تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة على فترة محددة

أحمد لطفي

يوضِّح الفيديو تعريف القيم العظمى المطلقة، والقيم الصغرى المطلقة، وتعريف نظرية القيمة القصوى، ويوضِّح أيضًا كيفية تحديد القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة محدَّدة تكون الدالة مُعرَّفة عندها.‎

٠٨:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة على فترة محددة. وهنعرف إيه هي القيمة العظمى المطلقة. وإيه هي القيمة الصغرى المطلقة. وإيه هي نظرية القيمة القصوى. وإزاي نقدر نحدد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة المعرّفة في فترة محددة.

القيمة العظمى المطلقة هي النقطة اللي بيكون عندها أكبر قيمة ممكنة للدالة.

والقيمة الصغرى المطلقة هي النقطة اللي بيكون عندها أصغر قيمة ممكنة للدالة.

وبالنسبة لنظرية القيمة القصوى. إذا كانت الدالة د س متصلة على فترة مغلقة من أ إلى ب. فإن الدالة ليها قيمة عظمى مطلقة هنرمز لها بالرمز م. وقيمة صغرى مطلقة هنرمز لها بالرمز ل. في الفترة المحدّدة المغلقة من أ إلى ب. حيث يوجد العددين س واحد وَ س اتنين في الفترة المغلقة من أ إلى ب. حيث د س واحد هتساوي م. وَ د س اتنين هتساوي ل. بحيث ل هتكون أصغر من أو بتساوي د س. وَ د س هتكون أصغر من أو بتساوي م. لجميع قيم س المختلفة في الفترة.

يعني بالنسبة لجميع قيم س المختلفة في الفترة المغلقة من أ إلى ب. ل هتمثل أصغر قيمة من جميع قيم س المختلفة في الفترة المغلقة من أ إلى ب. وَ م هتمثل أكبر قيمة في جميع قيم س المختلفة في الفترة المغلقة من أ إلى ب. وبالتالي م هتُسمى قيمة عظمى مطلقة. وَ ل هتسمى قيمة صغرى مطلقة.

ويبقى كده عرفنا إيه هي القيمة العظمى المطلقة. وإيه هي القيمة الصغرى المطلقة. وإيه هي نظرية القيمة القصوى. لو عايزين نشوف إزاي هنقدر نوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة المعرّفة في فترة محددة. لو مثلًا عندنا دالة بالشكل ده.

مطلوب نحدّد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة د س بتساوي أربعة س أُس تلاتة زائد ستة س تربيع ناقص اتنين وسبعين س زائد خمسين. المعرّفة في الفترة من سالب خمسة أصغر من أو بتساوي س، وَ س أصغر من أو بتساوي خمسة.

أول خطوة عشان نقدر نوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة د س. محتاجين نوجد مشتقة الدالة د س. يبقى د شرطة س هتساوي اتناشر س تربيع زائد اتناشر س ناقص اتنين وسبعين. هناخد اتناشر عامل مشترك. فهيكون عندنا د شرطة س هتساوي اتناشر مضروبة في س تربيع زائد س ناقص ستة. هنحلل س تربيع زائد س ناقص ستة. فهيكون عندنا د شرطة س هتساوي اتناشر مضروبة في س ناقص اتنين مضروبة في س زائد تلاتة.

وبالتالي نقدر نحدد النقاط الحرجة. وبالتالي النقاط الحرجة للدالة د س هتكون س بتساوي اتنين، وَ س بتساوي سالب تلاتة.

الخطوة التالية هنقسّم مجال الدالة لفترات باستخدام النقاط الحرجة. وهنوجد حالة الدالة في كل فترة فيهم. إذا كانت الدالة هتكون تزايدية أو تناقصية.

هنمثّل مجال الدالة على خط الأعداد، وهيكون بالشكل ده. وعندنا النقاط الحرجة عند س بتساوي اتنين، وَ س بتساوي سالب تلاتة. وبالتالي هيكون عندنا تلات فترات.

أول فترة هي من سالب خمسة أصغر من س، وَ س أصغر من سالب تلاتة. عشان نقدر نحدد حالة الدالة في الفترة دي، هنختار نقطة بداخل الفترة. مثلًا س بتساوي سالب سبعة عَ الاتنين. وهنعوض عن س بتساوي سالب سبعة عَ الاتنين في مشتقة الدالة اللي هي د شرطة س. وبالتالي هنوجد د شرطة سالب سبعة عَ الاتنين. هنجد إن القيمة هتساوي تلاتة وتلاتين. وبالتالي بما إن القيمة موجبة فهتكون الدالة في الفترة دي تزايدية.

