فيديو السؤال: إيجاد الشغل الذي تبذله قوة في الصورة المتجهة تؤثر على جسم يتحرك بين نقطتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تحرك جسيم في مستوى فيه ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان. أثرت القوة ﻕ يساوي تسعة ﺱ زائد ﺹ نيوتن على الجسيم. تحرك الجسيم من نقطة الأصل إلى نقطة متجه موضعها سالب تسعة ﺱ زائد ستة ﺹ متر. أوجد الشغل الذي تبذله القوة.

لدينا في معطيات هذا السؤال مقدار القوة ﻕ وأيضًا مركبتا هذه القوة. علمنا كذلك أن القوة تساعد على تحريك الجسيم من نقطة الأصل إلى النقطة سالب تسعة ﺱ، ستة ﺹ متر. سنسمي متجه الموضع هذا ﺭ، ونريد إيجاد الشغل الذي تبذله القوة ﻕ، ويمكن أن نسميه ﺵ.

لنبدأ برسم مخطط يمثل القوة ومتجه الموضع. إذا رسمنا مجموعة من محاور الإحداثيات، حيث ﺱ هو المركبة الأفقية وﺹ هو المركبة الرأسية، فسنتمكن إذن من تمثيل القوة ﻕ بيانيًّا وكذلك متجه الموضع ﺭ، وهما اللذان رسمناهما بداية من نقطة الأصل ووصولًا إلى نقطتي نهاية مركبة كل منهما.

بما أننا نريد إيجاد الشغل ﺵ الذي تبذله القوة ﻕ، يمكننا تذكر أن هذا الشغل يساوي مقدار القوة ﻕ في مقدار الإزاحة ﻑ مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين. يمكننا هنا كتابة أن ﺵ يساوي مقدار ﻕ في مقدار ﺭ مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما، والتي سنسميها 𝜃.

يمكننا البدء بإيجاد قياس الزاوية 𝜃. بالنظر إلى المخطط، إذا أسمينا الزاوية المحصورة بين محور ﺱ الموجب وﻕ بـ 𝛼، والزاوية المحصورة بين محور ﺱ السالب وﺭ بـ 𝛽، فيمكننا كتابة أن 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة ناقص 𝛼 ناقص 𝛽 أو التحويل من الدرجات إلى الراديان، فتصبح 𝜃 تساوي 𝜋 ناقص 𝛼 ناقص 𝛽.

عند النظر إلى الزاويتين 𝛼 و𝛽، نلاحظ أننا لا نعرف قياسيهما، لكننا نعرف نقطتي نهاية المتجهين اللذين يبدآن من نقطة الأصل ويساعدان على إيجاد قياسي هاتين الزاويتين. ينتهي متجه القوة ﻕ عند النقطة تسعة، واحد، وينتهي متجه الموضع ﺭ عند النقطة سالب تسعة، ستة. ويمكننا استخدام إحداثيات ﺱ وﺹ لكل من ﻕ وﺭ للمساعدة في إيجاد قياسي 𝛼 و𝛽.

بالنظر إلى الزاوية 𝛼 أولًا، يمكننا كتابة أن ظل الزاوية 𝛼 يساوي واحدًا على تسعة. وهذا يساوي المركبة الرأسية لهذا المتجه مقسومة على مركبته الأفقية. يشير ذلك إلى أن 𝛼 هو الدالة العكسية لظل واحد على تسعة.

لننظر الآن إلى الزاوية 𝛽. يمكننا كتابة ظل الزاوية 𝛽 على الصورة موجب ستة على تسعة، وكلا العددين موجب لأن الزاوية تقع في الربع الأول بالفعل. ومن ثم، فإن 𝛽 يساوي الدالة العكسية لظل ستة على تسعة. وبذلك، أصبح لدينا مقدار يعبر عن 𝜃 يمكننا إدخاله على الآلة الحاسبة وإيجاد قيمته. بعد أن انتهينا من هذه الخطوة، دعونا نعد إلى معادلة الشغل، ونفكر في مقدار القوة ومقدار الإزاحة ﺭ.

عند تذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه، نجد أن مركبتي ﻕ هما تسعة ﺱ وواحد ﺹ. إذن، نأخذ الجذر التربيعي لتسعة تربيع زائد واحد تربيع. والناتج سيساوي مقدار ﻕ بوحدة النيوتن. ومقدار الإزاحة ﺭ سيساوي الجذر التربيعي لسالب تسعة تربيع زائد ستة تربيع، أي مربعي مركبتي ﺭ بوحدة المتر.

بتجميع المقادير التي تعبر عن كل من ﻕ وﺭ و𝜃، وبالتعويض بهذه القيم ثم إدخالها على الآلة الحاسبة، نحصل على قيمة ﺵ، وهي تساوي سالب ٧٥ جول. إذن، هذا هو الشغل الذي تبذله القوة ﻕ على الجسيم خلال إزاحته ﺭ.