فيديو الدرس: الدوال الزوجية والفردية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية بالنظر إلى التمثيل البياني لهذه الدالة أو من المعادلة نفسها. سنبدأ بتناول تعريف تماثل الدالة. يحدد التماثل ما إذا كانت الدالة زوجية أو فردية. لكن ما معنى أن تكون الدالة زوجية أو فردية؟ حسنًا، لتحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية، أول ما علينا فعله هو التحقق من مجال الدالة. يجب أن يكون مركز المجال هو نقطة الأصل. إذا كانت الإجابة عن هذا السؤال هي لا، فستكون الدالة لا زوجية ولا فردية.

على سبيل المثال، لنتخيل أن مجال الدالة هو الفترة المفتوحة من سالب ثمانية إلى ثمانية. في هذه الحالة، تقع القيمة ﺱ يساوي صفرًا في منتصف الفترة بالضبط؛ ومن ثم يكون مركز المجال عند ﺱ يساوي صفرًا بالفعل. لكن ماذا إذا كان المجال هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب أربعة إلى اثنين؟ حسنًا. في هذه الحالة، لا تقع القيمة ﺱ يساوي صفرًا في المنتصف بالضبط. وبالتالي تكون الدالة التي لها هذا المجال ليست زوجية ولا فردية. أما إذا كانت الإجابة عن هذا السؤال السابق هي نعم، فيمكننا القول إن الدالة تكون زوجية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ. وتكون فردية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. وإذا كانت الدالة ﺩﺱ لا تحقق أيًا من هذين المعيارين، فهي لا زوجية ولا فردية.

وعليه، فإن إحدى الطرق المستخدمة لتحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أو فردية أو ليست هذا ولا ذاك، هي التعويض بسالب ﺱ في الدالة ورؤية ما سنحصل عليه. لكن ثمة طريقة هندسية أيضًا لمعرفة ذلك. لنتحقق من هذه الطريقة.

حدد ما إذا كانت الدالة الممثلة بالشكل التالي زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية.

لدينا هنا التمثيل البياني للدالة الموضحة. هيا إذن نسترجع كيفية التحقق من تماثل الدالة، أي كيفية تحديد ما إذا كانت زوجية أم فردية. حسنًا، أول ما نفعله هو أن نسأل أنفسنا: هل مركز مجال هذه الدالة يقع عند ﺱ يساوي صفرًا؟ لعلنا نتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة، أي مجموعة قيم ﺱ، التي يمكننا التعويض بها في الدالة. ويمكننا قراءة هذا المجال من التمثيل البياني.

علينا الانتباه جيدًا هنا؛ لأن هذا المنحنى لا يبدو معرفًا عند ﺱ يساوي صفرًا. في الواقع، مجال الدالة هو اتحاد الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب ثمانية إلى صفر، والفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من صفر إلى ثمانية. ويقع مركزه عند ﺱ يساوي صفرًا. فيقع الصفر في منتصف هذا المجال بالضبط. ومن ثم، نجيب بنعم عن هذا السؤال. ويمكننا الآن الانتقال إلى الجزء التالي.

يمكننا القول إنه إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ، فإن الدالة زوجية، وإذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ، فإن الدالة فردية. حسنًا، من الطرق التي يمكننا بها إثبات صحة أحد هذين الخيارين هو اختيار قيمة ﺱ. على سبيل المثال، لنستخدم النقطة ﺱ يساوي خمسة. عند ﺱ يساوي خمسة، تكون قيمة الدالة، أي قيمة ﺹ، هي سالب واحد. إذن ﺩ لخمسة تساوي سالب واحد. وهذا يعني أن سالب ﺱ يساوي حتمًا سالب خمسة. ومن ثم، علينا قراءة قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي سالب خمسة. ‏‏ﺩ لسالب خمسة تساوي أيضًا سالب واحد. إذن، يبدو أن هذه الدالة ربما تكون زوجية. لكن دعونا نتحقق من قيمة أخرى.

لنختر ﺱ يساوي واحدًا. ‏‏ﺩ لواحد تساوي تقريبًا سالب ٤٫١. وسالب ﺱ يساوي سالب واحد. مرة أخرى، ﺩ لسالب واحد تساوي تقريبًا سالب ٤٫١. وبالتالي بالنسبة للقيمتين اللتين تحققنا منهما، ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ. لكننا في الواقع إذا دققنا النظر، فسنجد أن هذه الدالة نفسها لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ. وعليه، فإن كل قيم ﺩﺱ تساوي حتمًا كل قيم ﺩ لسالب ﺱ. وبذلك، يمكننا القول إن الدالة زوجية بالتأكيد.