تاني فترة هي من سالب تلاتة أصغر من س، وَ س أصغر من اتنين. هنختار أي نقطة بداخل الفترة. مثلًا س بتساوي صفر. هنعوّض في مشتقة الدالة عن س بتساوي صفر. يعني هنعوّض عن س بتساوي صفر في د شرطة س. وبالتالي هنوجد د شرطة صفر. د شرطة صفر هتساوي سالب اتنين وسبعين. وبما إن الناتج كانت قيمة سالبة. وبالتالي الدالة في الفترة دي هتكون تناقصية.

تالت فترة هي من اتنين أصغر من س وَ س أصغر من خمسة. هنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة. مثلًا عند س بتساوي تلاتة. هنعوّض عن س بتساوي تلاتة في د شرطة س. وبالتالي هنوجد د شرطة تلاتة. د شرطة تلاتة هتساوي اتنين وسبعين. وبما إن القيمة موجبة. وبالتالي الدالة في الفترة دي هتكون تزايدية.

يبقى كده قدرنا نحدد حالة الدالة إذا كان تزايدية أو تناقصية خلال مجالها. عشان نقدر نكمل هنسيب خط الأعداد والنقاط الحرجة، وهنمسح باقي الخطوات.

محتاجين نوجد القيم العظمى والصغرى للدالة. وبالتالي هنختار قيم لـ س وهي بداية الفترة ونهاية الفترة وعند النقاط الحرجة. وهنعوض عن قيم س في الدالة. وهنشوف حالة الدالة قبل وبعد قيم س. وبالتالي هنقدر نحدد القيم العظمى والصغرى للدالة. يعني هيكون عندنا جدول بالشكل ده.

أول قيمة لـ س هي بداية الفترة عند س بتساوي سالب خمسة. وقيمة الدالة عند س بتساوي سالب خمسة كانت بتساوي ستين. قبل س بتساوي سالب خمسة الدالة كانت غير موجودة. وبعد س بتساوي سالب خمسة الدالة كانت تزايدية. وبالتالي عند س بتساوي سالب خمسة قيمة الدالة هتكون قيمة صغرى.

تاني قيمة لـ س هي عند النقطة الحرجة س بتساوي سالب تلاتة. وقيمة الدالة عند س بتساوي سالب تلاتة كانت بتساوي ميتين واتناشر. الدالة قبل س بتساوي سالب تلاتة كانت تزايدية. وبعد س بتساوي سالب تلاتة كان تناقصية. وبالتالي قيمة الدالة عند س بتساوي سالب تلاتة هي قيمة عظمى.

وبنفس الطريقة هنقدر نوجد إن عند س بتساوي اتنين الدالة كان ليها قيمة صغرى. وعند س بتساوي خمسة الدالة كان ليها قيمة عظمى. وبالتالي في الفترة المغلقة من سالب خمسة لخمسة كان عندنا النقاط سالب خمسة وستين، واتنين وسالب تمنية وتلاتين، بيمثلوا قيم صغرى محلية.

وبالنسبة للنقاط سالب تلاتة وميتين واتناشر، والنقطة خمسة وتلتمية وأربعين، هيمثلوا قيم عظمى محلية. وبالتالي نقدر نقول إن النقطة اتنين وسالب تمنية وتلاتين هي أصغر نقطة صغرى محلية. إذن النقطة دي هي نقطة صغرى مطلقة. وبالتالي القيمة الصغرى المطلقة للدالة د س هتكون سالب تمنية وتلاتين.

ونقدر أيضًا نقول إن النقطة خمسة وتلتمية وأربعين هي أكبر نقطة عظمى محلية. إذن هي نقطة عظمى مطلقة. وبالتالي يبقى القيمة العظمى المطلقة للدالة د س هتكون هي تلتمية وأربعين.

وبالتالي نكون قدرنا نوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة د س.

لو عايزين نشوف القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة د س من خلال الرسم البياني. فعندنا الرسم البياني للدالة هيكون بالشكل ده. هنلاحظ إن سالب تمنية وتلاتين هي أصغر قيمة للدالة د س في الفترة المغلقة من سالب خمسة لخمسة. وبالتالي سالب تمنية وتلاتين هي قيمة صغرى مطلقة.

وهنلاحظ أيضًا إن تلتمية وأربعين هي أكبر قيمة للدالة د س في الفترة من سالب خمسة لخمسة. وبالتالي تلتمية وأربعين هي قيمة عظمى مطلقة للدالة د س.

يبقى في النهاية عرفنا إيه هي القيمة العظمى المطلقة. وإيه هي القيمة الصغرى المطلقة. وإيه هي نظرية القيمة القصوى. وإزاي نقدر نحدد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة المعرّفة على فترة محددة.