فيديو الدرس: النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على المفاهيم الهندسية ونمثلها، مثل: النقطة والمستقيم والمستوى في الفضاء، بالإضافة إلى خصائصها.

١٦:١٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على المفاهيم الهندسية مثل النقطة والمستقيم والمستوى في الفضاء وكيف نمثلها. كما سنتناول خصائصها وما يحدث عند تواجدها معًا. قبل أن نبدأ، دعونا نذكر أنفسنا بما نعنيه بالنقطة والمستقيم والمستوى.

في علم الهندسة، النقطة عبارة عن موضع. وهي ليس لها شكل أو أبعاد. لكن عند التعامل مع مفهوم النقطة، علينا تمثيلها بطريقة ما. لذا، نمثلها باستخدام نقطة، وبوجه عام نرمز لها بحرف كبير. إذا رأينا شيئًا كهذا، فسنسميه النقطة ﺃ. وفي علم الجبر، ننظر إلى موضع النقطة وفقًا لبعدين على امتداد المحور ﺱ والمحور ﺹ، وهو ما سيعطي للنقطة ﺃ الإحداثي ﺱ والإحداثي ﺹ. لكن عندما نتحدث عن نقطة في الفضاء، فإنه يكون لها بعد ثالث وهو ﻉ، ما يعني أن إحداثيات النقطة ﺃ في الفضاء تتكون من ثلاث مركبات، وهي ﺱ وﺹ وﻉ. ولأغراض هذا الفيديو، لن نشير إلى هذه النقاط، لكن من الجيد أن تتذكر أنها موجودة.

المستقيم هو مجموعة مستقيمة من النقاط التي تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين. إذا كانت لدينا النقطتان ﺃ وﺏ، فسيكون هناك مستقيم واحد فقط يمر بالنقطتين. وأي مسارات أخرى للانتقال من ﺃ إلى ﺏ يجب أن تشكل منحنى. ونستخدم سهمين عند طرفي المستقيم للإشارة إلى أنه يمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين. إحدى طرق تسمية المستقيم هي الإشارة إليه بأي نقطتين تقعان عليه. وفي هذه الحالة، يمكننا أن نسمي هذا المستقيم ﺃﺏ.

في بعض الأحيان، تسمى المستقيمات باسم أي متغير. وعندئذ، تكتب غالبًا بأحرف صغيرة. ومن ثم، يمكن أن يسمى هذا المستقيم ﻡ. والصيغة الكتابية للمستقيم ﺃﺏ هي الحرفان الكبيران ﺃﺏ يعلوهما خط صغير به سهمان. ومن الصحيح أيضًا أن نكتب المستقيم ﻡ. أما إذا كنا نتحدث تحديدًا عن المسافة من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، فلن يتفق ذلك مع تعريف المستقيم، لذا فإننا نسمي هذه المسافة «قطعة مستقيمة».

القطعة المستقيمة لها طرفان، بينما يستمر المستقيم في كلا الاتجاهين. إذا رأينا الحرفين ﺃﺏ يعلوهما خط لا يحتوي على سهمين، فإن هذا يشير إلى قطعة مستقيمة. وهذا يوضح لنا أنها لا تمتد إلى ما لا نهاية في أي من الاتجاهين. يجب أن نلاحظ أيضًا أن أي نقطتين تقعان على المستقيم نفسه هما نقطتان على استقامة واحدة. وإذا كانت إحدى النقطتين لا تقع على المستقيم نفسه، فنقول إن النقطتين ليستا على استقامة واحدة.

العنصر الأخير في الفضاء الذي نريد تناوله هو المستوى. المستوى هو سطح مستو مكون من نقاط تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. وعندما نرسم أي مستوى، نستخدم عادة شكلًا رباعيًا لتمثيله. الخاصية الأساسية للمستوى التي علينا تذكرها هي أن هناك مستوى واحدًا فقط يمكن أن يمر عبر أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. ونعلم أيضًا أن النقاط أو المستقيمات التي تقع في المستوى نفسه يمكن أن نسميها نقاطًا أو مستقيمات في مستوى واحد، أما النقاط أو المستقيمات التي لا تقع في المستوى نفسه فتسمى نقاطًا أو مستقيمات ليست في مستوى واحد.