في الحقيقة، يمكننا تعميم ذلك. فيمكننا القول إن الدالة الزوجية لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ. على سبيل المثال، لنتناول التمثيل البياني لـ ﺩﺱ تساوي جتا ﺱ. إنه متماثل تمامًا حول المحور ﺹ؛ ومن ثم فإن جتا ﺱ تكون دالة زوجية بالتأكيد. وهذه نتيجة عامة يمكننا استخدامها. لكن الأمر نفسه لا ينطبق على الدالة الفردية. فالدالة الفردية لها تماثل، لكن تماثلها دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. بعبارة أخرى، إنها لا تتغير عند الدوران ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل. ومن الأمثلة على ذلك الدالة ﺩﺱ تساوي جا ﺱ. في حالة تدوير التمثيل البياني لهذه الدالة ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل، سينتج في النهاية الشكل نفسه بالضبط الذي كان في الأصل.

ينطبق الأمر نفسه على دالة الظل. فبالرغم من وجود خطوط التقارب، في حالة تدوير هذا التمثيل ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل، أي حول النقطة صفر، صفر؛ فسيبدو بنفس الشكل بالضبط طالما أن مجاله متماثل كذلك. فيجب أن يكون مركز مجاله عند ﺱ يساوي صفرًا. والآن بعد أن رأينا هذه التمثيلات البيانية، هيا نلق نظرة على مثال آخر.

هل الدالة الممثلة بالشكل التالي زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؟

تذكر أنه يمكننا التحقق من تماثل الدالة بالنظر إلى تمثيلها البياني. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا أن نحدد ما إذا كان مركز المجال يقع عند ﺱ يساوي صفرًا. إذا كان الجواب نعم، فسننتقل إلى الخطوة التالية. أما إذا كان لا، فلا يمكن أن تكون الدالة زوجية أو فردية. هيا نوجد إذن مجال الدالة. لعلنا نتذكر أن المجال هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة، أي مجموعة قيم ﺱ التي نعوض بها في الدالة. أصغر قيمة لـ ﺱ في هذه الدالة هي ﺱ يساوي اثنين، وأكبر قيمة ممكنة لـ ﺱ هي ﺱ يساوي ستة. وعليه، نجد أن المجال هو الفترة المغلقة من اثنين إلى ستة. ومركز هذا المجال هو عند ﺱ يساوي أربعة. نقطة المنتصف هي ﺱ يساوي أربعة. ومن ثم نجيب عن السؤال الأول بلا. وبالتالي، الدالة ليست زوجية أو فردية.

لكن ثمة مفهومًا خاطئًا شائعًا هنا. عندما نفكر في التمثيل البياني للدوال، نعلم أن الدوال تكون زوجية إذا كان لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ. وتكون فردية إذا كان لها تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. يبدو أن هذا التمثيل البياني له تماثل دوراني. إذا افترضنا أن المركز يقع عند النقطة أربعة، واحد؛ فسيكون للتمثيل تماثل دوراني من الرتبة الثانية فعلًا. وإذا دورنا هذا التمثيل البياني ١٨٠ درجة، فسيبدو كما كان بالضبط. لكن المركز لا يقع حول نقطة الأصل. وإنما عند النقطة أربعة، واحد. وهذا يؤكد لنا أن التمثيل البياني ليس لدالة زوجية ولا فردية.

في المثال التالي، سنتناول كيفية تحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أو فردية بمعلومية معادلتها.

هل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس خمسة في ظا ستة ﺱ أس أربعة زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؟

دعونا نتذكر كيف نتحقق من تماثل الدالة. أول ما نفعله هو التحقق من مجالها. فيجب أن يكون مركز هذا المجال عند ﺱ يساوي صفرًا. إذا كانت الإجابة لا، فيمكننا القول إن الدالة ليست زوجية ولا فردية دون إجراء أي اختبارات أخرى. أما إذا كانت الإجابة نعم، فنقول إن الدالة زوجية إذا كانت تحقق ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ. ونقول إنها فردية إذا كانت تحقق ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. وإذا لم تحقق أيًا من هذين المعيارين، فستكون لا زوجية ولا فردية.

