فيديو الدرس: إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيم الدوال المثلثية. سوف نبدأ بتذكر بعض الصيغ والتعريفات الأساسية.

نحن نعلم أن الدوال المثلثية دورية ولها عدد لا نهائي من الحلول. لكن في هذا الفيديو، سنركز على الحلول التي تقع بين صفر و٣٦٠ درجة. يصنع المحوران ﺱ وﺹ أربعة أرباع كما هو موضح. الربع الأول يحتوي على قيم ﺱ الموجبة وقيم ﺹ الموجبة، والربع الثاني يحتوي على قيم ﺱ السالبة وقيم ﺹ الموجبة، والربع الثالث يحتوي على قيم ﺱ السالبة وقيم ﺹ السالبة، والربع الرابع يحتوي على قيم ﺱ الموجبة وقيم ﺹ السالبة.

عند التعامل مع الدوال المثلثية، فإننا نقيس الزوايا عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ﺱ. هذا يعني أن الربع الأول يحتوي على الزوايا التي يقع قياسها بين صفر و٩٠ درجة، والربع الثاني بين ٩٠ و١٨٠ درجة، وهكذا. لنتذكر إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. في الربع الأول، تكون قيم جا 𝜃 وجتا 𝜃 وظا 𝜃 كلها موجبة. في الربع الثاني، تكون قيمة جا 𝜃 موجبة. لكن قيمتي جتا 𝜃 وظا 𝜃 سالبتان. في الربع الثالث، عندما يقع قياس 𝜃 بين ١٨٠ و٢٧٠ درجة، تكون قيمة ظا 𝜃 موجبة، في حين أن قيمة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 تكون سالبة. وأخيرًا في الربع الرابع، تكون قيمة جتا 𝜃 موجبة وقيمتا جا 𝜃 وظا 𝜃 سالبتين.

في هذا الفيديو، علينا أيضًا أن نتذكر متطابقات المقلوب للدوال المثلثية الثلاث. ‏قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. إذا كانت قيم الدوال جا 𝜃 وجتا 𝜃 وظا 𝜃 موجبة أو سالبة، فستكون قيم مقلوباتها موجبة أو سالبة أيضًا. هذا يعني أن قيم الدوال الست موجبة في الربع الأول. في الربع الثاني، بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة، تكون قيمتا جا 𝜃 وقتا 𝜃 موجبتين، في حين تكون قيم الدوال الأربع الأخرى سالبة. يستمر هذا النمط في الربعين الثالث والرابع.

في الأسئلة التي سنتناولها في هذا الفيديو، سنحتاج إلى استخدام هذه المعلومات لتحديد ما إذا كانت القيم في إجاباتنا موجبة أم سالبة.

سنتناول الآن متطابقات فيثاغورس الثلاث. لدينا أولًا جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. والمتطابقة الثانية هي: ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. وعلى الرغم من أننا لا نحتاج إلى تناول إثبات المتطابقات في هذا الفيديو، فيمكن أن نحصل من المتطابقة الأولى على المتطابقة الثانية بقسمة كل حد فيها على جتا تربيع 𝜃. ‏‏جا تربيع 𝜃 مقسومًا على جتا تربيع 𝜃 يساوي ظا تربيع 𝜃؛ حيث جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃. بقسمة جتا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃 نحصل على واحد. من متطابقات المقلوب، نعلم أن واحدًا مقسومًا على جتا تربيع 𝜃 يساوي قا تربيع 𝜃. أما متطابقة فيثاغورس الثالثة، فهي: واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. يمكن الحصول على ذلك بقسمة كل حد من حدود المتطابقة الأولى على جا تربيع 𝜃.

‏جا تربيع 𝜃 على جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. ‏جتا تربيع 𝜃 على جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا على ظا تربيع 𝜃. وهو ما يساوي ظتا تربيع 𝜃. وأخيرًا، واحد على جا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. سنستخدم الآن هذه المتطابقات الثلاث لحل بعض المعادلات المثلثية.

