فيديو السؤال: استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول قاعدة مثلث متساوي الساقين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الساقين فيه طول الضلع ﺃﺏ وطول الضلع ﺃﺟ يساويان تسعة سنتيمترات، والقطعة المستقيمة ﺃﺩ عمودية على القطعة المستقيمة ﺏﺟ، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٣٤ درجة. أوجد طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ لأقرب جزء من عشرة.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن المثلث المتساوي الساقين ﺃﺏﺟ. وهي موضحة في الشكل. علمنا أولًا أن الضلعين ﺃﺟ وﺃﺏ متساويان في الطول. وطول كل منهما يساوي تسعة سنتيمترات. نلاحظ أيضًا في هذا الشكل أن لدينا خطًّا من ﺃ إلى ﺩ، حيث ﺩ نقطة على قاعدة المثلث. وهذه القاعدة هي القطعة المستقيمة ﺟﺏ. علمنا أن ﺃﺩ عمودي على ﺏﺟ. إذن لدينا مثلثان قائما الزاوية. ‏ﺃﺩﺟ وﺃﺩﺏ مثلثان قائما الزاوية في ﺩ.

علمنا أيضًا أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٣٤ درجة. لكن تذكر أن هذا مثلث متساوي الساقين. وبما أن الضلعين ﺃﺟ وﺃﺏ متساويان في الطول، فإن قياس الزاوية ﺟ يجب أن يساوي قياس الزاوية ﺏ. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﺏ يساوي ٣٤ درجة. علينا استخدام كل هذه المعلومات لإيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة.

هناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها للتوصل إلى الإجابة. لكن أسهل طريقة هي ملاحظة أن ﺃﺩﺏ وﺃﺩﺟ كلاهما مثلث قائم الزاوية. لعلنا نتذكر أنه إذا عرفنا قياس إحدى الزاويتين غير القائمتين في مثلث قائم الزاوية وطول أحد الأضلاع، فيمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد طول الضلع الآخر في المثلث القائم الزاوية. ومن ثم، باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، يمكننا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﺩ وطول القطعة المستقيمة ﺟﺩ. وبجمع الطولين معًا، نحصل على طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ.

هذا سيعطينا الحل الصحيح. لكن ثمة معلومة إيضاحية أخرى يمكننا استخدامها. نلاحظ أن المثلثين ﺃﺩﺟ وﺃﺩﺏ متطابقان. ولكي نلاحظ ذلك، فإننا نلاحظ أولًا أن المثلثين بهما زاويتان متطابقتان، وتشتركان في ضلع. ومن ثم، فإنه وفقًا لمسلمة التطابق بزاويتين وضلع غير محصور بينهما، هذان المثلثان متطابقان. وهذا تحديدًا يوضح لنا أن طول ﺏﺩ يساوي طول ﺟﺩ. لكن، بإمكاننا أيضًا إثبات ذلك باستخدام حساب المثلثات.

نريد الآن تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد طولي هذين الضلعين. للقيام بذلك، نبدأ بتذكر النسب المثلثية — الجيب وجيب التمام والظل. وهذا سيساعدنا على تحديد أي النسب المثلثية الثلاث علينا استخدامها لإيجاد طول الضلع. لكن علينا أولًا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٣٤ درجة. يمكننا اختيار أي مثلث من المثلثين. سنستخدم المثلث ﺃﺏﺩ.

أولًا، سنسمي الوتر؛ لأنه الضلع الأطول في المثلث، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. نلاحظ أن هذا الضلع هو ﺃﺏ؛ ونسميه الوتر. بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أن الضلع ﺃﺩ يقابل الزاوية التي قياسها ٣٤ درجة، لذا نسميه الضلع المقابل. وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن الضلع ﺏﺩ يجاور هذه الزاوية، لذا نسمي الضلع ﺏﺩ بالضلع المجاور. نحن الآن مستعدون لتطبيق الاختصار لتحديد النسبة المثلثية التي علينا استخدامها.

نريد إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ، وسنفعل ذلك من خلال إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﺩ، أي الضلع المجاور. لا نعرف سوى طول الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية. إذن، نعرف طول الوتر ونريد إيجاد طول الضلع المجاور. ومن ثم، علينا استخدام نسبة جيب تمام الزاوية. لعلنا نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 زاوية في مثلث قائم الزاوية، فإن جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الوتر.

والآن يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا. فنحصل على جتا ٣٤ درجة يساوي طول ﺏﺩ مقسومًا على تسعة. وأخيرًا، يمكننا إيجاد طول ﺏﺩ بضرب الطرفين في تسعة. طول ﺏﺩ يساوي تسعة في جتا ٣٤ درجة. ويمكننا حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، وعلينا التأكد من ضبطها على وضع الدرجات. فنحصل على ٧٫٤٦ سنتيمترات وهكذا مع توالي الأرقام.

لكننا لم ننته بعد. تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ. ويمكننا القيام بذلك باستخدام الشكل لدينا. أولًا، طول ﺏﺟ يساوي طول ﺏﺩ زائد طول ﺩﺟ. ثانيًا، نعرف أن هاتين القطعتين المستقيمتين لهما الطول نفسه، إذن هذا يساوي اثنين في طول ﺏﺩ. والآن، سنعوض بالمقدار لدينا الذي يعبر عن طول ﺏﺩ في هذه المعادلة. وهذا يساعدنا في تجنب أخطاء التقريب. طول ﺏﺟ يساوي اثنين في تسعة جتا ٣٤ درجة. وعند حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ١٤٫٩٢ سنتيمترًا وهكذا مع توالي الأرقام.

وأخيرًا، يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة. إذن، ننظر إلى الرقم الموجود في الخانة العشرية الثانية، وهو اثنان، أي أقل من خمسة. ومن ثم، علينا تقريب هذه القيمة لأسفل. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ لأقرب جزء من عشرة هو ١٤٫٩ سنتيمترًا.