فيديو: إيجاد عناصر مجهولة في مصفوفة متماثلة

إذا كانت ‪‪𝐴 = −6, −2𝑦, −𝑦 − 3𝑥; 𝑧 + 5, −9, 𝑧 − 6; −9 − 2𝑥, −11, −4‬‏‬‏ مصفوفة متماثلة، فما قيمة ‪‪𝑥‬‏‬‏، ‪‪𝑦‬‏‬‏، ‪‪𝑧‬‏‬‏؟

٠٣:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ‪𝐴‬‏ — المصفوفة التي أمامنا — مصفوفة متماثلة، فما قيمة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏؟

المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة تساوي مدورها. المصفوفة ‪𝐴‬‏ تساوي مدور المصفوفة ‪𝐴‬‏. ويمكننا إيجاد مدور المصفوفة عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة معًا. الصف الأول من المصفوفة ‪𝐴‬‏ يصبح العمود الأول من مدور المصفوفة ‪𝐴‬‏، والصف الثاني من المصفوفة ‪𝐴‬‏ يصبح العمود الثاني من مدور المصفوفة ‪𝐴‬‏، والصف الثالث من المصفوفة ‪𝐴‬‏ يصبح العمود الثالث من مدور المصفوفة ‪𝐴‬‏.

وبما أن ‪𝐴‬‏ مصفوفة متماثلة، وبالتالي فإن ‪𝐴‬‏ تساوي مدور ‪𝐴‬‏، فيعني هذا أن كل عنصر في المصفوفة ‪𝐴‬‏ يساوي العنصر المناظر له في مدور المصفوفة ‪𝐴‬‏. يمكننا رؤية هذا بوضوح في عناصر القطر المكونة من أعداد فقط. لكن الأمر ينطبق أيضًا على عناصر القطر الآخر المكتوب معظمها بدلالة المتغيرات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. وبالنظر إلى العناصر المتناظرة بين المصفوفتين، يمكننا كتابة بعض المعادلات، التي يمكننا حلها لإيجاد قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏.

على سبيل المثال، العنصران الموجودان في الصف الثاني والعمود الثالث في كلتا المصفوفتين لا بد أنها متساويان. بالتالي، لدينا المعادلة ‪𝑧‬‏ ناقص ستة يساوي سالب ‪11‬‏. وبإضافة ستة إلى طرفي المعادلة، نحصل على قيمة ‪𝑧‬‏. إنها تساوي سالب خمسة. سنحصل على المعادلة نفسها، وبالتالي قيمة ‪𝑧‬‏ نفسها إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الثالث والعمود الثاني من كلتا المصفوفتين.

والآن، لنلق نظرة على العناصر الأخرى التي يمكننا مساواتها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏. إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الأول والعمود الثاني من كلتا المصفوفتين، فسيكون لدينا علاقة بين ‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. سالب اثنين ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑧‬‏ زائد خمسة. هذه هي العلاقة نفسها التي سنحصل عليها إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الثاني والعمود الأول.

نعرف أن ‪𝑧‬‏ يساوي سالب خمسة. إذن، يمكننا التعويض بقيمة ‪𝑧‬‏ في المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏. سالب اثنين ‪𝑦‬‏ يساوي سالب خمسة زائد خمسة. إذن، سالب اثنين ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. وبقسمة طرفي المعادلة على سالب اثنين، سنجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا.

بعد ذلك، علينا إيجاد معادلة يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الأول والعمود الثالث من كلتا المصفوفتين، فسيكون لدينا علاقة بين ‪𝑦‬‏ و‪𝑥‬‏. سالب ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ يساوي سالب تسعة ناقص اثنين ‪𝑥‬‏. مرة أخرى، يمكن إيجاد هذه العلاقة نفسها عن طريق مساواة العنصرين الموجودين في الصف الثالث والعمود الأول. لنتذكر أن ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. إذن بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على صفر ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ يساوي سالب تسعة ناقص اثنين ‪𝑥‬‏.

لحل هذه المعادلة، نبدأ بإضافة اثنين ‪𝑥‬‏ لكلا الطرفين. هذا يعطينا سالب ‪𝑥‬‏ يساوي سالب تسعة. لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، علينا قسمة طرفي هذه المعادلة على سالب واحد أو ضربهما في سالب واحد. هذا يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي تسعة.

لقد أوجدنا قيمة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏ عن طريق مساواة العناصر المتناظرة من المصفوفة ‪𝐴‬‏ ومدور المصفوفة ‪𝐴‬‏، وهي ‪𝑥‬‏ يساوي تسعة، و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، و‪𝑧‬‏ يساوي سالب خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.