أوجد قيمة جتا 𝜃 إذا كان جا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي ٢٧٠ درجة، وأقل من ٣٦٠ درجة.

هناك الكثير من الطرق لحل هذه المسألة. في هذا الفيديو، سنستخدم متطابقة فيثاغورس جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. قبل التعويض بقيمة جا 𝜃، تجدر الإشارة إلى أن قياس 𝜃 يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ٢٧٠ درجة، وأقل من ٣٦٠ درجة. وباستخدام ما نعرفه عن إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة، هذا يعني أن 𝜃 يجب أن تقع في الربع الرابع. في هذا الربع، تكون قيمة جتا 𝜃 موجبة، في حين تكون قيمتا جا 𝜃 وظا 𝜃 سالبتين. وهذا يتوافق مع حقيقة أن جا 𝜃 هنا يساوي سالب ثلاثة على خمسة. ونحن نعلم أن قيمة جتا 𝜃 في إجابتنا يجب أن تكون موجبة.

يمكننا الآن التعويض بقيمة جا 𝜃 في متطابقة فيثاغورس. هذا يعطينا: سالب ثلاثة أخماس تربيع زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. عند تربيع أي عدد سالب، نحصل على ناتج موجب. إذن، سالب ثلاثة أخماس تربيع يساوي تسعة على ٢٥. يمكننا بعد ذلك طرح هذا من طرفي المعادلة. ‏جتا تربيع 𝜃 يساوي ١٦ على ٢٥. وبأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، نجد أن جتا 𝜃 يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ١٦ على ٢٥. عند أخذ الجذر التربيعي لكسر، فإننا ببساطة نأخذ الجذر التربيعي للبسط والمقام كل على حدة. الجذر التربيعي لـ ١٦ هو أربعة، والجذر التربيعي لـ ٢٥ هو خمسة. وبما أن قيمة جتا 𝜃 يجب أن تكون موجبة، يمكننا استنتاج أن جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس.

في السؤال التالي، علينا إيجاد قيمة دالة الجيب بمعلومية دالة جيب التمام والربع الذي تقع فيه الزاوية.

أوجد قيمة جا 𝜃 إذا كان جتا 𝜃 يساوي سالب ٢١ على ٢٩؛ حيث 𝜃 أكبر من ٩٠ درجة وأصغر من ١٨٠ درجة.

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم متطابقة فيثاغورس جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. مذكور في المعطيات أن قياس 𝜃 يقع بين ٩٠ و١٨٠ درجة، لذا يجدر بنا تحديد أي ربع تقع فيه تلك الزاوية. تقع الزاوية في الربع الثاني، وهو ما يعني أن قيمة جا 𝜃 يجب أن تكون موجبة. وأن قيمتي جتا 𝜃 وظا 𝜃 يجب أن تكونا سالبتين. وهذا يتوافق مع حقيقة أن جتا 𝜃 هنا يساوي سالب ٢١ على ٢٩. كما يساعدنا ذلك في معرفة أن قيمة جا 𝜃 يجب أن تكون موجبة.

يمكننا التعويض بقيمة جتا 𝜃 في متطابقة فيثاغورس. مربع سالب ٢١ على ٢٩ يساوي ٤٤١ على ٨٤١. بعد ذلك نطرح هذا من طرفي المعادلة، ليصبح لدينا: جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص ٤٤١ على ٨٤١. يبسط الطرف الأيسر إلى: ٤٠٠ على ٨٤١. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، وبذلك نجد أن جا 𝜃 يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ٤٠٠ على ٨٤١.

الجذر التربيعي للبسط يساوي ٢٠، والجذر التربيعي للمقام يساوي ٢٩، على الترتيب. وبما أن قيمة جا 𝜃 لا بد أن تكون موجبة، ولدينا جتا 𝜃 يساوي سالب ٢١ على ٢٩، و𝜃 تقع بين ٩٠ و١٨٠ درجة، فإن جا 𝜃 يساوي ٢٠ على ٢٩.

