فيديو: حل المعادلات التربيعية في مجموعة الأعداد المركبة

أوجد مجموعة حل 𝑥² − 8𝑥 + 185 = 0 في مجموعة الأعداد المركبة.

٠٥:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥 زائد 185 يساوي صفر في مجموعة الأعداد المركبة.

ما سنفعله هو حل هذه المعادلة التربيعية. وسأفعل هذا عن طريق طرح 185 من كل طرف من طرفي المعادلة أولًا. ويتبقى لدي 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥 في الطرف الأيسر وسالب 185 في الطرف الأيمن. وما يتبقى لدي في الطرف الأيسر هو واحد 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥.

الآن سنستخدم ما نعرفه عن إكمال المربعات. ليكون لدينا تخمين مبدئي يمكننا التعبير عنه بالمقدار 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع أو 𝑥 ناقص أربعة مضروبة في 𝑥 ناقص أربعة. ولأنه كان لدينا واحد 𝑥 تربيع، أصبح لدينا واحد 𝑥 وواحد 𝑥 هنا. ولأنه كان لدينا هنا سالب ثمانية 𝑥، فسنأخذ نصف سالب ثمانية وهو سالب أربعة.

الآن عندما أقوم بإيجاد حاصل ضرب هذين المقدارين، يكون لدي 𝑥 مضروبة في 𝑥 وهو ما يساوي 𝑥 تربيع، و𝑥 مضروبة في سالب أربعة وهو ما يساوي سالب أربعة 𝑥، وسالب أربعة مضروبة في 𝑥 وهو ما يساوي سالب أربعة 𝑥 أيضًا، وسالب أربعة مضروبة في سالب أربعة وهو ما يساوي موجب 16. وهكذا، سيكون لدينا 𝑥 تربيع ناقص أربعة 𝑥 ناقص أربعة 𝑥 أخرى زائد 16. حسنًا، سالب أربعة 𝑥 ناقص أربعة 𝑥 يساوي سالب ثمانية 𝑥.

يتضح أن تخميننا كان خاطئًا إلى حد ما. فالمقدار 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع لا يساوي المقدار 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥. فالمقدار الأخير به بالفعل 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥 لكنه يحوي كذلك حدًا إضافيًا وهو موجب 16 أو زائد 16. لذا إذا طرحت 16 من المقدار 𝑥 ناقص أربعة مضروبة في 𝑥 ناقص أربعة فسيتبقى لدينا 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥. وهكذا فإن التعبير 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع ناقص 16 هو ذاته التعبير 𝑥 تربيع ناقص ثمانية 𝑥 وهو ما يساوي 185. حسنًا، هنا أنا أحاول حل المعادلة لإيجاد قيمة 𝑥. لذا سأضيف 16 إلى كلا الطرفين وهو ما سينتج 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع في الطرف الأيسر وسالب 169 في الطرف الأيمن.

ولإيجاد قيمة 𝑥 علينا أن نوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين بحيث إنه عندما يكون هذا الطرف 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع فسيتبقى لدينا 𝑥 ناقص أربعة. لكننا سنواجه مشكلة بسيطة بسبب أنه لا توجد حلول حقيقية للجذر التربيعي لسالب 169. لذا سأعيد التعبير عن سالب 169 بالمقدار 169 مضروبًا في سالب واحد.

وهكذا فإن إيجاد قيمة الجذر التربيعي للطرف الأيسر يعطيني 𝑥 ناقص أربعة، وعلى الطرف الأيمن فإن الجذر التربيعي لـ 169 يساوي 13. وبهذا لدينا في الواقع حلان. فسالب 13 سيعطينا 169 أيضًا إذا أوجدنا تربيعه.

ويمكننا استخدام تعريف لأعداد تخيلية؛ 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. لذا فإن 𝑖 هو الجذر التربيعي لسالب واحد أي إن الجذر التربيعي لسالب واحد هو 𝑖. إذن، 𝑥 ناقص أربعة يساوي سالب أو موجب 13 𝑖. إذا أضفت الآن أربعة لكل طرف من طرفي المعادلة، فسوف أحصل على 𝑥 في الطرف الأيسر وموجب أو سالب 13 𝑖 زائد أربعة أو أربعة زائد أو ناقص 13 𝑖 في الطرف الأيمن.

إذا نظرنا مرة أخرى للسؤال، فهو يطلب تحديد مجموعة الحل. لذا أحتاج لكتابة هذا الحل على هيئة مجموعة حل. تضم مجموعة الحل قيمتين وهما أربعة زائد 13 𝑖 وأربعة ناقص 13 𝑖.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.