إذن، لنفكر في مجال الدالة التي لدينا. هذه الدالة هي حاصل ضرب دالتين. فهي حاصل ضرب ﺱ أس خمسة في ظا ستة ﺱ أس أربعة. وبالتالي، فإن مجال الدالة ﺩﺱ هو تقاطع مجالي جزئي الدالة. ‏‏ﺱ أس خمسة كثيرة حدود، وبالتالي مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية أو الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. لكن ماذا عن مجال الجزء الآخر، الدالة المثلثية؟ مجال هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الأعداد التي تجعل جتا ستة ﺱ يساوي صفرًا. لكن بما أن قيم ﺱ التي تجعل جتا ستة ﺱ يساوي صفرًا متماثلة حول المحور ﺹ، فيمكننا القول إن مجال ظا ستة ﺱ أس أربعة لا بد أن يكون مركزه عند ﺱ يساوي صفرًا.

وبما أن مركز كل من المجالين يقع عند ﺱ يساوي صفرًا، يمكننا الإجابة بنعم عن السؤال الأول؛ ومن ثم يمكننا المتابعة. نرى هنا أن الدالة ستكون زوجية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ، وفردية إذا كانت تساوي سالب ﺩﺱ. هيا إذن نحسب ﺩ لسالب ﺱ. لفعل ذلك، نعوض عن كل ﺱ في الدالة الأصلية بسالب ﺱ. فنحصل بذلك على ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺱ أس خمسة في ظا سالب ستة ﺱ أس أربعة. سنحسب كل جزء تباعًا. لنبدأ بسالب ﺱ أس خمسة. بما أن الأس فردي، فسنحصل على ناتج سالب عند حساب حاصل ضرب ذلك. وهو سالب ﺱ أس خمسة كما هو موضح.

لكن ماذا عن دالة الظل؟ حسنًا، نتذكر أن ظا ﺱ دالة فردية؛ وهو ما يعني أن ظا سالب ﺱ يساوي سالب ظا ﺱ؛ وبالتالي ظا سالب ستة ﺱ يساوي سالب ظا ستة ﺱ. ولكننا سنرفع هذا للقوة أربعة. وهو ما يعني أننا سنرفعه لقوة زوجية. ونعرف أنه عند رفع عدد سالب لقوة زوجية، يكون الناتج موجبًا. وبذلك يكون ظا سالب ستة ﺱ أس أربعة يساوي ظا ستة ﺱ أس أربعة.

ومن ثم، فإن ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺱ أس خمسة في ظا ستة ﺱ أس أربعة. هل يحقق ذلك أيًا من المعيارين، أي هل الدالة زوجية أم فردية؟ نعم. إذا نظرنا إلى ذلك بدقة، فسنجد أنه يساوي سالب ﺩﺱ. إذن، ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. وبالتالي فالدالة بالتأكيد دالة فردية.

لنتناول الآن كيفية استخدام هذه الخطوات إذا كان لدينا دالة متعددة التعريف.

بين نوع الدالة ﺩ من حيث كونها زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية، إذا كانت ﺩﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص ثمانية إذا كان ﺱ أصغر من صفر، وتساوي تسعة ﺱ ناقص ثمانية إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا.

هيا نسترجع معًا الخطوات التي تسمح لنا بالتحقق من تماثل الدالة، أي تحديد ما إذا كانت زوجية أو فردية. أولًا، نحدد ما إذا كان مركز المجال يقع عند ﺱ يساوي صفرًا. إذا تحقق ذلك، فيمكننا القول إن الدالة زوجية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ، وفردية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. بالنظر إلى القيم هنا، نجد أن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. ومن الواضح أن منتصف هذه المجموعة يقع عند ﺱ يساوي صفرًا. وبالتالي فإن إجابتنا عن السؤال الأول هي نعم. ننتقل الآن إلى تحديد المعيار الذي يتحقق من هذين المعيارين.

بما أن هذه دالة متعددة التعريف، علينا الانتباه جيدًا. عند ﺱ أصغر من صفر، سنتعامل مع ﺩﺱ على أنها تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص ثمانية. وعند ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، سنتعامل مع الدالة على أنها تساوي تسعة ﺱ ناقص ثمانية. لنفكر إذن في كل جزء من جزئي الدالة على حدة. لنبدأ بسالب تسعة ﺱ ناقص ثمانية. سنوجد ﺩ لسالب ﺱ. ستساوي سالب تسعة في سالب ﺱ ناقص ثمانية. وبالطبع سالب في سالب يساوي موجبًا. إذن، ﺩ لسالب ﺱ تساوي تسعة ﺱ ناقص ثمانية.