يمكننا الإشارة إلى أي مستوى باستخدام أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة فيه، فنشير إلى هذا المستوى لدينا بالمستوى ﺃﺏﺟ. ولكن علينا أيضًا ملاحظة أن ترتيب الحروف غير مهم. إذ يمكننا أن نسميه بالمستوى ﺏﺃﺟ. وقد تلاحظ أيضًا أنه يشار إلى المستوى بحرف واحد فقط. ففي هذا المثال، يمكننا أن نسمي هذا بالمستوى ﻙ. والآن، دعونا نتعرف على علاقة هذه النقاط والمستقيمات والمستويات بعضها بعضًا في الفضاء.

فيما يتعلق بالمستقيمات في الفضاء، يمكننا تصنيف علاقاتها إلى نوعين مختلفين؛ المستقيمات التي تتقاطع والمستقيمات التي لا تتقاطع. بالنسبة لأي مستقيمين متقاطعين في الفضاء، فإنهما يقعان في المستوى نفسه. ويمكننا قول ذلك لأنه في أي مستقيمين متقاطعين، نعلم أن لدينا ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة، فنجد هنا أن النقطة ﺃ لا تقع على المستقيم المار عبر ﺟﺩ. وبتوضيح أن هناك ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة، يمكننا القول إن المستقيمين موجودان في المستوى نفسه.

ماذا عن المستقيمات التي لا تتقاطع؟ ربما تبادر إلى ذهنك مباشرة المستقيمات المتوازية، لأننا نعلم أن المستقيمات المتوازية لا تتقاطع. هناك خاصية أساسية أخرى للمستقيمات المتوازية وهي أن المسافة بين كل مستقيم والآخر متساوية عند كل نقطة. وإذا نظرنا إلى بعض النقاط الواقعة على مستقيمين متوازيين، فسنجد أنه في أي مستقيمين متوازيين، هناك ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة. ومن ثم، فإن مجموعة المستقيمات المتوازية في الفضاء سوف تقع كلها في المستوى نفسه. لقد أوضحنا للتو أن المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتقاطعة في الفضاء هي مستقيمات تقع في مستوى واحد.

وتعرفنا حتى الآن على نوعين فقط من المستقيمات؛ وهما المستقيمات المتقاطعة والمستقيمات المتوازية. لكن في الفضاء، يوجد نوع ثالث. تعرف المستقيمات التي لا تتقاطع ولا تقع في مستوى واحد باسم «المستقيمات المتخالفة». نلاحظ هنا كيف يبدو المستقيمان المتخالفان. هذان المستقيمان لا يتقاطعان لأن المستقيم ﻭ واحد يقع في مستوى أعلى رأسيًا من المستقيم ﻭ اثنين. ومع ذلك، فهما لا يتفقان مع تعريف المستقيمات المتوازية؛ لأن المستقيم ﻭ اثنين يكون أقرب إلى المستقيم ﻭ واحد عند نقاط محددة مقارنة بنقاط أخرى، ما يكون مستقيمات متخالفة، وهي مستقيمات لا تتقاطع ولا تقع في المستوى نفسه.

في ضوء الخصائص التي تناولناها للتو، هيا نجب على بعض الأسئلة حول تقاطعات النقاط والمستقيمات والمستويات.

كم مستوى يمكن أن يمر بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة؟

تخيل أن لدينا ثلاث نقاط عشوائية في الفضاء وهي ﺃ وﺏ وﺟ. نحن نعلم أنه بين أي نقطتين يوجد مستقيم واحد فقط، ويعني هذا أن هناك مستقيمًا واحدًا يمر عبر النقطتين ﺃ وﺏ؛ ومستقيمًا واحدًا يمر عبر النقطتين ﺃ وﺟ، وهو ما يكون مستقيمين متقاطعين. وإذا لم يكن هناك مستقيم يمر من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ، وكان المستقيم المار عبر النقطة ﺟ موازيًا للمستقيم ﺃﺏ، فما زال صحيحًا أن النقاط ﺃ وﺏ وﺟ ليست على استقامة واحدة. فهي لا تقع على المستقيم نفسه. لكن المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتقاطعة في الفضاء تقع في مستوى واحد؛ حيث توجد في المستوى نفسه. وهذا يعني أن أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، يمر عبرها مستوى واحد فقط.