في السؤال التالي، سنستخدم متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة مقدار ما.

أوجد قيمة جا 𝜃 جتا 𝜃؛ إذا كان جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي خمسة أرباع.

لحل هذه المسألة، علينا أن نتذكر متطابقات فيثاغورس. سنبدأ بالمعادلة: جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي خمسة على أربعة. يمكننا تربيع طرفي هذه المعادلة. وبذلك، يصبح الطرف الأيمن: جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 في جا 𝜃 زائد جتا 𝜃. والطرف الأيسر يساوي ٢٥ على ١٦؛ حيث نقوم بتربيع البسط والمقام كل على حدة.

وبتوزيع أو فك الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، نحصل على: جا تربيع 𝜃 زائد جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃. يمكننا تجميع الحدين الأوسطين. وبذلك، نحصل على: جا تربيع 𝜃 زائد اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي ٢٥ على ١٦. تنص إحدى متطابقات فيثاغورس على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة على الصورة: اثنان جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد واحد. يمكننا بعد ذلك طرح واحد من طرفي هذه المعادلة. ٢٥ على ١٦ ناقص واحد يساوي تسعة على ١٦.

بعد ذلك نقسم طرفي هذه المعادلة الجديدة على اثنين، لنحصل على: جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي تسعة على ٣٢. إذا كان جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي خمسة على أربعة، فإن جا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃 يساوي تسعة على ٣٢.

في السؤال الأخير، سنحتاج إلى استخدام متطابقة مختلفة من متطابقات فيثاغورس.

أوجد قيمة قا 𝜃 ناقص ظا 𝜃 إذا كان قا 𝜃 زائد ظا 𝜃 يساوي سالب ١٤ على ٢٧.

إننا نتذكر أن الفرق بين مربعين يعني أن ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي ﺱ زائد ﺹ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺹ. هذا يعني أن قا 𝜃 زائد ظا 𝜃 مضروبًا في قا 𝜃 ناقص ظا 𝜃 يساوي قا تربيع 𝜃 ناقص ظا تربيع 𝜃. لدينا في السؤال قيمة قا 𝜃 زائد ظا 𝜃. فهي تساوي سالب ١٤ على ٢٧. وعلينا حساب قيمة قا 𝜃 ناقص ظا 𝜃.

تنص إحدى متطابقات فيثاغورس على أن ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. إذا طرحنا ظا تربيع 𝜃 من طرفي هذه المعادلة، نحصل على: قا تربيع 𝜃 ناقص ظا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وهذا يكافئ الطرف الأيسر من المعادلة. سالب ١٤ على ٢٧ مضروبًا في قا 𝜃 ناقص ظا 𝜃 يساوي واحدًا. بعد ذلك، نقسم طرفي هذه المعادلة على سالب ١٤ على ٢٧. نحن نعلم أن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. وعليه، فإن الطرف الأيسر يساوي واحدًا مضروبًا في سالب ٢٧ على ١٤.

إذا كان قا 𝜃 زائد ظا 𝜃 يساوي سالب ١٤ على ٢٧، فإن قا 𝜃 ناقص ظا 𝜃 يساوي سالب ٢٧ على ١٤. كل من هاتين القيمتين يمثل مقلوب القيمة الأخرى.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. متطابقات فيثاغورس الثلاث هي كما يلي. ‏جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. ‏ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. وقد رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام هذه المتطابقات لإيجاد قيم الدوال المثلثية. عند حل أي معادلات مثلثية؛ من المهم أيضًا أن نتذكر أي من الدوال تكون قيمتها موجبة، وأيها تكون قيمتها سالبة في كل ربع. يساعدنا ذلك في حل المعادلات المثلثية.