فيديو: إيجاد عناصر مجهولة في مصفوفة متماثلة

إذا كانت ‪𝐴 = −6, −2𝑦, −𝑦 − 3𝑥; 𝑧 + 5, −9, 𝑧 − 6; −9 − 2𝑥, −11, −4‬‏ مصفوفة متماثلة، فما قيمة ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏، ‪𝑧‬‏؟

٠٣:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝐴 — المصفوفة التي أمامنا — مصفوفة متماثلة، فما قيمة 𝑥 و𝑦 و𝑧؟

المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة تساوي مدورها. المصفوفة 𝐴 تساوي مدور المصفوفة 𝐴. ويمكننا إيجاد مدور المصفوفة عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة معًا. الصف الأول من المصفوفة 𝐴 يصبح العمود الأول من مدور المصفوفة 𝐴، والصف الثاني من المصفوفة 𝐴 يصبح العمود الثاني من مدور المصفوفة 𝐴، والصف الثالث من المصفوفة 𝐴 يصبح العمود الثالث من مدور المصفوفة 𝐴.

وبما أن 𝐴 مصفوفة متماثلة، وبالتالي فإن 𝐴 تساوي مدور 𝐴، فيعني هذا أن كل عنصر في المصفوفة 𝐴 يساوي العنصر المناظر له في مدور المصفوفة 𝐴. يمكننا رؤية هذا بوضوح في عناصر القطر المكونة من أعداد فقط. لكن الأمر ينطبق أيضًا على عناصر القطر الآخر المكتوب معظمها بدلالة المتغيرات 𝑥 و𝑦 و𝑧. وبالنظر إلى العناصر المتناظرة بين المصفوفتين، يمكننا كتابة بعض المعادلات، التي يمكننا حلها لإيجاد قيم 𝑥 و𝑦 و𝑧.

على سبيل المثال، العنصران الموجودان في الصف الثاني والعمود الثالث في كلتا المصفوفتين لا بد أنها متساويان. بالتالي، لدينا المعادلة 𝑧 ناقص ستة يساوي سالب 11. وبإضافة ستة إلى طرفي المعادلة، نحصل على قيمة 𝑧. إنها تساوي سالب خمسة. سنحصل على المعادلة نفسها، وبالتالي قيمة 𝑧 نفسها إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الثالث والعمود الثاني من كلتا المصفوفتين.

والآن، لنلق نظرة على العناصر الأخرى التي يمكننا مساواتها لإيجاد قيمة 𝑥 أو 𝑦. إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الأول والعمود الثاني من كلتا المصفوفتين، سيكون لدينا علاقة بين 𝑦 و𝑧. سالب اثنين 𝑦 يساوي 𝑧 زائد خمسة. هذه هي العلاقة نفسها التي سنحصل عليها إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الثاني والعمود الأول.

نعرف أن 𝑧 يساوي سالب خمسة. إذن، يمكننا التعويض بقيمة 𝑧 في المعادلة لإيجاد قيمة 𝑦. سالب اثنين 𝑦 يساوي سالب خمسة زائد خمسة. إذن، سالب اثنين 𝑦 يساوي صفرًا. وبقسمة طرفي المعادلة على سالب اثنين، سنجد أن 𝑦 يساوي صفرًا.

بعد ذلك، علينا إيجاد معادلة يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة 𝑥. إذا ساوينا العنصرين الموجودين في الصف الأول والعمود الثالث من كلتا المصفوفتين، سيكون لدينا علاقة بين 𝑦 و𝑥. سالب 𝑦 ناقص ثلاثة 𝑥 يساوي سالب تسعة ناقص اثنين 𝑥. مرة أخرى، يمكن إيجاد هذه العلاقة نفسها عن طريق مساواة العنصرين الموجودين في الصف الثالث والعمود الأول. لنتذكر أن 𝑦 يساوي صفرًا. إذن بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على صفر ناقص ثلاثة 𝑥 يساوي سالب تسعة ناقص اثنين 𝑥.

لحل هذه المعادلة، نبدأ بإضافة اثنين 𝑥 لكلا الطرفين. هذا يعطينا سالب 𝑥 يساوي سالب تسعة. لإيجاد قيمة 𝑥، علينا قسمة طرفي هذه المعادلة على سالب واحد أو ضربهما في سالب واحد. هذا يعطينا 𝑥 يساوي تسعة.

لقد أوجدنا قيمة 𝑥 و𝑦 و𝑧 عن طريق مساواة العناصر المتناظرة من المصفوفة 𝐴 ومدور المصفوفة 𝐴، وهي 𝑥 يساوي تسعة، و𝑦 يساوي صفرًا، و𝑧 يساوي سالب خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.