نسخة الفيديو النصية
يمثل مخطط أرجاند الأعداد الثلاثة المركبة ﻉ واحد، وﻉ اثنين، وﻉ ثلاثة. أوجد صورة النقاط ﻉ واحد، وﻉ اثنين، وﻉ ثلاثة باستخدام التحويل الذي يحول ﻉ إلى اثنين ﻉ. بتمثيل هذه النقاط على مخطط أرجاند، أو غيره، أوجد تفسيرًا هندسيًّا للتحويل.
نبدأ بتذكر الصورة العامة للعدد المركب. العدد المركب ﻉ يكون على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ. وﺃ وﺏ عددان حقيقيان. ويمكننا القول إن ﺃ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب، بينما ﺏ هو الجزء التخيلي. إذن، سنبدأ بكتابة الأعداد الثلاثة المركبة التي لدينا.
أولًا، لدينا ﻉ واحد. وهو يقع على الجزء الموجب من المحور الحقيقي. في الواقع، يمكن تمثيله بنقطة إحداثياتها الكارتيزية: اثنان، وصفر. ويعني هذا أن الجزء الحقيقي هو اثنان والجزء التخيلي هو صفر. وبذلك فالعدد المركب ﻉ واحد يساوي اثنين. ثم لدينا ﻉ اثنان. وهو يقع على الجزء السالب من المحور التخيلي. ويمثل بالنقطة ذات الإحداثيات الكارتيزية: صفر، وسالب واحد. إذن، فإن الجزء الحقيقي هو صفر، والجزء التخيلي، أي معامل ﺕ، لا بد أن يساوي سالب واحد. ومن ثم، يمكننا القول إن ﻉ اثنين يساوي سالب ﺕ.
ثم لدينا العدد المركب ﻉ ثلاثة، الذي يقع في الربع الثاني هنا. هذه المرة يمكن تمثيله بالنقطة ذات الإحداثيات الكارتيزية: سالب ثلاثة، واثنين. وهذا يعني أن الجزء الحقيقي هو سالب ثلاثة، والجزء التخيلي هو اثنان. وبذلك، فإن ﻉ ثلاثة يساوي سالب ثلاثة زائد اثنين ﺕ.
إذن، في الجزء الأول من هذا السؤال علينا إيجاد صورة النقاط التي تمثل الأعداد المركبة باستخدام التحويل الذي يحول ﻉ إلى اثنين ﻉ. إذن، نعود إلى الصورة العامة للعدد المركب. وهي ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. فما قيمة اثنين ﻉ إذن؟ حسنًا، في الواقع، نستنتج أنه يساوي اثنين في ﺃ زائد ﺏﺕ. وإذا وزعنا العدد اثنين على القوسين، فسنجد أن اثنين ﻉ يساوي اثنين ﺃ زائد اثنين ﺏﺕ. وبذلك، لتحويل ﻉ إلى اثنين ﻉ، فإننا نأخذ ببساطة الجزء الحقيقي ونضاعفه، ثم نأخذ الجزء التخيلي ونضربه أيضًا في اثنين.
إذن، دعونا نوجد صورة ﻉ واحد. وذلك بأن نأخذ القيمة اثنين، ونضربها في اثنين. اثنان في اثنين يساوي أربعة. إذن، صورة ﻉ واحد، وهي ﻉ واحد شرطة، لا بد أن تساوي أربعة. ثم نوجد صورة ﻉ اثنين. في الواقع، معامل ﺕ هنا يساوي سالب واحد. ولقد ذكرنا أنه علينا ضرب هذا العدد في اثنين لإيجاد صورة ﻉ اثنين. إذن، صورة ﻉ اثنين تساوي اثنين في سالب واحد ﺕ، وهو ما يساوي سالب اثنين ﺕ. وأخيرًا، ننتقل إلى صورة ﻉ ثلاثة.
وسنبدأ بضرب الجزء الحقيقي، أي سالب ثلاثة، في اثنين. اثنان في سالب ثلاثة يساوي سالب ستة. إذن، الجزء الحقيقي من العدد المركب ﻉ ثلاثة شرطة هو سالب ستة. ثم نضرب الجزء التخيلي من هذا العدد المركب في اثنين. وذلك يساوي اثنين في اثنين، وهو ما يساوي أربعة. ونجد أن الجزء التخيلي من صورة ﻉ ثلاثة هو أربعة. وبذلك، نلاحظ أن صورة ﻉ ثلاثة، وهي ﻉ ثلاثة شرطة، لا بد أن تساوي سالب ستة زائد أربعة ﺕ.
الجزء الثاني من هذا السؤال يطلب منا إعطاء تفسير هندسي لهذا التحويل. لذا، سنرسم صورة كل نقطة من النقاط على مخطط أرجاند. لنبدأ بـ ﻉ واحد شرطة، أي صورة ﻉ واحد. نلاحظ أن الجزء الحقيقي يساوي أربعة والجزء التخيلي يساوي صفرًا. إذن، فهذا العدد يمثل بالنقطة ذات الإحداثيات الكارتيزية: أربعة، وصفر. ثم نتناول ﻉ اثنين شرطة. ونلاحظ هنا أن الجزء الحقيقي يساوي صفرًا، والجزء التخيلي يساوي سالب اثنين. إذن فهذا العدد يقع هنا، عند النقطة ذات الإحداثيات الكارتيزية: صفر، وسالب اثنين. وأخيرًا، لدينا ﻉ ثلاثة شرطة. ونلاحظ هنا أن الجزء الحقيقي يساوي سالب ستة، والجزء التخيلي يساوي أربعة. أي إنه يقع هنا. ويمثل بالنقطة ذات الإحداثيات الكارتيزية: سالب ستة، وأربعة.
إذن، ما التفسير الهندسي لهذا التحويل؟ حسنًا، إذا نظرنا جيدًا، فسنلاحظ أن كل نقطة تبدو على بعد ضعف المسافة من نقطة الأصل، أي من النقطة صفر، صفر. وبالطبع، هذا منطقي جدًّا. لأننا إذا ضاعفنا كلًّا من الجزء الحقيقي والتخيلي للعدد المركب، فسنتوقع أن يبعد ضعف المسافة من النقطة صفر، صفر. وهذا يعني أنه يجب أن يكون لدينا عملية تمدد أو تكبير، وفقًا للموقع الذي تعيش فيه في العالم. وبالطبع عندما نصف تمددًا، فإننا نعطي أيضًا مركزًا للتمدد أو التكبير ومعامل القياس. إذن، يمثل التحويل هنا تمددًا بمعامل قياس اثنين، ومركزه عند نقطة الأصل.
