فيديو: حل نظام من معادلتين آنيتين باستخدام المعكوس الضربي للمصفوفة

يوضِّح الفيديو مفهوم المعادلات المصفوفية، وخطوات حل نظام من معادلتين آنيتين باستخدام المعكوس الضربي للمصفوفات.

١١:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على حلّ نظام من معادلتين آنيتين باستخدام المعكوس الضربي للمصفوفة.

علشان نحلّ نظام من معادلتين آنيتين باستخدام المعكوس الضربي للمصفوفة، بنستخدم حاجة اسمها المعادلات المصفوفية؛ عشان تسهّل لنا تمثيل نظام المعادلات بشكل معيّن. وبالتالي نقدر نجيب المعكوس الضربي ونحلّ المعادلتين. المعادلات المصفوفية: لمَّا يكون عندنا معادلتين بالشكل ده: أ في س، زائد ب في ص يساوي ل. وَ ج في س، زائد د في ص يساوي م. الـ س والـ ص هو اللي إحنا عايزين نجيب قيمتهم، اللي هو هنحلّ المعادلة علشانهم. وَ أ، وَ ب، وَ ج، وَ د، وَ ل، وَ م دول أعداد حقيقية أو رموز.

طيب بنقدر نستخدم المعادلات المصفوفية لتمثيل نظام المعادلات في شكل مصفوفات وحلّه. نعمل إيه؟ هنعبّر عن المعادلتين دول بشكل المعادلة المصفوفية: ع في م يساوي ث، حيث الـ ع بتبقى مصفوفة المعاملات. يعني الـ أ والـ ب والـ ج والـ د المعاملات المضروبة في المتغيّرات س وَ ص، هنمثّلها بالمصفوفة ع. والـ س وَ ص هتمثّل المصفوفة الخاصة بالمتغيّرات. وَ ل وَ م هنحطّهم في مصفوفة الثوابت. يبقى عندنا المعادلات الخطّية هنمثّلها بالشكل: أ ب ج د دي مصفوفة، وَ س وَ ص مصفوفة. هيساوي الـ ل والـ م المصفوفة بتاعة الثوابت.

كده حوّلنا المعادلات بشكل مصفوفات: ع في م يساوي ث. نقدر نحلّها زيّ ما بنحلّ المعادلات اللي على الشكل: أ س يساوي ب، حيث الـ س متغيّر كُنّا بنبحث على قيمته، والـ أ ده كان عدد مضروب في الـ س يساوي … ب عدد تاني. كُنّا بنقسم طرفَي المعادلة على الـ أ، يعني كان واحد على أ، مضروبة في الـ أ في الـ س، تساوي واحد على أ مضروبة في الـ ب. واحد على الـ أ في الـ أ كانت بتدّيلنا واحد، مضروبة في الـ س. تساوي … واحد على أ اللي هو أ أُس سالب واحد، في الـ ب. والواحد كُنّا بنشيلها؛ لأنها دي واحد ما كانتش بتهمّنا. يبقى قيمة الـ س كانت تساوي أ أُس سالب واحد، مضروبة في الـ ب.

نفس الكلام ده هنعمله في المصفوفات، بس هنا الواحد في الأعداد بيقابل مصفوفة الوحدة في المصفوفات. يعني هنيجي عند الـ ع في م تساوي ث، هنقسم طرفَي المعادلة على مصفوفة الـ ع. يعني هنضرب في ع سالب واحد. يعني لو قُلنا: ع سالب واحد مضروبة في الـ ع، والمصفوفة بتاعة المتغيّرات م تساوي الـ ع سالب واحد في الـ ث مصفوفة الثوابت. الـ ع سالب واحد في الـ ع، زيّ ما قُلنا، هتساوي مصفوفة الوحدة I. وَ م مصفوفة المتغيّرات هتساوي ع سالب واحد، اللي هو المعكوس الضربي للمصفوفة ع مضروب في مصفوفة الثوابت.

يبقى معنى كده حلّ المعادلة المصفوفية بالشكل: ع في م يساوي ث، هو حاصل ضرب المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات مضروب في مصفوفة الثوابت. يعني الـ م هتساوي ع سالب واحد في الـ ث. ناخد بالنا من ملاحظة مهمّة جدًّا؛ إن يمكن استخدام هذه الطريقة لحلّ نظام معادلات فقط إذا كان لمصفوفة المعاملات معكوس ضربي. وإذا لم يكن لها معكوس ضربي، يبقى الحلّ يا إمّا عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حلّ. لأن إحنا هنا بنستخدم المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات. لو كانت مصفوفة المعاملات مالهاش معكوس ضربي، يبقى الحلّ هيبقى أصفار. يبقى معناها إن هو هيبقى يا عدد لا نهائي، أو لا يوجد حلّ.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. زوَّد أحمد سيارته بالوقود مرتين أثناء سفره. فإذا كان سعر البنزين في المحطة الأولى خمس جنيهات، وفي المحطة التانية تلاتة جنيه وخمسة وستين قرش. وكان مجموع ما زوَّد به سيارته مية وأربعة لترات، بسعر إجمالي ربعمية تسعة وتلاتين جنيه. فكم لتر بنزين زوَّد به سيارته من كل محطة؟

