية تحليل ﺱ تكعيب زائد ٣٤٣، فإننا نكتبه على الصورة ﺱ تكعيب زائد سبعة تكعيب. يعني ذلك أنه يمكننا استخدام هذه الصيغة لنحصل على ﺱ زائد سبعة في ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد سبعة تربيع، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة ﺱ زائد سبعة في ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩. والآن يمكننا إعادة كتابة ﻥ ﺱ باستخدام الصورة التحليلية لـ ﺱ تكعيب زائد ٣٤٣. والسبب لفعل ذلك هو أنه يمكننا الآن البدء في إيجاد العوامل المشتركة التي يمكننا حذفها معًا. على سبيل المثال، يمكننا حذف ﺱ زائد سبعة من بسط الكسر ومقامه. بما أننا استبعدنا ﺱ يساوي سالب سبعة من المجال، فلن نقسم أبدًا صفرًا على صفر، فهي قيمة غير معرفة. إذن ﺱ زائد سبعة مقسومًا على ﺱ زائد سبعة سيساوي واحدًا.
وبالمثل، نحذف العاملين ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ معًا. ونلاحظ أنه يتبقى لدينا واحد على اثنين ﺱ في ﺱ زائد ثلاثة على واحد. أخيرًا، كل ما علينا فعله هو ضرب الكسرين عن طريق ضرب بسطيهما وضرب مقاميهما كل على حدة. وهذا يعطينا ﺱ زائد ثلاثة على اثنين ﺱ. إذن ﻥ ﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة على اثنين ﺱ. والمجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب سبعة وصفر.