إذن، بناء على خصائص النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء، يمكننا القول إنه يوجد مستوى واحد فقط يمكن أن يمر بأي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.

في المثال التالي، علينا إيجاد التقاطع بين قطعة مستقيمة ومستوى.

ما التقاطع الواقع بين القطعة المستقيمة ﺏﺏ شرطة والمستوى ﺃﺏﺟ؟

لنبدأ بتحديد المستوى ﺃﺏﺟ. إنه المستوى الذي يتضمن النقاط الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ التي ليست على استقامة واحدة. وهو يشمل هذا المثلث، لكنه يمتد أيضًا في جميع الاتجاهات. يمكننا بعد ذلك تحديد القطعة المستقيمة ﺏﺏ شرطة، وهي تقع هنا. يمتد المستقيم ﺏﺏ شرطة في كلا الاتجاهين، لكن ما يعنينا فقط هو القطعة المستقيمة الواقعة بين النقطتين ﺏ وﺏ شرطة.

عندما نبحث عن التقاطع، فإننا نبحث عن نقاط مشتركة بين عنصرين. والنقطة المشتركة هنا هي ﺏ فقط. إذن، يشترك المستوى ﺃﺏﺟ والقطعة المستقيمة ﺏﺏ شرطة في نقطة واحدة فقط، وهي النقطة ﺏ. يمكنك أن تتخيل ذلك كما لو كنت توازن قلم رصاص فوق ورقة مسطحة، حيث يمثل قلم الرصاص قطعة مستقيمة والورقة تمثل المستوى. يكون التقاطع هنا عند نقطة واحدة. وهذه النقطة الواحدة في المثال الذي لدينا هي النقطة ﺏ.

في المثال التالي، سنتناول تقاطع مستويين.

ما تقاطع المستويين ﺃﺏﺏ شرطة ﺃ شرطة وﺏﺟﺟ شرطة ﺏ شرطة؟

لدينا أربع نقاط لتحديد المستوى. يمكننا ملاحظة أن النقاط ﺃﺏﺏ شرطة ﺃ شرطة تمثل أحد أوجه متوازي المستطيلات لدينا. لكن المستوى الذي يمر بهذه النقاط سيكون أكبر من ذلك، حيث يمتد هذا المستوى في جميع الاتجاهات. علينا بعد ذلك تحديد المستوى الذي سيمر عبر ﺏﺟﺟ شرطة ﺏ شرطة. مرة أخرى، لدينا أيضًا مستوى يمر بأحد أوجه متوازي المستطيلات. لكننا نعلم أيضًا أن هذين المستويين يمتدان في جميع الاتجاهات إلى ما لا نهاية.

من خلال مد المستوى ﺏﺟﺟ شرطة ﺏ شرطة، نجد أنه يمر عبر المستوى ﺃﺏﺏ شرطة ﺃ شرطة، ويقع التقاطع عند المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺏ وﺏ شرطة. إذن، يشكل تقاطع هذين المستويين مستقيمًا، ويمكننا تسمية هذا المستقيم ﺏﺏ شرطة.

في المثال التالي، سنرى ما يحدث عند تقاطع ثلاثة مستويات مختلفة.