إحنا عايزين كام لتر زوّد بيه عربيته في كل محطة. يعني عندنا قيمتين. يعني عندنا س وَ ص متغيّرات. عندنا خطوات عشان نعرف نحلّ المثال اللي زيّ ده. هنكتب المعادلة المصفوفية. بس قبل ما نكتب المعادلة المصفوفية، هنستفيد بالمعلومات اللي ادّاها لنا في المثال بإننا إحنا نكتب المعادلات اللي هنحلّها. بفرض س عدد اللترات في المحطة الأولى. وَ ص عدد اللترات من المحطة التانية. وإحنا هنا بيقول لنا: زوّد مية وأربعة لتر، يعني الـ س زائد الـ ص تساوي مية وأربعة. وسعر إجمالي ربعمية تسعة وتلاتين. يعني الخمسة جنيه مضروبة في عدد اللترات، اللي هو خمسة س زائد التلاتة جنيه خمسة وستين قرش مضروبة في الـ ص. هتساوي الربعمية تسعة وتلاتين اللي دفعهم كلهم. يبقى كده كتبنا المعادلات اللي إحنا عايزينها، اللي إحنا عايزين نحلّها، ونجيب قيمة الـ س والـ ص.

طيب أول خطوة في الحلّ: هنكتب المعادلة المصفوفية. يعني هنكتب مصفوفة المعاملات، مصفوفة المتغيّرات، مصفوفة الثوابت. أول مصفوفة اللي فيها المعاملات أول عنصر فيها فوق، اللي هو العمود الأول للصفّ الأول. هناخد معامل الـ س في المعادلة الأولانية. هيبقى هنا واحد. القيمة اللي بعدها اللي هو الصفّ الأول العمود التاني، هناخد معامل الـ ص في المعادلة الأولانية. يبقى هنا واحد. وبعدين المعادلة التانية هتمثّل الصفّ التاني في المعاملات. يبقى خمسة وتلاتة وخمسة وستين من مية. يبقى دي خمسة، وتلاتة وخمسة وستين من مية. وعندنا المجاهيل س وَ ص، اللي هي مصفوفة المتغيّرات. وبعد كده الثوابت اللي عندنا. المعادلة الأولانية، هنحطّ أول ثابت، اللي هو مية وأربعة. والثابت التاني ربعمية تسعة وتلاتين.

يبقى كده حطّينا المعادلة المصفوفية. يبقى دي مصفوفة المعاملات، ودي مصفوفة المتغيّرات، ودي مصفوفة الثوابت. زيّ ما قُلنا، الحلّ عندنا، اللي هو المتغيّرات، بتساوي المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات، مضروب في مصفوفة الثوابت. يبقى هنجيب المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات، اللي هو تاني خطوة عندنا. عشان نجيب المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات، أول حاجة بنجيب المحدِّد بتاعها. يعني بنضرب الواحد في التلاتة خمسة وستين من مية. ونطرح منه الخمسة في الواحد. يبقى المحدّد هيساوي سالب واحد وخمسة وتلاتين من مية.

بعد كده المعكوس للمصفوفة هيساوي واحد على قيمة المحدّد، مضروبة في … بنعكس عناصر القطر الرئيسي تلاتة، وخمسة وستين، وهنا الواحد. ونعكس إشارات عناصر القطر الآخر، يعني سالب خمسة وسالب واحد. يبقى الناتج عندنا هيبقى … القيمة دي هنضربها في المصفوفة اللي إحنا طلّعناها. وده ثابت بنضربه في المصفوفة. يعني الثابت هيتضرب في كل عنصر من عناصر المصفوفة. هينتج عندنا المصفوفة فيها أول عنصر: سالب تلاتة وخمسة وستين من مية على واحد وخمسة وتلاتين من مية. تاني عنصر: واحد على واحد وخمسة وتلاتين من مية. تالت عنصر: خمسة على واحد وخمسة وتلاتين من مية. رابع عنصر: سالب واحد على واحد وخمسة وتلاتين من مية. هنسيبها زيّ ما هي، وما نبسّطش أكتر من كده؛ لأن هناخدها بعد كده ونضربها في مصفوفة تانية.

يبقى الحلّ هيساوي القيمة اللي جِبناها، اللي هي المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات. وهنضربه في مصفوفة الثوابت، اللي هو هيساوي … طبعًا ده س وَ ص. المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات مضروبة في مصفوفة الثوابت مية وأربعة وربعمية تسعة وتلاتين. عندنا مصفوفة من النظم اتنين في اتنين، مضروبة في مصفوفة من النظم اتنين في واحد. يبقى الناتج عندنا هيبقى اتنين في واحد، اللي هي قيمة الـ س والـ ص. يبقى حاصل ضرب المصفوفتين هينتج عندنا عنصرين س وَ ص؛ أربعة وأربعين وستين. عن طريق إن إحنا ضربنا أول صفّ في العمود مية وأربعة وربعمية تسعة وتلاتين، جاب لنا قيمة الأربعة وأربعين. وتاني صفّ في العمود مية وأربعة ربعمية تسعة وتلاتين هيدّي لنا قيمة الستين. يبقى معنى كده إن الـ س، اللي هو عدد اللترات من المحطة الأولى، هيساوي أربعة وأربعين. والـ ص، عدد اللترات من المحطة التانية، هيساوي ستين.

اتكلّمنا في الفيديو ده عن حلّ نظام من معادلتين آنيتين باستخدام المعكوس الضربي للمصفوفة. عرفنا إزَّاي نجيب المعادلات المصفوفية من نظام من المعادلات ونحلّها. والحلّ كان المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات مضروب في مصفوفة الثوابت. ولو كان المعكوس الضربي لمصفوفة المعاملات مش موجود، بيبقى عندنا عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد حلّ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.