لاحظ أن هذا يساوي الجزء الثاني من الدالة. ولا بأس في ذلك؛ إذ إننا غيرنا إشارة قيمة ﺱ. ننتقل الآن إلى الجزء الآخر من الدالة متعددة التعريف. في هذا الجزء، ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ. وهو ما يؤكد أن الدالة زوجية. لكن دعونا نتحقق من الجزء الثاني على أي حال. لنأخذ ﺩﺱ تساوي تسعة ﺱ ناقص ثمانية، ثم نوجد ﺩ لسالب ﺱ. إنها تساوي تسعة في سالب ﺱ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي سالب تسعة ﺱ ناقص ثمانية. لقد غيرنا إشارة قيمة ﺱ، وحصلنا على ﺩﺱ عند ﺱ أصغر من صفر. وبالتالي، فإن هذا الجزء من الدالة زوجي أيضًا. يمكننا القول إذن إن ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ. ومن ثم، يمكننا القول إن هذه الدالة متعددة التعريف دالة زوجية.

في المثال الأخير، سنلقي نظرة على كيفية تأثير المجال على تماثل الدالة.

حدد إذا ما كانت الدالة ﺩﺱ تساوي تسعة ﺱ تكعيب زوجية أم فردية أم ليست زوجية ولا فردية؛ حيث تحول ﺩ الأعداد من الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب سبعة إلى سبعة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

تذكر أنه للتحقق من تماثل الدالة، نتحقق أولًا مما إذا كان مركز مجالها عند ﺱ يساوي صفرًا. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن الدالة تكون لا زوجية ولا فردية. وإذا كان كذلك، فنقول إنها زوجية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ. ونقول إنها فردية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة. وهي الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب سبعة إلى سبعة. للوهلة الأولى يبدو مركز المجال عند نقطة الأصل. لكن لاحظ أن لدينا قوسًا دائريًا هنا وقوسًا مربعًا هنا. هذا يعني أن المجال لا يتضمن قيمة ﺱ يساوي سالب سبعة، لكنه يتضمن قيمة ﺱ يساوي سبعة. وهو ما يعني أن الدالة غير متماثلة إلى حد ما. فسيقع مركز مجالها على يمين الصفر بعض الشيء. ومن ثم، يمكننا القول إن هذه الدالة في الواقع ليست زوجية ولا فردية.

لاحظ أنه إذا لم نكن قد توصلنا لذلك، فربما كنا سنستنتج أن الدالة فردية. وذلك لأن ﺩ لسالب ﺱ هنا تساوي تسعة في سالب ﺱ الكل تكعيب. وسالب ﺱ الكل تكعيب يساوي سالب ﺱ تكعيب. إذن، ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ تكعيب، وهو ما يساوي سالب ﺩﺱ. يوضح لنا ذلك مدى أهمية التحقق من المجال. ويمكننا أيضًا التفكير في ذلك بيانيًا. فتكون الدالة فردية إذا كان لها تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. بعبارة أخرى، في حالة تدوير تمثيلها البياني ١٨٠ درجة حول النقطة صفر، صفر؛ فسنحصل على الشكل نفسه. لا يمكن أن يكون هذا صحيحًا هنا لأنه عند تدوير الشكل، نأخذ النقطة التي يتضمنها المجال ونحولها إلى النقطة التي لا يتضمنها المجال والعكس بالعكس. وبالتالي، لن تبدو بالشكل نفسه. وبذلك نكون قد توصلنا إلى أن الدالة التي تتضمن هذه القيود ليست زوجية ولا فردية.

سنوضح الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. يصف التماثل ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية. ولكي نتحقق من التماثل، نحدد أولًا ما إذا كان مركز مجال الدالة يقع عند ﺱ يساوي صفرًا أم لا. إذا كانت الإجابة لا، فإن الدالة لا يمكن أن تكون زوجية ولا فردية. لكن إذا كان الجواب نعم، فنقول إن الدالة زوجية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي ﺩﺱ، وتكون فردية إذا كانت ﺩ لسالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. مرة أخرى، إذا لم يتحقق أي من المعيارين، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

ورأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام التمثيل البياني للدوال لتحديد ما إذا كانت زوجية أم فردية. فالدالة الزوجية يكون لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ، بينما الدوال الفردية يكون لها تماثل دوراني من الرتبة الثانية حول نقطة الأصل. ولن تتغير عند تدويرها ١٨٠ درجة حول النقطة صفر، صفر.