ما نقطة تقاطع المستويات ﻡﺃﺏ وﻡﺏﺟ وﻡﺃﺟ؟

لنبدأ بالنظر إلى ﻡﺃﺏ. المستوى ﻡﺃﺏ هو المستوى الذي يحتوي على هذا الوجه في الهرم الثلاثي. إذا فعلنا الأمر نفسه مع النقاط ﻡﺏﺟ، فسنجد أن المستوى هنا. وإذا أردنا تحديد تقاطع المستويين ﻡﺃﺏ وﻡﺏﺟ فقط، فسيتمثل هذا التقاطع في المستقيم المار بالنقطتين ﻡ وﺏ. إذا أضفنا هذا المستوى الأخير ﻡﺃﺟ، أي هذه المساحة هنا، فسنجد أن تقاطع المستويين ﻡﺃﺏ وﻡﺃﺟ يقع عند المستقيم ﻡﺃ. كما نجد أن المستوى ﻡﺏﺟ يقطع المستوى ﻡﺃﺟ عند المستقيم ﻡﺟ.

لكن علينا التفكير الآن في النقطة المشتركة بين جميع هذه المستويات الثلاثة. تتمثل النقطة الوحيدة المشتركة بين جميع هذه المستويات الثلاثة في النقطة ﻡ. إذا تخيلنا رؤية هذا الهرم من أعلى لأسفل، فسنجد أن النقطة المشتركة بين هذه المستويات الثلاثة هي النقطة ﻡ.

دعونا نتناول مثالًا أخيرًا على تقاطع مستويين.

‏‏ﺱ وﺹ مستويان يتقاطعان عند المستقيم ﻝ. ‏‏ﺏ نقطة تقع في المستوى ﺱ، وﺟ نقطة تقع في المستوى ﺹ. حدد تقاطع المستوى ﺹ مع المستوى ﺃﺏﺟ.

في هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن المستقيم ﻝ يمثل تقاطع المستويين ﺱ وﺹ. ونريد تحديد تقاطع المستوى ﺹ مع المستوى ﺃﺏﺟ. فلنبدأ أولًا بتحديد المستوى ﺹ. يمكننا ملاحظة أن المستوى ﺹ يتضمن النقطتين ﺃ وﺟ. وإذا كان المستوى ﺃﺏﺟ يعنينا، فإننا ندرك أن النقطتين ﺃ وﺏ تقعان في المستوى نفسه، وهو المستوى ﺱ، والنقطتين ﺟ وﺃ تقعان في المستوى ﺹ. نستنتج من ذلك أن النقطة ﺃ تقع في المستويين ﺱ وﺹ.

ونظرًا لأن النقاط ﺃ وﺏ وﺟ ليست على استقامة واحدة، فيمكن أن تكون مستوى واحدًا فقط. لتحديد المستوى ﺃﺏﺟ أولًا، سنرسم مستقيمًا يمر بالنقطتين ﺃ وﺏ ثم مستقيمًا آخر يمر بالنقطتين ﺃ وﺟ. ومن هنا، يمكننا رسم مستقيم آخر يمر بالنقطة ﺟ. وبتوصيل هذه المستقيمات بعضها بعضًا، تتكون لدينا فكرة حول شكل هذا المستوى.

في هذه المرحلة، يجب ملاحظة أن المستوى ﺃﺏﺟ يمر عبر المستوى ﺹ. ويقع هذا التقاطع على طول المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ وﺟ. إذن، يحتوي المستوى ﺹ على المستقيم ﺃﺟ، وكذلك المستوى ﺃﺏﺟ، ما يجعل تقاطع المستوى ﺹ مع المستوى ﺃﺏﺟ هو المستقيم ﺃﺟ.

قبل أن ننهي الدرس، دعونا نستعرض سريعًا أهم النقاط المستخلصة من هذا الفيديو. بالنسبة إلى أي مستقيمين في الفضاء، تتمثل العلاقة المحتملة بينهما في كونهما إما متوازيين وإما متقاطعين وإما متخالفين. يمكن تحديد أي مستوى بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة أو بمستقيمين متقاطعين. وأخيرًا، بالنسبة لأي مستقيم ومستوى في الفضاء، فإن العلاقة المحتملة بينهما تتضمن التقاطع عند نقطة، أو وجود مستقيم داخل المستوى، أو وجود مستقيم مواز للمستوى لكن غير مضمن به.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.